\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[latin1]{inputenc}%applemac->latin1 sur pc! 
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,bclogo}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Proportions, pourcentages}}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents



\section*{\textcolor{blue}{Activités préparatoires \no 1 et 2}}
Page 19

\section{\textcolor{red}{ Notion de proportion}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 On considère une partie A d'un ensemble E. On appelle proportion de A dans E le quotient
du nombre d'éléments de A par le nombre d'éléments de E.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1}} : Une classe de 32 élèves comporte 20 filles. Exprimer en pourcentage la proportion de filles dans
la classe.\\

\noindent $\dfrac{20}{32}=\dfrac{5}{8}=0,625=62,5\%$.\\
Dans la classe, la proportion de filles est de 62,5\%.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Intersection et réunion de deux populations :}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit E une population de référence et soient deux parties A et B de E.\\
On note $\text{A}\cap\text{B}$ l'intersection de A et de B, constituée des individus appartenant à la fois à A et à B
\end{bclogo}
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](-3,-3){A} 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](-3,3){B} 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](3,3){C} 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](3,-3){D} 
\psellipse  (1,0)(1.8,1) 
\psellipse  (-1,0)(1.8,1) 
\pspolygon(A)(B)(C)(D) 
\rput (0,0){$A \cap B$}
\uput[ur](3,3){E} 
\uput[ul](-2.6,0.4){A}\uput[ul](2.7,0.4){B}
\end {pspicture} 
\end{center}
La proportion de $\text{A}\cap\text{B}$ par rapport à E, $p_{\text{A}\cap\text{B}}$ est inférieure ou égale à $p_{\text{\A}}$ ou à $p_{\text{B}}$.\\

\newpage
\textbf{\textcolor{blue}{Cas particulier}} : A et B sont deux populations disjointes : l'intersection est alors vide et $p_{\text{A}\cap\text{B}}=0$.

\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3) 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](-3,-3){A} 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](-3,3){B} 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](3,3){C} 
\pstGeonode[PointName = none, PointSymbol = none](3,-3){D} 
\psellipse  (1,1.5)(1.8,1) 
\psellipse  (-1,-1.5)(1.8,1) 
\pspolygon(A)(B)(C)(D) 
\rput (0,0){$A \cap B$}
\uput[ur](3,3){E} 
\uput[ul](-2.6,-1){A}\uput[ul](2.7,2.4){B}
\end {pspicture} 
\end{center}

Exemple : le groupe des filles et celui des gar\c cons dans une classe.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On note $\text{A}\cup\text{B}$ la réunion des de A et de B, c'est-à-dire la partie de E constituée des éléments de A \textbf{ou} de B.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : on a $p_{\text{A}\cup\text{B}}=p_{A}+p_{B}-p_{\text{A}\cap\text{B}}$.

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition : Proportions échelonnées}}
On considère trois ensembles de populations A, E et F. On suppose que A est inclus dans E et que E est inclus dans F.\\
On note $p$ la proportion de A dans E et $p'$ la proportion de E dans F.\\
Alors : la proportion de A dans F est $P=p\times p'$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Explication :}} $P=\dfrac{\text{nombre d'éléments de A}}{\text{nombre d'éléments de F}}=\dfrac{\text{nombre d'éléments de A}}{\text{nombre d'éléments de E}}\times \dfrac{\text{nombre d'éléments de E}}{\text{nombre d'éléments de F}}=p\times p'$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}} :\\
Dans une classe, $\dfrac{1}{3}$ des élèves font de l'allemand en seconde langue et il y a 40\% de gar\c cons dans la classe.\\
Quelle est  proportion des gar\c cons faisant de l'allemand par rapport à l'ensemble de la classe ?\\
C'est : $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{40}{100}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}\approx 13,33\%$.

\newpage
\section{\textcolor{red}{Évolution d'une quantité}}
Il existe deux manières principales de caractériser l'évolution d'une quantité.

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère la valeur initiale $V_{i}$ et la valeur finale $V_{f}$ d'une quantité.\\
On appelle coefficient d'évolution de la quantité le nombre : $c =\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$.
\end{bclogo}

\end{minipage}\\

\noindent Le coefficient d'évolution n'est rien d'autre que le coefficient multiplicateur permettant de passer de la quantité initiale à la quantité finale.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 3}} : Un disque coûtant 25 \euro est baissé à 15\euro . Calculer le coefficient d'évolution de son prix.\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: Le coefficient d'évolution est supérieur à 1 dans le cas d'une augmentation et inférieur à 1
dans le cas d'une réduction.

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère la valeur initiale $V_{i}$ et la valeur finale $V_{f}$ d'une quantité.\\
On appelle taux d'évolution de la quantité le nombre : $t =\dfrac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

Le taux d'évolution représente la variation de la quantité relativement à la quantité de départ.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 4}}.\\
Un disque coûtant 20 \euro est baissé à 15 \euro . Calculer le taux d'évolution de son prix.\\
$t=\dfrac{15-20}{25}=-\dfrac{5}{25}=-\dfrac{1}{5}=-0,2=-20\%$ : le prix a baissé de 20\%.

\textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: Le taux d'évolution est positif dans le cas d'une augmentation et négatif dans le cas d'une
réduction.\\

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On a la relation suivante liant coefficient et taux d'évolution : $c = 1 + t$.
\end{bclogo}
\end{minipage}\\
\textcolor{red}{Démonstration :}\\
$1+t=1+\dfrac{V_{f}-V_{i}}{V_{i}}=\dfrac{V_{i}+\left(V_{f}-V_{i}\right)}{V_{i}}=\dfrac{V_{f}}{V_{i}}=c$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Exercices d'application :}}\\

\noindent \textcolor{blue}{Exercice 1} \\
Un lecteur DVD coûtant 100\euro voit son prix augmenter de 10\% puis diminuer de 10\%. Calculer
le prix final.\\
Le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse est : $c_{1}=1+\dfrac{10}{100}=1,1$.\\
Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse est : $c_{2}=1-\dfrac{10}{100}=0.9$.\\
Le prix final est : $100\times 1,1\times 0,9=100\times 0,99=99\euro$.\\


\noindent \textcolor{blue}{Exercice 2}\\
Le prix d'un article subit une hausse de 30\% puis une baisse de 25\%. Calculer le taux d'évolution global.\\
Soit $t$ ce taux final et $c$ le coefficient d'évolution final :\\
$c=c_{1}c_{2}=\left(1+30\%\right)\times \left(1-25\%\right)=1,3\times 0,75=0,975$.\\
$c=1+t=0,975$ donc $t=0,975-1=-0,025=-2,5\%$.\\
Le taux dévolution global est de -2,5\%.\\

\noindent \textcolor{blue}{Exercice 3}
Un prix augmente de 4 \% puis baisse de 4\%. Quel est le taux d'évolution global ?
Le coefficient d'évolution correspondant  à la hausse de 4 \% est :  $c_{1}=1+\dfrac{4}{100}=1,04$.\\
Le coefficient d'évolution correspondant  à la baisse de 4 \% est :  $c_{2}=1-\dfrac{4}{100}=0,96$.\\
Le coefficient d'évolution global est donc $c=c_{1}\times c_{2}=1,04\times 0,96=0,9984$.\\
Soit $t$ le taux dévolution global.\\
On a : $c=1+t$ dopnc $t=1-c=1-0,9984=-0,0016=-0,16\%$.\\
Globalement, le prix a subi une baisse de 0,16 \%.

\textbf{\textcolor{red}{Taux d'évolution réciproque :}}\\
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $t$ un taux d'évolution, qui s'applique à une certaine valeur initiale. On appelle taux d'évolution réciproque le taux $t'$ d'évolution qui permet de retrouver la valeur initiale.\\
Soient $c$ et $c'$ les coefficients d'évolution correspondants.\\
On a : $c=1+t$ et $c'=1+t'$.\\
Le coefficient global d'évolution est le produit de ces coefficients. Si le prix est inchangé, ce coefficient global est 1.\\
Par conséquent : $cc'=1$, soit $(1+t)(1+t')=1$.\\
On en déduit : $1+t'=\dfrac{1}{1+t}$ d'où $t'=\dfrac{1}{1+t}-1$.
\end{bclogo}
\noindent \textcolor{blue}{Exemple :}
Le prix d'un article subit une hausse de 60\%. Calculer le taux d'évolution réciproque, permettant de revenir au prix initial.\\
Le taux correspondant à ma hausse de 60 \% est $t=60 \%$, avec un coefficient d'évolution  correspondant qui est : $c=1+60 \%=1,6$.
Soit $t'$ ce taux d'évolution réciproque. Le coefficient correspondant à la baisse est : $c'=1-t$.\\
Le coefficient global d'évolution est  $cc'$.\\
On doit avoir : $cc'=1$ donc $1,6\times (1+t')=1$.\\
On en déduit : $+t'=\dfrac{1}{1,6}$ donc $t'=\dfrac{1}{1,6}-1=-0,375=-37,5 \%$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Le taux d'évolution réciproque est de -37,5\%}}.

\label{fin}
\end{document}  