\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}.\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\fbox{\textcolor{red}{Fonctions : généralités}}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Notion de fonction, courbe représentative}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction numérique $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'une partie $\mathscr{D}$ de $\mathbb{R}$, associe un nombre \textbf{unique} appelé image de $x$ par $f$.\\
$\mathscr{D}$ est l'ensemble de définition de $f$.\\
L'image de $x$ par $f$ se note $f(x)$.\\
On écrit : $f\mapsto f(x)$
\end{bclogo}


\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item On enregistre la température en un endroit précis sur une période de 24 heures. $T:x\mapsto y=T(x)$ où $T(x)$ est la pression à l'instant $x$.

\item $v(x)$ est la vitesse d'une voiture à $x$ km de son point de départ sur un circuit automobile.

\item $\mathscr{D}=\mathbb{R}^*$ : $f:x\mapsto\frac{1}{x}$
\item $\mathscr{D}=\mathbb{R}^+$ : $f:x\mapsto \sqrt{x}$

\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$. La courbe $\mathscr{C}_f$, courbe représentative de $f$, est l'ensemble des points $M(x~;~f(x)$ où $x\in\mathscr{D}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}} les courbes ci-dessous sont-elles représentatives d'une fonction ?

\parbox{9cm}{
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(3,3)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(3,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,3)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psline(-1,2)(3,0)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{9cm}{
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(3,3)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(3,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,3)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2,-1)(2,3)
\end{pspicture}}

\newpage
\parbox{9cm}{
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-2)(5,5)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2)(0,5)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\pscircle(1,2){3}
\end{pspicture}}\hfill\parbox{9cm}{\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-2)(5,5)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2)(0,5)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-1,1)(1,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1,1)(1,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1,4)(3,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3,4)(5,-2)
\end{pspicture}}

\vspace{1cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$ si $f(x)=y$ (remarque : $y$ peut avoir plusieurs antécédents)
\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}
\item Sur $\mathbb{R}$, on considère  la fonction $f:x\mapsto 3x^2+5x-4$.\\
Calculer les images de 0, 3, 5 et -1.
\item $\mathscr{D}=\mathbb{R}^+$. $g(x)=x^2$. Quels sont les antécédents de -4 ? de 2 ? \\
-1 a-t-il des antécédents ?
\end{enumerate}


\textcolor{red}{Exercice : }\\
Voici la courbe représentative d'une fonction définie sur l'intervalle $[-1,5~;~5]$
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1] {<->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
  \psgrid[subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](-3,-3)(5,5)
  \uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-1.5}{5}{x 1 add x 2 sub mul  x 4 sub mul 5 div}
\end{pspicture}
\end{center}

\textcolor{blue}{\textbf{Lecture d'une image :}} Quelles sont les images de -1.5 ? de -1 ? de 0 ? de 1? de 2 ?\\\\

\textcolor{blue}{\textbf{Lecture d'un antécédent :}} Quelles sont les antécédents de 0 ? de 1 ? de 2 ? de 4 ?\\\\

\newpage
\subsection{\textcolor{red}{Variations d'une fonction}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ signifie que sur l'intervalle $I$, si les valeurs de la variable $x$ augmentent, alors les images $f(x)$ augmentent aussi.\\
\textcolor{blue}{Traduction mathématique :} Pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a\leqslant b$, alors $f(a)\leqslant f(b$.
(une fonction croissante conserve l'ordre, c'est-à-dire que les images sont classées dans le même ordre que les antécédents.)\\

\noindent Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que sur l'intervalle $I$, si les valeurs de la variable $x$ augmentent, alors les images $f(x)$ diminuent.\\
\textcolor{blue}{Traduction mathématique :}  Pour tous $a$ et $b$ de $I$ tels que $a\leqslant b$, alors $f(a)\geqslant  f(b$.
(une fonction décroissante renverse l'ordre, c'est-à-dire que les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents.)
\end{bclogo}

\textcolor{red}{Exemple graphique d'une fonction croissante :}\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2)(10,3)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(10,3.5)
\psplot[plotpoints=200]{0}{10}{x sqrt}
\end{pspicture}
\end{center}


\textcolor{red}{Exemple graphique d'une fonction décroissante:}\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(10,5)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(-2,-1)(10,5)
\psplot[linecolor=red]{-1.5}{10}{2.71828 x neg exp}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Extremum :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.\\
$M$ est le maximum de $f(x)$ sur $\mathscr{D}$ si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(x)\leqslant M$.\\
$m$ est le minimum de $f(x)$ sur $\mathscr{D}$ si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(x)\geqslant m$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,3)
\psset{xunit=1,yunit=2}
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(-4,-0.5)(4,1.5)
      \uput[dl](0,0){0}
\psplot{-4}{4}{2.71828 x 2 exp neg exp}
\end{pspicture}
\end{center}
Le maximum est 1.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Tableau de variations d'une fonction}}
Un tableau de variation sert à rassembler toutes les informations sur les variations d'une fonction.\\
\textcolor{blue}{Exemples : }\\
\begin{enumerate}
\item Soit la courbe ci-dessous, représentative de la fonction définie par :$f(x)=\frac{{x^3}}{3}+\frac{3 {x^2}}{2}-4 x$\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-2)(3,6)
\psset{yunit=0.3}
\psline{->}(-6,0)(3,0)
\psline{->}(0,-3)(0,18)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-3)(3,20)
\psplot[linecolor=red]{-6}{3}{x 3 exp 3 div x 2 exp 3 mul 2 div add x 4 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ est définie sur $[-6;3]$,  croissante sur $[-6;-4]$, décroissante sur $[-4;1]$ et croissante sur $[-1;3]$. On a : $f(-6)=6$ ; $f(-4)=\frac{56}{3}$ ; $f(1)=-\frac{13}{6}$ ; $f(3)=\frac{21}{2}$.\\
Le tableau de variation est alors :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-6&&-4&&1&&3\\
\filet
\m{f(x)}&6&\c&\h{\frac{56}3}&\d&-\frac{13}6&\c&\h{\frac{21}2}\\
\end{variations}
\end{center}
\item Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction définie par : $f(x)=\frac{1}{x-2}$\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-4)(5,4)
\psset{xunit=0.8,yunit=0.8}
\psline{->}(-6,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-5)(5,5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](2,-5)(2,5)
\psplot[linecolor=red]{-6}{1.7}{1 x 2 sub div}
\psplot[linecolor=red]{2.3}{5}{1 x 2 sub div}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ n'est pas définie en $x=2$. On traduit cela par une double barre verticale dans le tableau de variation. La fonction est décroissante sur $]\-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$. Quand $x$ tend vers $-\infty$, $f(x)$ se rapproche de plus en plus de 0, de même que quand $x$ tend vers $+\infty$.
Le tableau de variation est :
\begin{center}$\begin{array}{|r|lcr||lcr|}
\hline
x&-\infty&&2&2&&+\infty\\
\hline
&0&&&+\infty&&\\
f(x)&&\searrow&&&\searrow&\\
&&&-\infty&&&0\\
\hline
\end{array}$\end{center}

\item Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}$ dont voici la courbe représentative :\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(6,4)
\psset{yunit=1}
\psline{->}(-6,0)(6,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,4)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-0.5)(6,4)
\psplot[linecolor=red]{-6}{6}{1 3 x 2 exp 1 add div add}
\end{pspicture}
\end{center}


Cette fonction est définie sur $\mathbb{R}$, croissante sur $]-\infty;0]$ et décroissante sur $[0;+\infty[$. Le maximum de $f(x)$ est 4 ($f(0)=4$). Quand $x$ tend vers $-\infty$ ou vers $+\infty$, $f(x)$ se rapproche de plus en plus de 1. Le tableau de variation est : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&1&\c&\h{4}&\d&1\\
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Résolution graphique d'équations et d'inéquations}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équations}}

Soit $f$ une fonction et soit $\mathscr{C}_{f}$ sa courbe représentative.\\
On considère l'équation $f(x)=k$, où $k$ est un réel quelconque.\\

\noindent Pour trouver graphiquement le nombre de solutions et la valeur approchée de celles-ci; on représente la fonction, puis ont trace la droite d'équation $y=k$.\\
On regarde alors les points d'intersection de cette droite avec la courbe.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} % f(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)(3x-7)}{5}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(6,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,7)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{(x-1)*(x+2)*(3*x-7)/5}
\psplot{-4}{6}{(--1.8-0*x)/1}
\uput[r](3,4){$\mathscr{C}_{f}$}
\psdots[linecolor=darkgray](-1.73,1.8)
\rput[bl](-1.64,1.92){\darkgray{$A$}}
\psdots[linecolor=darkgray](0.36,1.8)
\rput[bl](0.44,1.92){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2.71,1.8)
\rput[bl](2.78,1.92){\darkgray{$C$}}
\uput[u](4,1.8){$y=1,8$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On constate graphiquement que l'équation $f(x)=1,8$ a trois solutions ; elles valent environ -1,7, 0,4 et 2,7.




 
\label{fin}
\end{document} 


 