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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Suites numériques}}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\subsection*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices d'initiation}}

\subsection{\textcolor{red}{Généralités}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite numérique est une liste illimitée de nombres.\\
Pour repérer les termes, on les numérote.\\
Mathématiquement, une suite $u$ est donc une fonction d'une variable $n\in\mathbb{N}$. Les termes sont donc $u(0)$, $u(1)$, \dots, $u(n)$, \dots.\\
Notation : le terme $u(n)$ cécrit plutôt $u_{n}$.\\
Les termes sont alors $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$, \dots, $u_{n}$, etc.
\end{bclogo}

Il y a deux fa\c cons de définir une suite :

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition explicite}}
On a un moyen de calculer directement le terme $u_{n}$ :\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=3n$.\\
On a directement : $u_{0}=0$, $u_{1}=3$, $u_{2}=6$, etc.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{n}=\dfrac{1}{n^2+1}$.\\
On a : $u_{0}=1$, $u_{1}=\dfrac{1}{2}$, $u_{2}=\dfrac{1}{2^2+1}=\dfrac{1}{5}$, etc.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition par récurrence}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est définie par récurrence si l'on connaît le premier terme et l'expression d'un terme en fonction du terme précédent.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1\\u_{n+1}=u_{n}+2\end{array}\right.$\\
On a donc :\\
$u_{0}=1$\\
$u_{1}=u_{0}+2=1+2=3$\\
$u_{2}=u_{1}+2=3+2+5$\\
\vdots\\
$u_{n+1}=u_{n}+2$

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=3\\u_{n+1}=2u_{n}\end{array}\right.$\\
On a alors : \\
$u_{0}=3$\\
$u_{1}=2u_{0}=2\times 3=6$\\
$u_{2}=2u_{1}=2\times 6=12$\\
$u_{3}=2u_{2}=2\times 12=24$\\
\vdots\\
$u_{n+1}=2u_{n}$

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=5\\u_{n+1}=u_{n}-3\end{array}\right.$\\
Les premiers termes de la suite sont : $u_{0}=5$, $u_{1}=u_{0}-3=5-3=2$, $u_{2}=u_{1}-3=2-3=-1$, etc.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=3u_{n}-1\end{array}\right.$\\
On a alors : 
$u_{1}=3u_{0}-1=3\times 2-1=5$\\
$u_{2}=3u_{1}-1=3\times 5-1=14$\\
$u_{3}=3u_{2}-1=3\times 14-1=41$\\
\vdots\\
$u_{n+1}=3u_{n}-1$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Représentation graphique d'une suite}}
Pour une suite définie de fa\c con explicite, on représente les termes de la suite par des points d'abscisse $n$ et d'ordonnée $u_{n}$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Soit la suite $\left(u_{u_{n}}\right)$ définie par $u_{n}=7-n$.\\
On a : $u_{0}=7$, $u_{1}=6$, $u_{2}=5$, $u_{3}=4$, $u_{4}=3$, $u_{5}=2$, $u_{6}=1$, $u_{7}=0$, $u_{8}=-1$, \dots
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(8,8)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(8,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,8)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psdots(0,7)(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)(7,0)(8,-1)
\end{pspicture}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations d'une suite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Une suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant u_{n}$

\item Une suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
Soit la suite définie  par : $u_{n}=3n-4$.\\
On a : $u_{n}=3n-4$ ; $u_{n+1}=3(n+1)-4=3n+3-4=3n-1$.\\
Par conséquent : pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_{n}=(3n-1)-(3n-4)=3n-1-3n+4=3>0$.\\
On en déduit : $u_{n+1}>u_{n}$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.\\

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{0}=5$ et $u_{n+1}=u_{n}+7$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=7>0$ donc $u_{n+1}>u_{n}$.\\
La site $\left(u_{n}\right)$ est donc croisante.

\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Défnition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $r$ un nombre. La suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique si, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
$r$ est appelé la raison de cette suite.\\
Pour calculer les termes, il faut donner le premier terme
\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=u_{n}+5\end{array}\right.$.\\
Cette suite est arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_{0}=2$\\

\noindent On passe de chaque terme au terme suivant en ajoutant le nombre $r$ (qui peut être négatif)\\

\noindent Le problème est que, pour calculer un terme, il faut connaître les termes précédents. 

\subsubsection{\textcolor{blue}{Terme général}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$.\\
Le terme général s'exprime par la relation : $u_{n}=u_{0}+nr$.\\
Si l'on part d'un terme $u_{p}$ autre que $u_{0}$, on a : $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
\end{bclogo}

\noindent Justification :\\
$u_{1}=u_{0}+r$\\
$u_{2}=u_{1}+r=\left(u_{0}+r\right)+r=u_{0}+2r$\\
$u_{3}=u_{2}+r=\left(u_{0}+2r\right)+r=u_{0}+3r$\\
\vdots\\
$u_{n+1}=u_{n}+nr$

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$.\\
Si $r>0$, cette suite est croissante.\\
Si $r=0$, cette suite est constante.\\
Si $r<0$, cette suite est décroissante.\\
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}
Si $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r$, $u_{n}=u_{0}+nr$ : c'est uine fonction affine de $n$ (de la forme $an+b$).\\
Les points représentatifs de la suite sont donc alignés sur une droite, de coefficient directeur $r$.



\subsection{\textcolor{red}{Suites géométriques}}

	
\label{fin}
\end{document}  