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\lhead{1\iere{} COM}
% pour le pied de page central
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\begin{document}
\begin{center}
\subsection*{\textbf{\textcolor{red}{Suites arithmétiques et géométriques : feuille d'exercices \no 2}}}
\end{center}
\subsection{}
\noindent La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique. On sait que $u_{1}+u_{7}=36$ et $u_{4}+u_{5}=41$.\\
Déterminer le premier terme $u_{0}$ et la raison $r$ de cette suite.

\subsection{}
\noindent Dans une ville, le nombre de nouveaux malades le jour du pic d'une épidémie est \nombre{2200}. Ensuite, il diminue de 300 cas par jour.\\
On appelle $u_{n}$ le nombre de nouveaux cas $n$ jours après le pic.\\
Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique.\\
Déterminer $u_{n}$ en fonction de $n$.

\subsection{}
Au 1\ier janvier 2011, une ville A compte \numprint{200000} habitants et une ville B en a \numprint{150000}.\\
On prévoit pour cette année 2011 et les années suivantes une diminution annuelle de la population de 3~\% pour la ville A et une augmentation annuelle de 5~\% pour la ville B.\\

\begin{enumerate}
\item Quelles seront les populations des villes A et B le 1\ier janvier 2012 et 2013 ?

\item Pour tout entier $n$, on appelle $a_{n}$ et $b_{n}$ les populations respectives des villes A et B le 1\ier janvier de l'année ($2011+n$).\\
Vérifier que ces deux suites sont géométriques et donner leurs raisons.

\item Déterminer le terme général de $a_{n}$ et de $b_{n}$ en fonction de $n$.

\item À l'aide de la calculatrice, donner l'année à partir de laquelle la population de la ville B dépassera celle de la ville A.

\end{enumerate}

\subsection{}
M. Dupont désire acheter une automobile qui, au 1\ier juillet 2008, coûte \numprint{9000}~\euro. N'ayant à sa disposition que \numprint{7700}~\euro~et ne voulant pas prendre de crédit, il décide de placer cette somme. Un organisme financier lui assure un placement,  (à intérêts composés, au taux annuel de 7~\%.\\
On se propose de calculer en quelle année M. Dupont pourra acheter la voiture dont il rêve.\\
Pour tout entier $n$, on note $u_{n}$ le capital dont dispose M. Dupont au 1\ier juillet de l'année $(2008 + n)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

\item Montrer que la suite $(u_{n})$, avec $n\in\mathbb{N}$, est une suite géométrique dont on précisera la raison.\\
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 

\item Le prix de l'automobile que veut acheter M. Dupont augmente régulièrement de 3~\% au 1\ier juillet de chaque année. \\
Pour tout entier $n$, on note $v_{n}$ le prix de l'automobile au 1\ier juillet de l'année ($2008 + n$).\\
Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.

\item Déterminer à partir de quelle année M. Dupont pourra acheter cette voiture. 
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  