\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 18cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\subsection*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 3}}\end{center}

\subsection{}
\noindent Soit ABCD un parallélogramme et soit BEFC un losange (voir figure ci-dessous).

\noindent On complètera la figure et on laissera les traits de construction.

\begin{enumerate}
\item %Construire G, image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.
Construction de G : $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{BG}}$ : voir figure. 

\item %Construire H, image de D par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\text{AC}}$.
Construction de H : on a $\overrightarrow{\text{DH}}=\overrightarrow{\text{AC}}$ : voir figure. 

\item %Construire le point I tel que $\overrightarrow{\text{AI}}=2\overrightarrow{\text{AC}}$
Construction de I : $\overrightarrow{\text{AI}}=2\overrightarrow{\text{AC}}$, donc I est le symétrique de A par rapport à C. 

\item %Construire le vecteur $\overrightarrow{u}$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{CE}}+\overrightarrow{\text{CF}}$.
Construisons $\overrightarrow{u}$ à partir de C : on place J tel que $\overrightarrow{\text{CF}}=\overrightarrow{\text{EJ}}$ : on a alors $\overrightarrow{\text{CE}}+\overrightarrow{\text{CF}}=\overrightarrow{\text{CE}}+\overrightarrow{\text{EJ}}=\overrightarrow{\text{CJ}}$. 


\item %Construire le point M tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{\text{EK}}+\overrightarrow{\text{BC}}$.
Construction du point M : voir figure 

\item %Simplifier les sommes suivantes : 

\begin{enumerate}
\item %$\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CF}}$
BEFC est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{\text{CF}}=\overrightarrow{\text{BE}}$.

\noindent $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BE}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AE}}}}$ (d(après la relation de  Chasles).

\item %$\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{FE}}$
ABCD est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{BC}}$

\noindent BEFC est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{EF}}$ donc $\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{EF}}$.

\noindent On en déduit $\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{FE}}=\overrightarrow{\text{EF}}+\overrightarrow{\text{FE}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{0}}}}$.

\item $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{EF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}+\overrightarrow{\text{EF}}=\overrightarrow{\text{CA}}+\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{EF}}=\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{EF}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{0}}}}$.
\end{enumerate} 


\end{enumerate}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(12,7)
\pspolygon[linewidth=2pt](0,4)(3,5)(2,2)(-1,1)
\pspolygon[linewidth=2pt](2.,2.)(3.,5.)(6.,4.)(5.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(3.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,5.)(2.,2.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,2.)(-1.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.,1.)(0.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,2.)(3.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,5.)(6.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](6.,4.)(5.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](5.,1.)(2.,2.)
\psline{->}(3.,5.)(6.,6.)
\psline{->}(-1.,1.)(1.,-1.)
\psline{->}(0.,4.)(4.,0.)
\psline{->}(2.,2.)(9.,3.)
\psline{->}(0.,4.)(1.,0.)
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](0.,4.)
\uput[l](0,4){\blue{$A$}}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](3.,5.)
\rput[bl](3.08,5.11454545455){\blue{$B$}}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](1.93454545455,1.66){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](-1.,1.)
\uput[l](-1,1){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](6.,4.)
\rput[bl](6.08,4.11454545455){\blue{$E$}}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](5.,1.)
\rput[bl](5.11636363636,0.787272727273){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](8.,3.)
\rput[bl](8.08,3.11454545455){\blue{$K$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](6.,6.)
\rput[bl](6.08,6.11454545455){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](1.,-1.)
\rput[bl](1.11636363636,-1.10363636364){\darkgray{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](4.,0.)
\rput[bl](4.08,0.114545454545){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](9.,3.)
\rput[bl](9.08,3.11454545455){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](1.,0.)
\rput[bl](1.08,0.114545454545){\darkgray{$M$}}
\uput[d](6.15,2.59){$\overrightarrow{u}$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-2,-2)(12,7)
\end{pspicture*}
\end{center}

%\newpage
\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-5.)(8.,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.,2.)(5.,-1.)(-1.,-3.)(-2.,0.)
\psline(4.,2.)(5.,-1.)
\psplot{-4.}{8.}{(-8.--1.*x)/3.}
\psline(5.,-1.)(-1.,-3.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,2.)(5.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](5.,-1.)(-1.,-3.)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.,-3.)(-2.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](-2.,0.)(4.,2.)
\psplot{-4.}{8.}{(--14.-3.*x)/1.}
\begin{scriptsize}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](4.,2.)
\rput[bl](4.078,2.132){\blue{$A$}}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](5.,-1.)
\uput[dr](5,-1){\blue{$B$}}
%\rput[bl](4.166,0.394){$a$}
%\rput[bl](-4.92,-4.094){$b$}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](-1.,-3.)
\uput[dr](-1,-3){\blue{$C$}}
%\rput[bl](1.878,-1.652){$c$}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](-2.,0.)
\uput[ul](-2.,0.){\darkgray{$D$}}
%\rput[bl](4.166,0.394){\zzttqq{$a_1$}}
%\rput[bl](1.878,-1.652){\zzttqq{$b_1$}}
%\rput[bl](-1.18,-1.388){\zzttqq{$c_1$}}
%\rput[bl](1.108,0.68){\zzttqq{$d$}}
%\rput[bl](2.648,6.4){$e$}
\psdots[
dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=darkgray](3.33333333333,-2.66666666667)
\rput[bl](3.418,-2.532){\darkgray{$K$}}
\end{scriptsize}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4.,-5.)(8.,5.)
\psgrid[subgriddiv=1](-4.,-5.)(8.,5.)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\psline[linewidth=2pt](1,-0.2)(1,0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.2,1)(0.2,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère les  points A(4~;~2), B(5~;~-1) et C(-1~;~-3) (voir figure).

\noindent %On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}}$.

\noindent De même : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{BC}}\begin{pmatrix}-6\\-2\end{pmatrix}}}$

\item %Calculer les longueurs AB, AC et BC.
On en déduit :
$\text{AB}=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{AB}=\sqrt{10}}}$.

\noindent $\text{AC}=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{50}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{AC}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}}}$

\noindent $\text{BC}=\sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{40}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\text{AC}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}}}$

\item %Quelle est la nature du triangle ABC ?
$\text{AC}^2=\boxed{\textcolor{red}{50}}$ ; $\text{AB}^2+\text{BC}^2=10=40=\boxed{\textcolor{red}{50}}$

\noindent On en déduit $\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2$.

D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}  en B
\end{enumerate}

\item %Soit E(-11~;~-16). Les droites (AC) et (BE) sont-elles parallèles ?
Soit E(-11~;~-16). $\overrightarrow{\text{BE}}\begin{pmatrix}-16\\-15\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}-5\\-5\end{pmatrix}$

\noindent Il est clair que les vecteurs $\overrightarrow{\text{BE}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles), donc les droites (AC) et (BE) ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas parallèles}}.

\item Soit F$\left(\dfrac{2}{3}~;~12\right)$.

%\noindent A, B et F sont-ils alignés ?
$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$
~;~$\overrightarrow{\text{AF}}\begin{pmatrix}x_F-x_A\\y_F-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{\text{AF}}\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}-4=-\dfrac{10}{3}\\12-2=10\end{pmatrix}$ d'où $\overrightarrow{\text{AF}}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\10\end{pmatrix}$

\noindent $1\times 10-(-3)\times \left(-\dfrac{10}{3}\right)=10-10=0$ ; d'après la condition de colinéaires, les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AF}}$ sont colinéaires, donc les trois points A, B et F sont alignés.


\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}-1-x_D\\-3-y_D\end{pmatrix}$

\noindent On doit avoir : $\left\{\begin{array}{l}-1-x_D=1\\-3-y_D=-3\end{array}\right.$

On en déduit $x_D=-2$ et $y_D=0$ : $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~0)}}$.

\item %Quelle est la nature précise de ce parallélogramme ?
Le triangle ABC est rectangle en B, donc ABCD est un parallélogramme avec un ange droit : c'est un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}. (ce n'est pas un carré, puisque $\text{AB}\neq \text{BC}$).

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du point K défini par $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}.$.
Soit K tel que $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}$.

\noindent On appelle $x_K$ et $y_K$ les coordonnées de K.

$\overrightarrow{\text{CK}}\begin{pmatrix}x_K+1\\y_K+3\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{KB}}\begin{pmatrix}5-x_K\\-1-y_K\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$.\\
L'égalité se traduit par : 

$\left\{\begin{array}{l}x_K+1=2\left(5-x_K\right)+1\\
y_K+3=2\left(-1-y_K\right)-3\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_K+1=10-2x_K+1\\y_K+3=-2-2y_K-3\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x_K=10\\3y_K=-8\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_K=\dfrac{10}{3}\\y_K=-\dfrac{8}{3}\end{array}\right.$ : $\boxed{\textcolor{red}{K\left(\dfrac{10}{3}~;~-\dfrac{8}{3}\right)}}$



\item %Placer K sur la figure.
Voir figure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.

\noindent Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau suivant :
On complète le tableau : en gras, les données calculées à partir des données de l'énoncé. 
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Forme}{Couleur}&Vert&Bleu&Noir&Total\\
\hline
Carré&4&10&\textbf{\textcolor{red}{4}}&\textbf{\textcolor{red}{18}}\\
\hline
Rond&\textbf{\textcolor{red}{6}}&\textbf{\textcolor{red}{2}}&14&\textbf{\textcolor{red}{22}}\\
\hline
Total&10&12&18&\textbf{\textcolor{red}{40}}\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\item On tire un jeton au hasard : on suppose qu'il y a équiprobabilité.\\
Soit A l'événement : \og{} le jeton est vert \fg{}, B l'événement : \og{} le jeton est carré \fg{} et C l'événement : \og{} le jeton est carré et n'est pas bleu \fg{}.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{10}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$

\item $p(B)=\dfrac{18}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{20}}}$

\item $p(C)=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}$ (car il y a quatre jetons carrés verts et quatre jetons carrés noirs).
\end{enumerate}

\item %Exprimer par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.
$\overline{\text{A}}$ est l'événement \og{}\textbf{\textcolor{red}{le jeton n'est pas vert}}\fg{} ou \og{}\textbf{\textcolor{red}{le jeton est noir ou bleu}}\fg{}.

\item %Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=\dfrac{3}{4}$

\item $p\left(\overline{B}\right)=1-p(B)=\dfrac{11}{20}$

\item $p\left(\overline{C}\right)=\dfrac{4}{5}$
\end{enumerate}

\item %Exprimer par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$ et calculer leurs probabilités.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\text{A}\cap \text{B}$ est l'événement \og{}le jeton est vert et carré\fg{}.

\noindent $p(\text{A}\cap \text{B})=\dfrac{4}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$.

\item $\text{A}\cup \text{B}$ est l'événement \og{}le jeton est vert ou carré\fg{}.

\noindent $p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})-p(\text{A}\cap \text{B})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{2}{20}=\dfrac{12}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{}
Mathieu va à la cantine. Il a le choix entre :

\begin{itemize}
\item trois entrées (salade, avocat, charcuterie)

\item deux plats (poisson, viande)

\item deux desserts (fruit, yaourt)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre.
Représentons la  situation à l'aide d'un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=50mm,treesep=5mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{salade}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{avocat}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{charcuterie}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
}


\end{center}
\item %Combien de menus peut-il confectionner ? (on admet qu'il prend une entrée, un plat et un dessert)
Il peut confectionner douze menus différents puisqu'il y a douze branches dans l'arbre.

\item Mathieu choisit  au hasard chacune des composantes de son menu.

\noindent %Quelle est a probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit ?
La probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit  est $\dfrac{2}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+5$.
\begin{enumerate}

\item  %Comment s'appelle la courbe représentative de $f$ ?
La courbe représentative de $f$ est une parabole.
%Est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.
Elle est trouvée vers le\textbf{ \textcolor{red}{haut}} car le coefficient de $x^2$ est 1 qui est positif.

\item %Montrer que $f(x)=(x-3)^2-4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première méthode : on cherche la forme canonique de $f(x)$.

\noindent $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=-6$ et $c=5$.

\noindent $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ; on sait que $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2}=3$~;~$\beta=f(\alpha)=f(3)=-4$.

\noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-3)^2-4}}$

\item Seconde méthode : $(x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5=f(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-3)^2-4}}$.

\end{enumerate}

\item %Quelles sont les coordonnées du sommet ?
Le sommet S a pour coordonnées $S(\alpha~;~\beta)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{S(3~;~-4)}}$.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
Tableau de variation de $f$ :\\
\parbox{8cm}{\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\filet
f(x)&&\d&\beta&\c\\
\filet
\end{variations}
\end{center}}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&3&&\pI\\
\filet
f(x)&&\d&-4&\c\\
\filet
\end{variations}\end{center}}


\item %Cette courbe a-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?
L'axe de symétrie de cette parabole est la droite d'équation $\boxed{\textcolor{red}{x=3}}$.

\item Tracer dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{\mathbb{C}}_f$, représentative de $f$.

\item %Factoriser $f(x)$.
$f(x)=(x-3)^2-4=(x-3)^2-2^2=(x-3-2)(x-3+2)=\boxed{\textcolor{red}{(x-5)(x-1)}}$.

\item %En justifiant,  construire le tableau de signes de $f(x)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=0$ pour $x=1$ ou $x=5$.

\item $x-5=0$ pour $x=5$ et $x-5>0$ équivaut à $x>5$.

\item $x-1=0$ pour $x=1$ et $x-1>0$ équivaut à $x>1$.
\end{enumerate}
On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&5&&\pI\\
\filet
x-5&&-&\l&-&\z&+&\\
\filet
x-1&&-&\z&+&\l&+&\\
\filet
f(x)=(x-5)(x-1)&&+&\z&-&\z&+&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.,-5.)(9,14.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-9.,-5.)(9,14.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-2.0}{8}{x^(2.00000000000)-6.00000000000*x+5.00000000000}
\uput[r](4,-3){$\mathscr{C}_f$}
\psdot[dotstyle=x,dotscale=3](3,-4)
\uput[d](3,-4){S}
\psgrid[subgriddiv=1](-9.,-5.)(9,14.)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
Sur un terrain rectangulaire ABCD de côtés 20 m sur 40 m, on veut construire une piscine carrée DEFG de côté $x$ et planter de la pelouse sur le reste du terrain (partie hachurée).

\parbox{5cm}{\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=1.2,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-1.)(3.,5.2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](0.0174532925199,0.)(2.,0.)(2.,4.)(0.,4.)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,4.)(1.1,4.)(1.1,2.9)(0.,2.9)
\psline[linewidth=4.pt](7.8,4.9)(11.8,4.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.0174532925199,0.)(2.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,0.)(2.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,4.)(0.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(0.0174532925199,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(1.1,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.1,4.)(1.1,2.9)
\psline[linecolor=zzttqq](1.1,2.9)(0.,2.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,2.9)(0.,4.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*](10.,4.9)
\rput[bl](9.78,5.2){$h = 1.1$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.0174532925199,0.)
\uput[d](0.1,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
\uput[d](2.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,4.)
\rput[bl](2.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.)
\uput[ul](0,4){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.1,4.)
\rput[bl](1.18,4.12){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.1,2.9)
\rput[bl](1.18,3.02){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,2.9)
\uput[dl](0,3){\darkgray{$G$}}
\end{scriptsize}
\psline{<->}(0,4.6)(2,4.6)\uput[u](1,4.6){20}
\psline{<->}(0,4.2)(1.1,4.2)\uput[u](0.55,4.2){$x$}
\psline{<->}(-1,4)(-1,0)\uput[l](-1,2){40}
\psline{<->}(-0.2,4)(-0.2,2.9)\uput[l](-0.2,3.4){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}}\hfill
\parbox{12cm}{
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'aire de la piscine et l'aire la pelouse en fonction de $x$.
L'aire de la piscine est $\boxed{\textcolor{red}{x^2}}$.

\noindent L'aire la pelouse est $20\times 40-x^2=\boxed{\textcolor{red}{800-x^2}}$.

\item %Quelle doit être la mesure du côté de la piscine pour que l'aire de la pelouse soit égale à 656 m$^2$ ?
On obtient $800-x^2=656$, d'où $x^2=800-656=144$. On en déduit $x=-12$ ou $x=12$. Comme $x$ est positif, on obtient $\boxed{\textcolor{red}{x=12}}$.

\item On souhaite désormais que l'aire de la piscine soit inférieure à celle de la pelouse.


\begin{enumerate}
\item %Montrer que la résolution du problème  revient à résoudre l'inéquation $2x^2\leqslant 400$.
On doit avoir $x^2\leqslant 800-x^2$ donc $2x^2\leqslant 800$, soit $x^2\leqslant 400$ en simplifiant par 2.

\item %Conclure.
$x^2\leqslant 400=20^2$ donne $x\in[-20~;~20]$ (en regardant par exemple les points d'ordonnées inférieures à 400 sur la parabole représentative de la fonction $x\mapsto x^2$).

\noindent Comme $x$ est une ongueur, on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{0<x\leqslant 20}}$.


\end{enumerate}
\end{enumerate}}






\label{fin}
\end{document}  