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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Statistiques}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Vocabulaire statistique}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Population - Caractère}}
La \textbf{ population} étudiée est un ensemble faisant l'objet d'une étude statistique. Les éléments de cette population sont des individus\\
On observe sur cette population des caractéristiques appelées caractères et qui prennent différentes \textbf{modalités}.

\subsubsection{\textcolor{blue}{ Caractères}}
 Un \textbf{caractère} est qualitatif si ses modalités ne sont pas numériques (couleur de cheveux, sexe, \dots).\\
 Un caractère est \textbf{quantitatif} si ses modalités s'expriment par un nombre.\\
 Si, de plus, les modalités (ou valeurs) sont regroupées en classes (ou intervalles), il est \textbf{quantitatif continu}; sinon, il est \textbf{quantitatif discret}.\\
 Pour une classe [a ; b[, le centre de classe est $\dfrac{a + b}{2}$ ; l'amplitude est $b - a$.\\
 
 \noindent Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère ayant l'effectif le plus grand.

\subsubsection{ \textcolor{blue}{Effectif et fréquence}} 
L'effectif $n_{i}$ est le nombre d'individus de la population dont le caractère prend une modalité donnée notée $x_{i}$. \\
L'effectif total est le nombre d'individus de la population. Il est noté N.\\
La fréquence $f_{i}$  est le rapport: $\dfrac{n_{i}}{N}$.

\subsection{\textcolor{red}{ Représentations graphiques}}

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Diagramme en secteurs circulaires (ou camembert)}\\
Il est utilisé pour représenter une série dont le caractère est qualitatif.

\item \textbf{Diagramme en bâtons} : il est utilisé pour représenter une série dont le caractère est quantitatif discret. 

\item \textbf{Histogramme (constitué de rectangles)} : il est utilisé pour représenter une série dont le caractère est quantitatif continu.\\
L'aire des rectangles est proportionnelle aux effectifs.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Les quantiles}}


\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{blue}{La médiane} :}\\
La médiane, notée $M$, est la valeur d'un caractère quantitatif qui partage  l'effectif total de la population en deux groupes égaux (de même effectif).\\
Pour la déterminer, il est nécessaire d'ordonner par ordre croissant les différentes valeurs du caractère et de calculer les effectifs cumulés croissants. \\

\noindent Lorsque le caractère étudié est quantitatif discret, on détermine le rang $r =\dfrac{N}{2}$  de la médiane.\\
Si $r$ est un nombre entier, alors la médiane est la moyenne des  valeurs des rangs $r$ et $r + 1$.\\
Si $r$ n'est pas un nombre entier, alors la médiane est la valeur du rang le plus proche supérieur à r. 

\item \textbf{\textcolor{blue}{Les quartiles}}\\
Les trois quartiles $Q_{1}$, $Q_{2}=M$ et $Q_{3}$ sont les valeurs d'un caractère quantitatif qui partagent l'effectif total en quatre grooupes de même effectif.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Les déciles}}\\
Les neuf déciles $d_{1}$, $d_{2}$, \dots $d_{9}$ partagent l'effectif total en dix groupes de même effectif.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Diagrammes en boîtes}}
Les deux quartiles $Q_{1}$, $Q_{3}$, la médiane $M$ d'une série statistique, associés aux valeurs extrêmes (minimum et maximum) permettent d'appréhender certaines caractéristiques  de la répartition des valeurs.\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
Voici la série des températures (en degré Celcius) relevées sous abri à différents moments de la journée. Elles sont classées par ordre croissant.\\
3 ; 3,8 ; 4,5 ; 4,8 ; 5 ; 5,5 ; 5,7 ; 5,8 ; 6,2 ; 7 ; 7,3 ; 8,2 ; 9 ; 9,2 ; 9,5 ; 9,7\\
Les valeurs extrêmes sont 3 et 9,7.\\
La médiane vaut 6 (moyenne entre 5,8 et 6,2).\\
Le premier quartile est $Q_{1}=4,8$ ; le troisième quartile est $Q_{3}=8,2$.
Le diagramme en boîte est alors : 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(10.1,2.2)
\def\xmin{0} \def\xmax{10} \def\ymin{0} \def\ymax{1.4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(10.1,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=2.4cm}
\psgrid[griddots=25,gridlabels=0pt,gridwidth=.8pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.8pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(10,1.4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](4.8,0.8)(8.2,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(6,0.8)(6,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,1.2)(4.8,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(8.2,1.2)(9.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,1.05)(3,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(9.7,1.05)(9.7,1.35)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\uput[u](3,1.3){Min}\uput[u](4.8,1.5){$Q_{1}$}\uput[u](6,1.5){M}\uput[u](8.2,1.5){$Q_{3}$}\uput[u](9.7,1.3){Max}
\end{pspicture*}
\end{center}
Les diagrammes en boîte servent à faire des comparaisons de deux séries statistiques.\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
Les séries suivantes donnent les précipitations moyennes mensuelles en millimètres à Nice et à Paris :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{12}{c|}c|}
\hline
&J&F&M&A&M&J&J&A&S&O&N&D\\
\hline
Nice&67&83&71&70&39&37&21&38&83&109&158&92\\
Paris&53&48&40&45&53&57&54&61&54&50&58&51\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour effectuer la comparaison, on va ranger chaque série par ordre croissant :\\
Nice : 21 ; 37 ; 38 ; 39 ; 67 ; 70 ; 71 ; 83 ; 83 ; 92 ; 109 ; 158\\
Paris 40 ; 45 ; 48 ; 50 ; 51 ; 53 ; 53 ; 54 ; 54 ; 57 ; 58 ; 61\\\\
Pour Nice, on a : Min =21 ; Max = 158 ; $Q_{1}=38$ ; $M_{1}=70,5$ et $Q_{3}=83$\\
Pour Paris, on a : Min =40 ; Max = 61 ; $Q_{1}=48$ ; $M_{1}=53$ et $Q_{3}=54$\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Diagrammes en boîtes :}}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(158.1,3.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{158} \def\ymin{0} \def\ymax{2.6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(158.1,3.4)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](38,0.8)(83,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(70.5,0.8)(70.5,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(21,1.2)(38,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(83,1.2)(158,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(21,1.05)(21,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(158,1.05)(158,1.35)
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid](48,2)(54,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(53,2)(53,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(40,2.4)(48,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(54,2.4)(61,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(40,2.25)(40,2.55)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(61,2.25)(61,2.55)

\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=10,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)

\uput[u](10,1){Nice}
\uput[u](30,2){Paris}
\end{pspicture*}
\end{center}
Les précipitations sont plus régulières tout au long de l'année à Paris (série moins dispersée). La totalité des valeurs de la série des précipitations à Paris est comprise entre le premier quartile et la médiane de la série des précipitations à Nice.\\
Pour la ville de Nice, plus de la moitié des mois ont des précipitations supérieures au maximum de Paris.

\subsection{\textcolor{red}{Moyenne et écart-type}}
\subsubsection{\textbf{\textcolor{blue}{Moyenne (pondérée)}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une série statistique dont les valeurs du caractère sont $x_1, x_2,\cdots, x_k$ et $n_1,  n_2,\cdots, c_k$ effectifs associés.\\
La moyenne de la série statistique, notée $\bar x$, a pour valeur :
\[\bar x=\cfrac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{k}x_{k}}{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}}\]
\end{bclogo}

\noindent Conséquence: Lorsqu'on présente la série statistique en ne donnant que la liste des valeurs, alors la moyenne est
\[\cfrac{x_1 +x_2+\cdots+x_k}{k}\]


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variance et écart-type}}
Considérons deux groupes d'élèves, l'un de dix élèves et l'autre de huit élèves ; leurs notes de mathématiques à un contrôle sont :\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Première série :}}\\
$\begin{array}{|*{6}{c|}}
\hline
\text{note }x_{i}&1&2&3&17&20\\
\hline
\text{effectif }n_{i}&3&1&1&1&4\\
\hline
\end{array}$\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Deuxième série :}}\\
$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\hline
\text{note }x_{i}&8&10&11&12\\
\hline
\text{effectif }n_{i}&1&2&4&1\\
\hline
\end{array}$\\

\noindent La moyenne de la première série est : $\dfrac{n_{1}x_{1}+\cdots+n_{5}x_{5}}{n_{1}+\cdots+n_{5}}=\dfrac{105}{10}=10,5$.\\
La moyenne de la deuxième série est : $\dfrac{84}{8}=10,5$.\\
\textbf{Les deux moyennes sont égales} ; pourtant, la répartition des notes n'est pas du tout la même.\\

Il faut donc trouver un moyen de mesurer la dispersion des nombres autour de la moyenne.\\

Pour cela, on utilise l'écart type.\\

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Définition}
Soit une série statistique donnée par le tableau :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}
\hline
\text{Valeur du caractère}&x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{p}&\text{Total}\\
\hline
\text{Effectif}&n_{1}&n_{2}&\cdots&n_{p}&N\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La variance est : $V=\dfrac{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}{N}-\overline{x}^2$\\
L'écart-type sest $\sigma=\sqrt{V}$
\end{bclogo}

L'écart-type se calcule directement à la calculatrice.\\
La calculatrice donne directement la moyenne, la médiane, l'écart-type...

\label{fin}
\end{document}  