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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$u$ est une suite arithmétique telle que $\begin{cases}u_{11}=9\\u_{22}=42\end{cases}$.

Calculer $u_6$

\subsection{}
$u$ est une suite géométrique telle que $\begin{cases}u_{3}=-24\\u_{6}=192\end{cases}$.

Calculer $u_{10}$

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^3-2x^2+1.\]
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente  $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 2.

\item Conjecturer, en traçant $\mathscr{C}$ et $T$ à la calculatrice, la position relative de $\mathscr{C}$ et de $T$.
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=f(x)-(4x-7)\].
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$de $g$.

\item Pour tout nombre réel, déterminer le signe de $g'(x)$.

\item Dresser, en justifiant, le tableau de variation de $g$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(-2)$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, le signe de $g(x)$. 

\item En déduire alors la position relative de $\mathscr{C}$ et de $T$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\emph{\textcolor{blue}{Une longueur minimale}}}
ABCD est un carré de côté 1. $\mathscr{C}$ est le quart de cercle d centre A, de rayon AB, contenu dans le carré.
\begin{center}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(1.5,0.5)
\pspolygon(0.,0.)(1.,0.)(1.,-1.)(0.,-1.)
\psline  (0.,0.)(1.,0.)
\psline  (1.,0.)(1.,-1.)
\psline  (1.,-1.)(0.,-1.)
\psline  (0.,-1.)(0.,0.)
\parametricplot{-1.5707963267948966}{0.0}{1.*1.*cos(t)+0.*1.*sin(t)+0.|0.*1.*cos(t)+1.*1.*sin(t)+0.}
\psline(0.5506601164785444,-1.)(1.,-0.2897732899340183)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.022173212771448306,0.0490761142032853){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.)
\rput[bl](1.0211654143959477,0.0490761142032853){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,-1.)
\rput[bl](1.016119999236228,-1.081096881573926){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,-1.)
\rput[bl](-0.08882592074238496,-1.126505618011403){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*](0.8450719648301757,-0.5346525734138631)
\rput[bl](0.884939205083516,-0.5715099504422368){$T$}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,-0.2897732899340183)
\rput[bl](1.0211654143959477,-0.25869421053961594){\darkgray{$N$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5506601164785444,-1.)
\uput[d](0.572123465180895,-0.9700977480600926){\darkgray{$M$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
T est un point de $\mathscr{C}$ distinct de B et D. La tangente en T à $\mathscr{C}$ coupe[DC] en M et [BC] en N.

On pose $x=DM$ et $y=BN$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $MN^2=x^2+y^2-2x-2y+2$.

\item Établir que $MN=MT+TN=x+y$.

\item Exprimer alors $MN$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\item $f$ est la fonction définie sur $]0~;~1[$ par : \[f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de $f$.

\item Étudier les variations de $f$.
\end{enumerate}

\item Pour quelle position de M la longueur MN est-elle minimale ?

\end{enumerate}

\end{multicols}


\newpage


\subsection{}%Hyperbole page 131
Le flocon de Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par itération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(9.,3.)
\psline(0.,0.)(3.,0.)
\psline(5.,0.)(6.,0.)
\psline(6.5,0.8660254037844386)(6.,0.)
\psline(6.5,0.8660254037844386)(7.,0.)
\psline(8.,0.)(7.,0.)
\rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}}
\rput[bl](3.08,0.2){\blue{$B$}}
\rput[bl](5.08,0.2){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.08,0.2){\blue{$B$}}
\uput[u](1.5,0){1}
\uput[u](5.7,0){$\dfrac{1}{3}$}
\uput[u](7.5,0){$\dfrac{1}{3}$}
\uput[u](4,1){donne}
\end{pspicture*}

\end{center}
Le segment [AB] de longueur 1 se transforme en une ligne brisée de quatre segments de longueur $\dfrac{1}{3}$.

Les trois première étapes de construction du flocon sont : 


\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{0 cm}
Étape 1

\psset{unit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(9,8)
\psline(0,0)(8,0)
\psline(8,0)(4,6.93)
\psline(4,6.93)(0,0)
%\psdots[linecolor=blue](0,0)
%\psdots[linecolor=blue](8,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](4,6.93)
\end{pspicture*}

\columnbreak
Étape 2

\psset{unit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(9,8)
\psline(8,0)(5.33,0)
\psline(5.33,0)(4,-2.31)
\psline(4,-2.31)(2.67,0)
\psline(2.67,0)(0,0)
\psline(4,6.93)(5.33,4.62)
\psline(5.33,4.62)(8,4.62)
\psline(8,4.62)(6.67,2.31)
\psline(6.67,2.31)(8,0)
\psline(0,0)(1.33,2.31)
\psline(1.33,2.31)(0,4.62)
\psline(0,4.62)(2.67,4.62)
\psline(2.67,4.62)(4,6.93)
%\psdots[linecolor=blue](8,0)
%\psdots[linecolor=blue](0,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](4,6.93)
%\psdots[linecolor=darkgray](5.33,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](4,-2.31)
%\psdots[linecolor=darkgray](2.67,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](5.33,4.62)
%\psdots[linecolor=darkgray](8,4.62)
%\psdots[linecolor=darkgray](6.67,2.31)
%\psdots[linecolor=darkgray](1.33,2.31)
%\psdots[linecolor=darkgray](0,4.62)
%\psdots[linecolor=darkgray](2.67,4.62)
\end{pspicture*}

\columnbreak
Étape 3

\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{unit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(9,8)
\psline(2.67,0)(1.78,0)
\psline(1.78,0)(1.33,-0.77)
\psline(1.33,-0.77)(0.89,0)
\psline(0.89,0)(0,0)
\psline(4,-2.31)(3.57,-1.57)
\psline(3.57,-1.57)(2.72,-1.57)
\psline(2.72,-1.57)(3.15,-0.84)
\psline(3.15,-0.84)(2.72,-0.1)
\psline(5.33,0)(4.89,-0.77)
\psline(4.89,-0.77)(5.33,-1.54)
\psline(5.33,-1.54)(4.44,-1.54)
\psline(4.44,-1.54)(4,-2.31)
\psline(8,0)(7.11,0)
\psline(7.11,0)(6.67,-0.77)
\psline(6.67,-0.77)(6.22,0)
\psline(6.22,0)(5.33,0)
\psline(6.67,2.31)(7.11,1.54)
\psline(7.11,1.54)(8,1.54)
\psline(8,1.54)(7.56,0.77)
\psline(7.56,0.77)(8,0)
\psline(8,4.62)(7.56,3.85)
\psline(7.56,3.85)(8,3.08)
\psline(8,3.08)(7.11,3.08)
\psline(7.11,3.08)(6.67,2.31)
\psline(5.33,4.62)(6.22,4.62)
\psline(6.22,4.62)(6.67,5.39)
\psline(6.67,5.39)(7.11,4.62)
\psline(7.11,4.62)(8,4.62)
\psline(4,6.93)(4.44,6.16)
\psline(4.44,6.16)(5.33,6.16)
\psline(5.33,6.16)(4.89,5.39)
\psline(4.89,5.39)(5.33,4.62)
\psline(2.67,4.62)(3.11,5.39)
\psline(3.11,5.39)(2.67,6.16)
\psline(2.67,6.16)(3.56,6.16)
\psline(3.56,6.16)(4,6.93)
\psline(0,4.62)(0.89,4.62)
\psline(0.89,4.62)(1.33,5.39)
\psline(1.33,5.39)(1.78,4.62)
\psline(1.78,4.62)(2.67,4.62)
\psline(1.33,2.31)(0.89,3.08)
\psline(0.89,3.08)(0,3.08)
\psline(0,3.08)(0.44,3.85)
\psline(0.44,3.85)(0,4.62)
\psline(0,0)(0.44,0.77)
\psline(0.44,0.77)(0,1.54)
\psline(0,1.54)(0.89,1.54)
\psline(0.89,1.54)(1.33,2.31)
\psdots[linecolor=blue](8,0)

%\psdots[linecolor=blue](0,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](4,6.93)
%\psdots[linecolor=darkgray](5.33,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](4,-2.31)
%\psdots[linecolor=darkgray](2.67,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](5.33,4.62)
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%\psdots[linecolor=darkgray](1.33,-0.77)
%\psdots[linecolor=darkgray](0.89,0)
%\psdots[linecolor=xdxdff](2.72,-0.1)
%\psdots[linecolor=darkgray](3.57,-1.57)
%\psdots[linecolor=darkgray](2.72,-1.57)
%\psdots[linecolor=darkgray](3.15,-0.84)
%\psdots[linecolor=darkgray](4.89,-0.77)
%\psdots[linecolor=darkgray](5.33,-1.54)
%\psdots[linecolor=darkgray](4.44,-1.54)
%\psdots[linecolor=darkgray](7.11,0)
%\psdots[linecolor=darkgray](6.67,-0.77)
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%\psdots[linecolor=darkgray](7.11,1.54)
%\psdots[linecolor=darkgray](8,1.54)
%\psdots[linecolor=darkgray](7.56,0.77)
%\psdots[linecolor=darkgray](7.56,3.85)
%\psdots[linecolor=darkgray](8,3.08)
%\psdots[linecolor=darkgray](7.11,3.08)
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%\psdots[linecolor=darkgray](6.67,5.39)
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%\psdots[linecolor=darkgray](5.33,6.16)
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%\psdots[linecolor=darkgray](0,3.08)
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%\psdots[linecolor=darkgray](0.44,0.77)
%\psdots[linecolor=darkgray](0,1.54)
%\psdots[linecolor=darkgray](0.89,1.54)
\end{pspicture*}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du nombre de côtés}

Pour tout entier naturel $n$ avec $n\geqslant 1$, on note $C_n$ le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $C_1$, $C_2$, $C_3$ et $C_4$.

\item Démontrer que la suite $\left(C_n\right)$ est géométrique.

\item En déduire l'expression de $C_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Étude du périmètre}

Pour tout entier naturel $n$ avec $n\geqslant 1$, on note $u_n$ la longueur du segment à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

\item Démontrer que le périmètre du flocon à l'étape $n$ est donné par $p_n=3\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$.

\end{enumerate}

\item \textbf{Étude de l'aire}

Pour tout entier naturel $n$ avec $n\geqslant 1$, on note $a_n$ l'aire du flocon à l'étape $n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$.

\item De l'étape $n$ à l'étape $n+1$, l'aire est augmentée de celle des $C_n$ triangles équilatéraux de côté $u_{n+1}$.

En déduire $a_{n+1}-a_n$ en fonction de $n$.

\item Calculer $\left(a_n-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_2-a_{1}\right)$ de deux façons différentes.

En déduire la valeur de $a_n$ pour $n\geqslant 2$.

\item Donner une valeur approximative de $a_{50}$ arrondie au millième.
\end{enumerate}

\item Que se passe-t-il pour le périmètre $p_n$ quand $n$ devient de plus en plus grand ? Et pour l'aire $a_n$ ?

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  