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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} STG : correction du contrôle (sujet A)\\
\small{(droites et systèmes)}}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
%Représenter dans le repère ci-dessous les droites $d_{1}$ d'équation $y=3x-2$ et $d_{2}$ d'équation $x=-3$.
Pour la droite $d_{1}$  :
$\begin{array}{|*{3}{c|}}
\hline
x&0&2\\
\hline
y=3x-2&-2&4\\
\hline
\end{array}$\\
La droite $d_{1}$ passe par les points de coordonnées $(0~;~-2)$ et $(6~;~4)$.\\
On pouvait aussi utiliser le coefficient directeur égal à 3.\\

\noindent La droite $d_{2}$ est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point de coordonnées $(-3~;~0)$.
\begin{center}
\psset{unit=0.5,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-3)(4,6)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-4,0)(4,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,6)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[linecolor=red]{-0.3}{2.5}{3*x-2}
\psdots(0,-2)(2,4)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-3,-3)(-3,6)
\uput[d](1,1){$d_{1}$}
\uput[r](3,-2){$d_{2}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Dans un repère orthonormal, on considère les droites $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ et $d_{4}$ d'équations respectives : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_{1}$ : $y=-2x+15$. Le coefficient directeur est -2.

\item $d_{2}$ : $y=2-3x$. Le coefficient directeur est -3.

\item $d_{3}$ : $y=\dfrac{x}{2}+1$. Le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$.

\item $d_{4}$ : $y=x$. Le coefficient directeur est 1 (car $x=1x$).
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-4.2)(4,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-4)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-4)(4,4)%grille
\psplot{-1}{4}{(-3.5--2.5*x)/1}
\psdots(1,-1)
\uput[l](1,-1){A}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](1,-1)(2,-1)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,-1)(2,1.5)
\uput[d](1.5,-1){\textcolor{red}{1}}
\uput[r](2,0.5){\textcolor{red}{2,5}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%Donner une équation de la droite passant par les points A$(2~;~1)$ et B$(4~;~5)$.
Une équation de la droite (AB) est de la forme $y=ax+b$, où $a$ est le coefficient directeur.\\
$a=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{5-1}{4-2}=\dfrac{4}{2}=2$.\\
L'équation est donc $y=2x+b$.\\
Calcul de $b$ : Les coordonnées de A vérifient cette équation, donc $y_{A}=2x_{A}+b$, d'où : $1=2\times 2+b$, c'est-à-dire $1=4+b$.\\
On en déduit : $b=-3$.\\
Une équation de la droite (AB) est donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=2x-3}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

$d_{1}$ passe par les points de coordonnées (0~;~7) et (1~;~4) ; son coefficient directeur est donc : $\dfrac{4-7}{1-0}=-3$.\\
L'ordonnée à l'origine est 7 donc une équation de $d_{1}$ est : $\boxed{\textcolor{red}{y=-3x+7}}$.\\
$d_{2}$ est parallèle à l'axe (Oy) et passe par le point de coordonnées (4~;~0) : son équation est donc : $\boxed{\textcolor{red}{x=4}}$.\\
$d_{3}$ passe par les points A(1~;~3) et B(4~;~5).\\
Son coefficient directeur est $a=\dfrac{5-3}{4-1}=\dfrac{2}{3}$.\\
Une équation de $d_{3}$ est : $y=\dfrac{2}{3}x+b$.\\
Calcul de $b$ : les coordonnées de A vérifient cette équation donc $y_{A}=\dfrac{2}{3}x_{A}+b$.\\
Donc : $3=\dfrac{2}{3}\times 1+b$ qui donne $b=3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}$.\\
$d_{3}$ a pour équation : $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{\begin{array}{l}3x-y=9~(1)\\2x+5y=-11~(2)\end{array}\right.$\\
On peut utiliser la méthode par substitution : \\
D'après (1), on a : $3x-9=y$ donc $y=3x-9$.\\
ON remplace dans (2) : $2x+5y=-11$ donne $2x+5(3x-9)=-11$ d'où $2x+15x-45=-11$, donc $17x=34$ ; on en déduit $x=\dfrac{37}{17}=2$.\\
Comme $y=3x-9$, on a $y=3\times 2-9=-3$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Le couple solution est (2~;~-3)}}.

\item $\left\{\begin{array}{l}5x-7y=43~(1)\\2x+3y=-6~(2)\end{array}\right.$\\
Prenons la méthode par combinaisons :\\
$\begin{array}{lll}(1)\times 2&&10x-14y=86~(1')\\ (2)\times 5&&10x+15y=-30~(2')\end{array}$\\
On soustrait : $(2')-(1')$ :\\
$(10x+15y)-(10x-14y)=-30-86$, soit : $29y=-116$.\\
On en déduit : $y=-\dfrac{116}{29}=-4$.\\
En remppla\c cant dans (2) : $2x+3\times (-4)=-6$ d'où : $2x-12=-6$, soit $2x=-6+12=6$, donc $x=3$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Le couple solution est (3~;~-4)}}.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)} }%Brevet ouest septembre 2006

\begin{enumerate}

\item On a $x+y=20$ (nombre de parties) et $3x-4y=11$ (montant gagné).\\
On a donc le système : $\left\{\begin{array}{l}x+y=20\\3x-4y=11\end{array}\right.$.

\item Résolution par substitution :\\
La première équation donne $y=20-x$.\\
On remplace dans la deuxième équation : $3x-4(20-x)=11$ donc $3x-80+4x=11$ donc $7x=91$.\\
Par conséquent $x=\dfrac{91}{7}=13$ et $y=20-13=7$.

\item Fred a donc perdu 7 parties.

\end{enumerate}
\end{multicols}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} STG : contrôle (sujet B)\\
\small{(droites et systèmes)}}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
%Représenter dans le repère ci-dessous les droites $d_{1}$ d'équation $y=2x-3$ et $d_{2}$ d'équation $x=3$.

Pour la droite $d_{1}$  :
$\begin{array}{|*{3}{c|}}
\hline
x&0&2\\
\hline
y=2x-3&-3&1\\
\hline
\end{array}$\\
La droite $d_{1}$ passe par les points de coordonnées $(0~;~-3)$ et $(2~;~1)$.\\
On pouvait aussi utiliser le coefficient directeur égal à 2.

\noindent La droite $d_{2}$ est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point de coordonnées $(3~;~0)$.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-3)(4,6)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-4,0)(4,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,6)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[linecolor=red]{0}{3.5}{2*x-3}
\psdots(0,-3)(2,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](3,-3)(3,6)
\uput[d](1,-1){$d_{1}$}
\uput[r](3,-2){$d_{2}$}

\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Dans un repère orthonormal, on considère les droites $d_{1}$, $d_{2}$, $d_{3}$ et $d_{4}$ d'équations respectives : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_{1}$ : $y=-3x+15$. Le coefficient directeur est -3.

\item $d_{2}$ : $y=2-5x$. Le coefficient directeur est -5.

\item $d_{3}$ : $y=\dfrac{x}{3}+1$. Le coefficient directeur est $\dfrac{1}{3}$.

\item $d_{4}$ : $y=-x$. Le coefficient directeur est -1 (car $-x=-1\times x$).
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-11)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-11)(5,5)%grille
\psplot{-1}{4}{3.5*x-10}
\psdots(2,-3)
\uput[l](2,-3){A}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](2,-3)(3,-3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](3,-3)(3,0.5)
\uput[d](2.5,-3){\textcolor{red}{1}}
\uput[r](3,-1.5){\textcolor{red}{3,5}}
\end{pspicture*}
\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%Donner une équation de la droite passant par les points A$(2~;~1)$ et B$(5~;~7)$.
Une équation de la  droite (AB) est $y=ax+b$.\\
Calcul de $a$ : $a=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{7-1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{a=2}}$.\\
L'équation s'écrit : $y=2x+b$.\\
Les coordonénes de A vérifient cette équation : $y_{A}=2x_{A}+b$ donc $1=2\times 2+b$.\\
D'où : $1=4+b$ qui donne $1-4=b$, c'est-à-dire $\boxed{\textcolor{red}{b=-3}}$.\\
Une équation de la droite (AB) est donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=2x-3}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
$d_{1}$ passe par les points de coordonnées (0,5) et $(1,2)$.\\
L'ordonnée à l'origine est donc 5 et le coefficient directeur est : $\dfrac{2-5}{1-0}=-3$.\\
Une équation de $d_{1}$ est donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=-3x+5}}$.\\

\noindent $d_{2}$ est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point de coordonnées (4~;~0). Elle a pour équation : $\boxed{\textcolor{red}{x=4}}$.\\

\noindent $d_{3}$ passe par A et B, de coordonnées (1~;~2) et B(4~;~4).\\
Le coefficient directeur de (AB) est : $a=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{4-2}{4-1}=\dfrac{2}{3}$.\\
Son équation est de la donc de la forme : $y=\dfrac{2}{3}x+b$.\\
B appartient à cette droite donc ses coordonnées vérifient cette équation (ou celles de A) :\\
$4=\dfrac{2}{3}\times 4+b$, donc $4=\dfrac{8}{3}+b$ d'où $b=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$.\\
Une équation de (AB) est donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre les systèmes d'équations suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\{\begin{array}{l}2x-y=6~(1)\\2x+5y=-16~(2)\end{array}\right.$\\
Calculons par exemple (1)-(2) : $(2x-y)-(2x+5y)=6-(-16)$ donc $-6y=22$ d'où $y=\dfrac{22}{-6}=-\dfrac{11}{3}$.\\
D'après (1) : $2x-y=6$, donc $2x=6+y=6-\dfrac{11}{3}=\dfrac{18}{3}-\dfrac{11}{3}=\dfrac{7}{3}$ ; alors : $x=\dfrac{7}{6}$.\\
Le couple solution est $\left(\dfrac{7}{6}~;~-\dfrac{11}{3}\right)$.

\item $\left\{\begin{array}{l}5x-7y=-30~(1)\\2x+3y=17~(2)\end{array}\right.$\\
Utilisons la méthode par combinaisons :\\
$\left\{\begin{array}{lll}(1)\times 2&&10x-14y=-60(1')\\(2)\times 5&&10x+15y=85(2')\end{array}\right.$.\\
On soustrait : $(2')-(1')$ : $(10x+15y)-(10x-14y)=85-(-60)$ d'où $29y=145$ qui donne $y=\dfrac{145}{29}=5$.\\
Alors : $2x=17-3x=17-3\times 5=17-15=2$ et alors : $x=\dfrac{2}{2}=1$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Le couple solution est : $(1~;~5)$.}}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)} }%Brevet ouest septembre 2006

\begin{enumerate}

\item On a $x+y=20$ (nombre de parties) et $3x-4y=11$ (montant gagné).\\
On a donc le système : $\left\{\begin{array}{l}x+y=20\\3x-4y=11\end{array}\right.$.

\item Résolution par substitution :\\
La première équation donne $y=20-x$.\\
On remplace dans la deuxième équation : $3x-4(20-x)=11$ donc $3x-80+4x=11$ donc $7x=91$.\\
Par conséquent $x=\dfrac{91}{7}=13$ et $y=20-13=7$.

\item Fred a donc perdu 7 parties.

\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{document}  