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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1 com : contrôle sur les fonctions usuelles}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction carré $f$ définie par $f(x)=x^2$.\\

\begin{enumerate}
\item Voir ci-dessous.

\item Les solutions de l'équation $x^2=2x+3$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$, c'est -à-dire -1 et 3.

\item  $f(-1)=(-1)^2=1$ ; $g(-1)=2\times (-1)+3=-2+3=1$ ; $f(3)=3^2=9$ ; $g(3)=2\times 3+3=6+3=9$.\\
$f(-1)=g(-1)$ donc -1 est bien une solution de cette équation.\\
$f(3)=g(3)$ donc 3 est bien une solution de cette équation.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~3\}}}$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3.5,13)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3.5,13)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-1)(3.5,13)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-3,0)(3.5,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,13)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.5}{x^2}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.0}{3.5}{2*x+3}
\uput[u](-2,4){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
Ci-dessous sont représentées les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $\left]-\infty~;~0\right[\cup\left[0~;~=\infty\right[$ et $g(x)=$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(4,7)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-3)(4,7)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-3)(4,7)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{4}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-3.0}{4.0}{-3*x+5}
\uput[d](-1,-1){$\mathscr{C}_{f}$}
\uput[d](2,-1){$\mathscr{C}_{g}$}
\end{pspicture*}

\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x)=g(x)$ a pour solutions les abscisses des points d'intersection des deux courbes, donc environ 0,2 et 1,5.

\item Les solutions de l'inéquation $\dfrac{1}{x}<-3x+5$ sont les abscisses des point pour lesquels l'hyperbole $\mathscr{C}_{f}$ est en dessous de la droite $\mathscr{C}_{g}$ : $\mathscr{S}=\left]-\infty~;~0\right[\cup]0.2~;~1,5[$.
\end{enumerate}
\end{center}


\end{multicols}


\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

 Soit  $g$ la fonction définie sur [0~;~5]  par $g(x)=-x^2+5x-4$.
\begin{enumerate}
\item  $(1-x)(x-4)=x-4-x^2+4x=-x^2+5x-4$ .

\item  L'équation  $g(x)=0$ s'écrit donc $-x^2+5x-4=0$ c'est-à-dire $(1-x)(x-4)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'n des facteurs est nul. L'équation a donc deux solutions : 1 et 4.

\item Le signe de $g(x)$ dépend des signes des deux facteurs. On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&4&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }1-x&&+&\z&-&\l&-&&\\
\filet
\text{Signe de }x-4&&-&\l&-&\z&+&&\\
\filet
\text{Signe de } (1-x)(x-4)&&-&\z&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}
\item Voici le tableau de variation de  $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&2,5&&\pI\\
\filet
g(x)&&\c&\h{2,2}&\d&\\
\end{variations}
\end{center}

\item Graphiquement, les antécédents de  -4 par $g$ sont 0 et 5.\\
Algébriquement, on résout l'équation $-x^2+5x-4=-4$ qui s'écrit $-x^2+5x=0$ donc $-x(x-5)$ en factorisant. Ainsi retrouve-ton les solutions trouvées graphiquement.\\
Graphiquement, on trouve que les antécédents de 2 sont 2 et 3.

\item On construit sur le graphique la droite d'équation $y=1-x$.\\
Les solutions de l'équation  $g(x)=1-x$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de cette droite, soit 1 et 5.\\
On renseigne alors un tableau de signes ; on trouve comme solutions : $\mathscr{S}=---\infty~;~1]\cup[5~;~+\infty[$

\item  $(1-x)(x-5)=x-5-x^2+5x=-x^2+6x-5$.\\
L'inéquation $g(x)\leqslant 1-x$ s'écrit $-x^2+5x-4\leqslant 1-x$, c'est-à-dire $-x^2+6x-5$, donc $(1-x)(5-x)\leqslant 0$ .

\item Sur $]-\infty~;~2,5]$, $g$ est croissante, $g(0)=-4<1$ et $g(2,5)\approx 2,2>1$ donc l'équation $g(x)=1$ a une solution unique $\alpha$.\\
De même, sur $[2,5~;~+\infty[$, $g$ est décroissante, $g(2,5)>1$ et g(5)=-4<1 donc l'équation $g(x)=1$ a une solution unique $\beta$ sur cet intervalle.\\
À la calculatrice, on trouve $\alpha\approx 1,4$ et $\beta\approx 3,6$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-5.5)(5,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-5)(5,3)%grille
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.0}{5.0}{-x^2+5*x-4}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1pt]{-1}{5.0}{1-x}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-1,1)(5,1)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}


\subsection{}
Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots.
On admet que le coût de fabrication en euros d'un nombre x de lots, x appartenant à l'intervalle   [ 0~;~18 ], est donné par la fonction $f$ définie par $f(x)=4x^3-96x^2+576x+100$ dont la courbe $\mathscr{C}$ est tracée ci-dessous.\\
Chaque lot est vendu 125 \euro. La recette est donc donnée par $R(x) = 125 x$.
\begin{enumerate}
\item La droite (D) d'équation  $y = 125x$ est tracée dans le même repère que $\mathscr{C}$.

\item L'entreprise réalise un bénéfice si la recette dépasse le coût de production. Comme $x$ doit être entier, c'est le cas pour $7\leqslant x\leqslant 17$.

\item 
\begin{enumerate}
\item On appelle $M$ Le point d'abscisse 8 qui est sur $\mathscr{C}$. Son ordonnée est $f(8)=612$.

\item On appelle $N$ le point d'abscisse 8 qui  est sur (D). Son ordonnée est $125\times 8=\numprint{1000}$.

\item La longueur $MN$ vaut $\numprint{1000}-612=388$.  Ce nombre représente le bénéfice réalisé par la vente de 8 lots.
\end{enumerate}

\item Compléter le tableau de valeurs suivant : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&4&7&10&12&13&14&17&18\\
\hline
Coût de production&1124&800&260&100&152&324&\numprint{1800}&\numprint{2692}\\
\hline
Recette&500&875&\numprint{1250}&\numprint{1500}&\numprint{1625}&\numprint{1750}&\numprint{2125}&\numprint{2250}\\
\hline
Bénéfice&-624&75&990&\numprint{1400}&\numprint{1473}&\numprint{1426}&325&-442\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On voit dans le tableau que  le nombre de lots à vendre pour réaliser le bénéfice maximal est de 13.\\
On représente en rouge sur l'axe des abscisses la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice.
\end{enumerate} 
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.0025cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-300)(19,2800)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=200,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-200)(19,2800)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0.0}{18.0}{4*x^3-96*x^2+576*x+100}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.0}{18.0}{125*x}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](6.75,0)(17.46,0)
\uput[u](12,20){Bénéfice positif}
\psdots(8,612)\psdots(8,1000)
\uput[l](8,612){M}\uput[l](8,1000){N}
\multido{\r=0+0.2}{91}{\psline[linewidth=0.3pt](\r,0)(\r,2800)}
\multido{\i=0+100}{56}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\i)(18,\i)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  