\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2014-2015}}
\lfoot{26 mai 2015}

\begin{document}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
NOM (en caractères majuscules d'imprimerie) : &\hfill mardi 26 mai 2015\\\\
PRÉNOM : &\\
\end{tabular}\\

\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\huge Devoir commun de mathématiques de 2\up{nde} \no 3 \\
 

\end{center}\end{minipage}}\\

\vspace{4cm}
\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\

\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\

\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\

\vspace{2cm}
\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 


\parbox{8cm}{\noindent Exercice I sur 4,5 points : \\

\noindent Exercice II sur 8,5 points : \\

\noindent Exercice III sur  5 points : \\

\noindent Exercice IV sur 2  points : \\

\noindent Exercice V sur 6,5 points : \\

\noindent Exercice VI sur 3,5 points : }\hfill
\parbox{8cm}{
\textbf{Total sur 30 points }:\vspace{6cm}}

\newpage

\subsection{}
\noindent Soit ABCD un parallélogramme et soit BEFC un losange (voir figure ci-dessous).

\noindent On complètera la figure et on laissera les traits de construction.

\begin{enumerate}
\item Construire G, image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.

\item Construire H, image de D par la translation de vecteur  $\overrightarrow{\text{AC}}$.

\item Construire le point I tel que $\overrightarrow{\text{AI}}=2\overrightarrow{\text{AC}}$

\item Construire le vecteur $\overrightarrow{u}$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{CE}}+\overrightarrow{\text{CF}}$.

\item Construire le point M tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{\text{EK}}+\overrightarrow{\text{BC}}$.

\item Simplifier les sommes suivantes : 

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CF}}$

\item $\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{FE}}$

\item $\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{EF}}$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(12,6)
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-2,-2)(12,7)
\pspolygon[linewidth=2pt](0,4)(3,5)(2,2)(-1,1)
\psline(0,4)(3,5)
\psline(3,5)(2,2)
\psline(2,2)(-1,1)
\psline(-1,1)(0,4)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](0,4)
\uput[ul](0,4){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](3,5)
\rput[bl](3.08,5.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](2,2)
\uput[dl](2,2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-1,1)
\uput[dl](-1,1){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](6,4)(5,1)(8,3)
\uput[ur](6,4){E}
\uput[dr](5,1){F}
\uput[ur](8,3){K}
\pspolygon[linewidth=2pt](6,4)(5,1)(2,2)(3,5)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé ci-dessous (O~;~I~;~J), placer les points A(4~;~2), B(5~;~-1) et C(-1~;~-3).

\noindent On complétera la figure au fur et à mesure de l'exercice.

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-5.)(8.,5.)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.,2.)(5.,-1.)(-1.,-3.)(-2.,0.)
%\psline(4.,2.)(5.,-1.)
%\psplot{-4.}{8.}{(-8.--1.*x)/3.}
%\psline(5.,-1.)(-1.,-3.)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.,2.)(5.,-1.)
%\psline[linecolor=zzttqq](5.,-1.)(-1.,-3.)
%\psline[linecolor=zzttqq](-1.,-3.)(-2.,0.)
%\psline[linecolor=zzttqq](-2.,0.)(4.,2.)
%%\psplot{-4.}{8.}{(--14.-3.*x)/1.}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,2.)
%\rput[bl](4.078,2.132){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,-1.)
%\rput[bl](5.09,-0.86){\blue{$B$}}
%%\rput[bl](4.166,0.394){$a$}
%%\rput[bl](-4.92,-4.094){$b$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.,-3.)
%\rput[bl](-0.916,-2.862){\blue{$C$}}
%%\rput[bl](1.878,-1.652){$c$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.,0.)
%\rput[bl](-1.906,0.13){\darkgray{$D$}}
%%\rput[bl](4.166,0.394){\zzttqq{$a_1$}}
%%\rput[bl](1.878,-1.652){\zzttqq{$b_1$}}
%%\rput[bl](-1.18,-1.388){\zzttqq{$c_1$}}
%%\rput[bl](1.108,0.68){\zzttqq{$d$}}
%%\rput[bl](2.648,6.4){$e$}
%%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.33333333333,-2.66666666667)
%%\rput[bl](3.418,-2.532){\darkgray{$K$}}
%\end{scriptsize}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4.,-5.)(8.,5.)
\psgrid[subgriddiv=1](-4.,-5.)(8.,5.)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\psline[linewidth=2pt](1,-0.2)(1,0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.2,1)(0.2,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

\item Calculer les longueurs AB, AC et BC.

\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\end{enumerate}

\item Soit E(-11~;~-16). Les droites (AC) et (BE) sont-elles parallèles ?

\item Soit F$\left(\dfrac{2}{3}~;~12\right)$.

\noindent A, B et F sont-ils alignés ?


\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

\item Quelle est la nature précise de ce parallélogramme ?

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point K défini par $\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{AB}.$.

\item Placer K sur la figure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.

\noindent Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Forme}{Couleur}&Vert&Bleu&Noir&Total\\
\hline
Carré&&&&\\
\hline
Rond&&&&\\
\hline
Total&&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\item On tire un jeton au hasard : on suppose qu'il y a équiprobabilité.\\
Soit A l'événement : \og{} le jeton est vert \fg{}, B l'événement : \og{} le jeton est carré \fg{} et C l'événement : \og{} le jeton est carré et n'est pas bleu \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.

\item Exprimer par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.

\item Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.

\item Exprimer par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$ et calculer leurs probabilités.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Mathieu va à la cantine. Il a le choix entre :

\begin{itemize}
\item trois entrées (salade, avocat, charcuterie)

\item deux plats (poisson, viande)

\item deux desserts (fruit, yaourt)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre.

\item Combien de menus peut-il confectionner ? (on admet qu'il prend une entrée, un plat et un dessert)

\item Mathieu choisit  au hasard chacune des composantes de son menu.

\noindent Quelle est a probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit ?

\end{enumerate}

\subsection{}
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+5$.
\begin{enumerate}

\item  Comment s'appelle la courbe représentative de $f$ ?\\
Est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.

\item Montrer que $f(x)=(x-3)^2-4$.

\item Quelles sont les coordonnées du sommet ?

\item Dresser le tableau de variation de $f$.

\item Cette courbe a-t-elle un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?

\item Tracer dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{\mathbb{C}}_f$, représentative de $f$.

\item Factoriser $f(x)$.

\item En justifiant,  construire le tableau de signes de $f(x)$

\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.,-5.)(9,14.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-9.,-5.)(9,14.)
%\psplot[plotpoints=200]{-2.0}{8}{x^(2.00000000000)-6.00000000000*x+5.00000000000}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.24,7.52){$f$}
\end{scriptsize}
\psgrid[subgriddiv=1](-9.,-5.)(9,14.)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
Sur un terrain rectangulaire ABCD de côtés 20 m sur 40 m, on veut construire une piscine carrée DEFG de côté $x$ et planter de la pelouse sur le reste du terrain (partie hachurée).

\parbox{5cm}{\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-1.)(3.,5.2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=hlines,opacity=0.1](0.0174532925199,0.)(2.,0.)(2.,4.)(0.,4.)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,4.)(1.1,4.)(1.1,2.9)(0.,2.9)
\psline[linewidth=4.pt](7.8,4.9)(11.8,4.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.0174532925199,0.)(2.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,0.)(2.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,4.)(0.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(0.0174532925199,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(1.1,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.1,4.)(1.1,2.9)
\psline[linecolor=zzttqq](1.1,2.9)(0.,2.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,2.9)(0.,4.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*](10.,4.9)
\rput[bl](9.78,5.2){$h = 1.1$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.0174532925199,0.)
\uput[d](0.1,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
\uput[d](2.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,4.)
\rput[bl](2.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.)
\uput[ul](0,4){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.1,4.)
\rput[bl](1.18,4.12){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.1,2.9)
\rput[bl](1.18,3.02){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,2.9)
\uput[dl](0,3){\darkgray{$G$}}
\end{scriptsize}
\psline{<->}(0,4.6)(2,4.6)\uput[u](1,4.6){20}
\psline{<->}(0,4.2)(1.1,4.2)\uput[u](0.55,4.2){$x$}
\psline{<->}(-1,4)(-1,0)\uput[l](-1,2){40}
\psline{<->}(-0.2,4)(-0.2,2.9)\uput[l](-0.2,3.4){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}}\hfill
\parbox{12cm}{
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la piscine et l'aire la pelouse en fonction de $x$.

\item Quelle doit être la mesure du côté de la piscine pour que l'aire de la pelouse soit égale à 656 m$^2$ ?

\item On souhaite désormais que l'aire de la piscine soit inférieure à celle de la pelouse.


\begin{enumerate}
\item Montrer que la résolution du problème  revient à résoudre l'inéquation $x^2\leqslant 400$.

\item Conclure.

\end{enumerate}
\end{enumerate}}






\label{fin}
\end{document}  