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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction du devoir sur feuille \no 1}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$u$ est une suite arithmétique telle que $\begin{cases}u_{11}=9\\u_{22}=42\end{cases}$.

%Calculer $u_6$
On sait que, pour tout $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$ où $r$ est la raison.

Alors : $u_{22}=u_{11}+11r$ d'où $r=\dfrac{u_{„2}-u_{11}}{11}=\dfrac{42-9}{11}=\dfrac{33}{11}=3$.

On en déduit : $u_6=u_{11}+(6-11)r=9-5\times 3=-6$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_6=-6}}$

\subsection{}
$u$ est une suite géométrique telle que $\begin{cases}u_{3}=-24\\u_{6}=192\end{cases}$.

%Calculer $u_{10}$
Pour tout $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$ si $q$ est la raison.

Donc : $u_6=u_3\times q^3$, donc $q^3=\dfrac{u_6}{u_3}=\dfrac{192}{-24}=-8$ ; on en déduit $\boxed{\textcolor{red}{q=-2}}$.

Alors : $u_{10}=u_6\times q^{10-6}=192\times (-2)^4=192\times 16=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3072}}}$

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^3-2x^2+1.\]
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Donner une équation de la tangente  $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 2.
L'équation  réduite de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Or, on a : $f'(x)=3x^2-2\times 2x+0=3x^2-4x$, d'où $f'(2)=4$.

$f(2)=1$.

L'équation de $T$ est : $y=4(x-2)+1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=4x-7}}$.

\item %Conjecturer, en traçant $\mathscr{C}$ et $T$ à la calculatrice, la position relative de $\mathscr{C}$ et de $T$.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-8.)(3.,6.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-8.)(3.,6.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-2.0}{3.0}{x^(3.0)-2.0*x^(2.0)+1.0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-2.0}{3.0}{4.0*x-7.0}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,1.)
\rput[bl](2.08,1.12){\darkgray{$A$}}
\uput[ur](0,1){$\mathscr{C}$}
\uput[d](1,-3){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Il semble que la courbe $\mathscr{C}$ soit au-dessus de la tangente $T$.
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=f(x)-(4x-7)\].
\begin{enumerate}
\item On remarque que $g(x)$ est la différence entre les points de $\mathscr{C}$ et de $T$ ayant pour abscisse $x$.

%Déterminer la fonction dérivée $g'$de $g$.
$g$ est dérivable comme différence de fonctions dérivables.

Pour tout $x$, $g'(x)=f'(x)-4=3x^2-4x-4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)=3x^2-4x-4}}$

\item %Pour tout nombre réel, déterminer le signe de $g'(x)$.
$g'(x)$ est un trinôme du second degré : $\Delta=64>0$ ; $g'(x)$  a deux racines : 

$x_1=\dfrac{4-\sqrt{64}}{6}=-\dfrac{2}{3}$ et $x_2=\dfrac{4+8}{6}=2$.

Alors : $g'(x)=3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)(x-2)$.

$g'(x)$ est du signe de 3, coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.

Tableau de signes de $g'(x)$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{2}{3}&&2&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Dresser, en justifiant, le tableau de variation de $g$.
On a $g\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{256}{27} >0$ et $g(2)=0$ (évident puisque $T$ est tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisses 2).

Le tableau de variation est :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{2}{3}&&2&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
g(x)&&\c&\h{\dfrac{256}{26}}&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g(-2)$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, le signe de $g(x)$. 
$g(-2)=0$.

On en déduit que $g(x)\leqslant 0$ sur $\left]-\infty~;~-2\right]$ et positif sur $\left[-\dfrac{2}{3}~;~+\infty\right[$.

\item %En déduire alors la position relative de $\mathscr{C}$ et de $T$.
On retrouve que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $T$, sur $[-2~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\emph{\textcolor{blue}{Une longueur minimale}}}
ABCD est un carré de côté 1. $\mathscr{C}$ est le quart de cercle d centre A, de rayon AB, contenu dans le carré.
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(1.5,0.5)
\pspolygon(0.,0.)(1.,0.)(1.,-1.)(0.,-1.)
\psline  (0.,0.)(1.,0.)
\psline  (1.,0.)(1.,-1.)
\psline  (1.,-1.)(0.,-1.)
\psline  (0.,-1.)(0.,0.)
\parametricplot{-1.5707963267948966}{0.0}{1.*1.*cos(t)+0.*1.*sin(t)+0.|0.*1.*cos(t)+1.*1.*sin(t)+0.}
\psline(0.5506601164785444,-1.)(1.,-0.2897732899340183)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.022173212771448306,0.0490761142032853){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.)
\rput[bl](1.0211654143959477,0.0490761142032853){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,-1.)
\rput[bl](1.016119999236228,-1.081096881573926){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,-1.)
\rput[bl](-0.08882592074238496,-1.126505618011403){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*](0.8450719648301757,-0.5346525734138631)
\rput[bl](0.884939205083516,-0.5715099504422368){$T$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,-0.2897732899340183)
\rput[bl](1.0211654143959477,-0.25869421053961594){\darkgray{$N$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5506601164785444,-1.)
\rput[bl](0.572123465180895,-0.9700977480600926){\darkgray{$M$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
T est un point de $\mathscr{C}$ distinct de B et D. La tangente en T à $\mathscr{C}$ coupe[DC] en M et [BC] en N.

On pose $x=DM$ et $y=BN$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $MN^2=x^2+y^2-2x-2y+2$.
$DM=x$ donc $MC=1-x$ ; de même, $CN=1-y$.

$MCN$ est un triangle rectangle, \\
$MN^2=(1-x)^2+(1-y)^2=\boxed{\textcolor{red}{x^2+y^2-2x-2y+2}}$.

\item %Établir que $MN=MT+TN=x+y$.
$MN=MT+TN$ (car M, T et N sont alignés dans cet ordre).

$ADM$ est rectangle, donc d'après le théorème de Pythagore, $AM^2=AD^2+DM^2=1+x^2$.

De même, $AMT$ est rectangle (propriété de la tangente) , donc $AM^2=AT^2+MT^2=1+MT^2$ \\
(car $AD=AT=1$) d'où $MT=x$.

On montre de même que $NT=TB=y$.

\item %Exprimer alors $MN$ en fonction de $x$.
D'près ce qui précède, on a : \\
$(x+y)^2=x^2+y^2-2x-2y+2\\
\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2+y^2-2x-2y+2$ donc $xy=1-x-y$ qui donne $y(1+x)=1-x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{1-x}{1+x}}}$.

Alors : $MN=x+y=x+\dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{x(1+x)+1-x}{1+x}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2+1}{x+1}}}$
\end{enumerate}

\item $f$ est la fonction définie sur $]0~;~1[$ par : \[f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}
%Étudier les variations de $f$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~1[$ ; $f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x^2+1\\v(x)=x+1\end{cases}$

$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ donc $f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)}{(x+1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}}}$.

$f'(x)$ est du signe du numérateur car le dénominateur est positif.

On étudie le signe du numérateur : $\Delta=8>0$ ; il a deux racines, $\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}\notin[0~;~1[$ et $-1+\sqrt{2}$.

Signe de $f'(x)$

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\sqrt{2}-1&&1\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Pour quelle position de M la longueur MN est-elle minimale ? 
MN est minimale pour $\boxed{\textcolor{red}{x=\sqrt{2}-1}}$

\end{enumerate}

\end{multicols}




\subsection{}%Hyperbole page 131

\textbf{\textcolor{blue}{Étude du nombre de côtés}}

Pour tout entier naturel $n$ avec $n\geqslant 1$, on note $C_n$ le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$&1& 2& 3& 4\\
\hline
$C_n$&3& 12& 48& 192\\
\hline
\end{tabularx}

\item Pour tout $n\geqslant 1$, comme chaque segment de l’étape $n$ en produit 4 à l’étape suivante, $\boxed{\textcolor{red}{C_{n + 1} = 4 C_n}}$.

La suite $C$ est géométrique de raison 4. Ainsi pour tout $n\geqslant 1$, $\boxed{\textcolor{red}{C_n = 3\times  4^{n - 1}}}$.
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Étude du périmètre}}

Pour tout entier naturel $n$ avec $n\geqslant 1$, on note $u_n$ la longueur du segment à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\geqslant  1$, comme chaque nouveau segment de l’étape $n + 1$ a une longueur égale au tiers d’un segment
de l’étape $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n + 1} =\dfrac{1}{3}u_n}}$.

$u$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ 

\item Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n =\dfrac{1}{3^{n- 1}}.$

\item %Démontrer que le périmètre du flocon à l'étape $n$ est donné par $p_n=3\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$.
Pour tout $n\geqslant 1$, $p_n = C_n\times  u_n = \boxed{\textcolor{red}{3 \times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}.}}$

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Étude de l'aire}}

Pour tout entier naturel $n$ avec $n\geqslant 1$, on note $a_n$ l'aire du flocon à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item L'aire d'un triangle est égale à $\dfrac{\textbf{Base} \times \textbf{Hauteur}}{2}$, d'où : 

Le triangle est équilatéral, donc ses trois angles valent $\dfrac{\pi}{3}$.

On en déduit que la hauteur $h$ vaut $h=1\times \sin\dfrac{\pi}{3}=1\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Alors : $a_1 =\dfrac{1}{2}\times 1\times \sqrt{1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. $\boxed{\textcolor{red}{a_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}}}$

\item De l'étape $n$ à l'étape $n+1$, l'aire est augmentée de celle des $C_n$ triangles équilatéraux de côté $u_{n+1}$.

Un triangle équilatéral de côté $\ell$ a une aire de $\ell^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

On en déduit que, pour tout $n\geqslant 1$ $a_{n+1}=a_n+C_n\times u_{n+1}^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

Par conséquent : 

$a_{n+1}-a_n=C_n\times u_{n+1}^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}=3\times 4^{n-1}\times \left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right]^2\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}=3\times 4^{n-1}\dfrac{1}{9^n}\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}=3\times \dfrac{4^{n-1}}{9\times 9^{n-1}}\times \sqrt{\dfrac{3}{4}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{3}}{12}\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}}}$

\item 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_2-a_{1}\right)=\boxed{\textcolor{red}{a_n-a_1}}$ (en simplifiant)

\item Autre façon : 

$\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_2-a_{1}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\left[\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-2}+\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-3}+\cdots+1\right]=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\left[1+\dfrac{4}{9}+\cdots+\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-2}\right]$.

On remarque la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique :

On obtient : $\dfrac{\sqrt{3}}{12}\dfrac{1-\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{4}{9}}=\cdots=\dfrac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}\right)$.
\end{enumerate}

On en déduit : $a_n=a_1+\dfrac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{20}\left(1-\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}\right)}}$.

\end{enumerate}
\item %Donner une valeur approximative de $a_{50}$ arrondie au millième.
On trouve : $\boxed{\textcolor{red}{a_{50}}}\approx 0,693$.

\end{enumerate}

\item %Que se passe-t-il pour le périmètre $p_n$ quand $n$ devient de plus en plus grand ? Et pour l'aire $a_n$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le périmètre $p_n$ devient de plus en plus grand quand $n$ augmente et tend vers $+\infty$, car $\dfrac{4}{3}>1$ (justification dans le prochain chapitre).

\item $-1<\dfrac{4}{9}<1$, donc $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$ donc l'aire $a_n$ tend vers $\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{20}=\dfrac{2}{5}\sqrt{3}$. (justification dans le prochain chapitre)
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : le flocon de Koch qui est la figure \og{}limite\fg{} obtenue quand $n$ tend vers $+\infty$ a une \textbf{aire finie}, mais un \textbf{périmètre infini} !


%Barème : 
%1,5~;~1,5~;~4~;~5~;~8(2+2+4)
\label{fin}
\end{document}  