\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde 6 : feuille de révisions sur les proportions et la trigonométrie}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient trois nombres $a$, $b$ et $c$ non nuls tels que $\dfrac{a}{b}=c$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $a$ en fonction de $b$ et $c$.

\item En déduire $b$ en fonction de $a$ et $c$

\item Application : 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $\dfrac{x}{7}=5$.

\item Résoudre l'équation $\dfrac{2}{x}=3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient quatre nombres  $a$, $b$, $c$ et $d$ non nuls  tels que $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.
\begin{enumerate}
\item Compléter : $ac=\cdots$

\item 
\begin{enumerate}
\item En déduire $a$ en fonctions de $b$, $c$ et $d$.

\item En déduire $b$ en fonctions de $a$, $c$ et $d$.

\item En déduire $c$ en fonctions de $a$, $b$ et $d$.

\item En déduire $d$ en fonctions de $a$, $b$ et $c$.

\end{enumerate}

\item Application : résoudre les équations :\\
$\dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{5}$ ; $\dfrac{7}{x}=\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{x}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle rectange en $B$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6,5)
\pspolygon(0,4)(0,0)(5,0)
\pspolygon(0.42,0)(0.42,0.42)(0,0.42)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,0)(5,0)
\psline(5,0)(0,4)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.6747409422235526}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+4}\lineto(0,4)\closepath}
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5,0)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.08,3){$\widehat{A}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Placer sur la figure les expressions \og{}hypoténuse\fg{}, \og{}côté adjacent à $\widehat{A}$\fg{} et \og{}côté opposé à $\widehat{A}$\fg{}.

\subsection*{\textcolor{blue}{Formules trigonométriques}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle cosinus de $\widehat{A}$ et sinus de $\widehat{A}$ les expressions : \\
$\cos\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\text{côte adjacent à }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{\text{côte opposé à }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}$.\\
Sur le triangle de la figure, on a donc :\\
$\cos\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{AB}{AB}$ et $\sin\left(\widehat{A}\right)=\dfrac{BC}{AC}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarques}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'hypoténuse est le plus grand côté d'une triangle rectangle, donc le cosinus et le sinus d'un angle (aigu) sont inférieurs ou égaux à 1 (et positifs comme quotients de longueurs).

\item Par abus d'écriture, on écrit souvent $\cos\widehat{A}$ plutôt que $\cos\left(\widehat{A}\right)$ et de même pour sinus.
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABC$ est un triangle rectangle en C et $\widehat{BAC}=27$\degre.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\pspolygon(0,0)(7,0)(5.56,2.83)
\psline(3.5,0)(0,0)
%\pscircle(3.5,0){3.5}
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(0,0)
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(5.56,2.83)
\psline(5.56,2.83)(0,0)
\uput[d](3.5,0){7cm}
\pscustom{\parametricplot{0.0}{0.47123889803846897}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\uput[l](0,0){$A$}
\psdots(7,0)
\rput[bl](7.08,0.12){$B$}
\psdots(5.56,2.83)
\rput[bl](5.64,2.96){$F$}
\rput[bl](0.58,0){$\widehat{BAC}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Calculer les valeurs exactes des longueurs $AC$ et $BC$, puis leurs valeurs approchées à 0,1 près

\subsection{}
$ABC$ est un triangle rectangle en A. $ABC=5$ cm et \\
$\widehat{ACB}=40$\degre.\\
Calculer les valeurs exactes de BC et de AB.

\subsection{}
$EFG$ est un triangle rectangle en E. $EF=3$ et $EG=8$.
\begin{enumerate}
\item Calculer FG.

\item Calculer une valeur approchée de $\widehat{EFG}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Loi de Snell Descartes}}
\psset{xunit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(8,3)
\psline(3.5,-3)(3.5,3)%normale
\psline{->}(2.4,2.44)(3.5,0)
\psline{->}(3.5,0)(4.34,-3.02)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(75,0)
\pscustom{\parametricplot{1.5707963267948966}{1.9943316838274743}{0.6*cos(t)+3.5|0.6*sin(t)+0}\lineto(3.5,0)\closepath}
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-1.2995079464151102}{0.6*cos(t)+3.5|0.6*sin(t)+0}\lineto(3.5,0)\closepath}
%\psdots[linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](3.06,0.86){$i_1$}
\rput[bl](3.48,-1.14){$i_2$}
\uput[u](5,2){Milieu 1}
\uput[u](5,-2){Milieu 2}
\end{pspicture*}

Un rayon lumineux passe d'un milieu 1 à un milieu 2 (par exemple de l'air dans l'eau).
La loi de Snell-Descartes dit que ù $\boxed{\textcolor{red}{n_1\sin i_1=n_2\sin i_2}}$ où $n_1$ et $n_2$ sont des constantes qui dépendent de chaque milieu (quotient de la vitesse de la luière dans le vide par la vitesse de la luière dans le milieu considéré).\\

On suppose que  $n_1=1,003$ (air), $n_2=\numprint{1,3329}$ (eau) et \\
$i_1=15$\degre (angle du rayon incident).\\
Calculer $i_2$ (angle du rayon réfracté).

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  