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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Contrôle sur les suites arithmétiques et géométriques (sujet A)}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{5}=3$ et $r=\dfrac{1}{2}$.\\
Calculer $u_{7}$ et $u_{30}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, de premier terme $u_{0}=2$ et de raison $q=3$.\\
Calculer $u_{1}$ et $u_{5}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=17$ et, pour tout $n$,   $u_{n +1} = u_{n} + 4$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ et $u_{4}$.

\item Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?\\
Donner sa raison.

\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et de $n$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.
On sait que $u_{17}=24$ et $u_{40}=70$.

\begin{enumerate}

\item Pour un entier $p\leqslant n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{p}$.

\item En déduire l'expression de $u_{40}$ en fonction de $u_{17}$ et de $r$, puis calculer $r$.

\item En déduire la valeur de $u_{0}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Les premiers termes d'une suite sont : \\
-2~;~1~;~4~;~7~;~10~;~13.\\

\begin{enumerate}
\item Sont-ce les premiers termes d'une suite arithmétique ? Pourquoi ?

\item Quel serait le septième terme de cette suite ? 

\item Et le quatre cent quatre-vingt quinzième terme ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Les premiers termes d'une suite sont :  \\
2~;~2,2~;~2,42~;~2.662~;~2,9282.\\

\begin{enumerate}
\item Sont-ce les premiers termes d'une suite géoémtrique ? Pourquoi ?

\item Quel serait le terme suivant ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Pierre se constitue une tirelire afin d'acheter un vélo qui coûte 150 euros.\\
Après un dépôt initial dans cette tirelire de 8 euros, il décide qu'à la  fin de chaque mois, il déposera une somme de plus en plus grande : la somme déposée à la  fin de chaque mois sera augmentée de 2 euros par rapport à celle du mois précédent. Ainsi, à la  fin du premier mois, il déposera 10 euros et la tirelire contiendra 18 euros.\\
On note $p_{0}$ le dépôt initial et $p_{n}$ la somme déposée à la  fin du $n$-ième mois. On obtient ainsi une suite notée $(p_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$.

\item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$.

\item Montrer que la suite $(p_{n})$ est arithmétique et donner sa raison.\\
En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle somme totale contiendra la tirelire au bout de deux mois ?

\item Montrer que la somme totale contenue dans la tirelire au bout de n mois est \\
$(n+1)(n+8)$ (voir rappel).
\end{enumerate}

\item Un ami de Pierre lui fait remarquer qu'il devra attendre 9 mois pour pouvoir acheter son vélo.\\
Justifier cette affirmation.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Un arbuste, placé dans un pot de 25 cm de haut, mesure 1 m de haut lors de l'achat chez l'horticulteur.\\
Il croît de 8\%{} par an.\\
On appelle $h_{n}$ la hauteur  de l'arbuste  $n$ années après l'achat (sans la hauteur du pot).
\begin{enumerate}

\item Montrer que $h_{1}=1,08$ m.

\item Calculer $h_{2}$ et $h_{3}$.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(h_{n}\right)$ ?

\item Exprimer $h_{n}$ en fonction de $n$.

\item Au bout de combien d'années l'arbuste atteindra-t-il le plafond, situé à 2,50 m au-dessus du sol ? (attention à la hauteur du pot !)
\end{enumerate}

\end{multicols}

Rappel : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique, $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}=\dfrac{(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)}{2}$.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}=u_{0}\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\setcounter{subsection}{0}
\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Contrôle sur les suites arithmétiques et géométriques (sujet B)}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$. On sait que $u_{5}=7$ et $r=\dfrac{1}{2}$.\\
Calculer $u_{7}$ et $u_{30}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, de premier terme $u_{0}=3$ et de raison $q=3$.\\
Calculer $u_{1}$ et $u_{5}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=17$ et, pour tout $n$,   $u_{n +1} = u_{n} + 3$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ et $u_{4}$.

\item Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?\\
Donner sa raison.

\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et de $n$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
$\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.
On sait que $u_{17}=87$ et $u_{40}=202$.

\begin{enumerate}

\item Pour un entier $p\leqslant n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $u_{p}$.

\item En déduire l'expression de $u_{40}$ en fonction de $u_{17}$ et de $r$, puis calculer $r$.

\item En déduire la valeur de $u_{0}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Les premiers termes d'une suite sont : \\
-4~;~-1~;~2~;~5~;~8~;~11.\\

\begin{enumerate}
\item Sont-ce les premiers termes d'une suite arithmétique ? Pourquoi ?

\item Quel serait le septième terme de cette suite ? 

\item Et le quatre cent quatre-vingt quinzième terme ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Les premiers termes d'une suite sont :  \\
2~;~2,2~;~2,42~;~2.662~;~2,9282.\\

\begin{enumerate}
\item Sont-ce les premiers termes d'une suite géométrique ? Pourquoi ?

\item Quel serait le terme suivant ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Pierre se constitue une tirelire afin d'acheter un vélo qui coûte 250 euros.\\
Après un dépôt initial dans cette tirelire de 9 euros, il décide qu'à la  fin de chaque mois, il déposera une somme de plus en plus grande : la somme déposée à la  fin de chaque mois sera augmentée de 3 euros par rapport à celle du mois précédent. Ainsi, à la  fin du premier mois, il déposera 12 euros et la tirelire contiendra 21 euros.\\
On note $p_{0}$ le dépôt initial et $p_{n}$ la somme déposée à la  fin du $n$-ième mois. On obtient ainsi une suite notée $(p_{n})$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$.

\item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$.

\item Montrer que la suite $(p_{n})$ est arithmétique et donner sa raison.\\
En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle somme totale contiendra la tirelire au bout de deux mois ?

\item Montrer que la somme totale contenue dans la tirelire au bout de n mois est \\
$(n+1)(n+8) (voir rappel)$.
\end{enumerate}

\item Un ami de Pierre lui fait remarquer qu'il devra attendre 9 mois pour pouvoir acheter son vélo.\\
Justifier cette affirmation.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Un arbuste, placé dans un pot de 25 cm de haut, mesure 1 m de haut lors de l'achat chez l'horticulteur.\\
Il croît de 8\%{} par an.\\
On appelle $h_{n}$ la hauteur  de l'arbuste  $n$ années après l'achat (sans la hauteur du pot).
\begin{enumerate}

\item Montrer que $h_{1}=1,08$ m.

\item Calculer $h_{2}$ et $h_{3}$.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(h_{n}\right)$ ?

\item Exprimer $h_{n}$ en fonction de $n$.

\item Au bout de combien d'années l'arbuste atteindra-t-il le plafond, situé à 2,50 m au-dessus du sol ? (attention à la hauteur du pot !)
\end{enumerate}


\end{multicols}

Rappel : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique, $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}=\dfrac{(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)}{2}$.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est géométrique, $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}=u_{0}\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  