\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Nombre dérivé}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Notion de tangente à une courbe}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Tangente à un cercle}}
\begin{center}
\newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{ffttww}{1 0.2 0.4}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,10)
\pscircle[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff](4.84,5.44){1.5}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=ffttww]{-1}{9}{(--30.56-2.33*x)/1.89}
\rput[tl](19.4,8.02){Tangente à un cercle}
\psdots[linecolor=blue](4.84,5.44)
\rput[bl](4.92,5.56){\blue{$O$}}
\rput[bl](3.34,7.6){\ttttff{$c$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](7.17,7.33)
\rput[bl](7.24,7.46){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](1.48,14.52){\ffttww{$a$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Rappel :}} la tangente à un cercle en A est une droite passant par A et  ce point A est le \textbf{\textcolor{blue}{seul}} point d'intersection entre la droite et le cercle.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sécante à une parabole}}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ffttww}{1 0.2 0.4}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-6.09)(11,12)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-6.09)(11,12)
\uput[dr](0,0){0}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-4.0}{11.0}{x^2}
\rput[tl](2,-3){Sécante à une parabole}
\psline(18.71,19.22)(21.65,19.22)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=ffttww]{-4}{11}{(-3.7-4.48*x)/-2.8}
\rput[bl](-4.28,20.31){\qqqqcc{$f$}}
\psdots(20,19.22)
\rput[bl](19.68,19.55){$b = -0.6$}
\psdots[linecolor=darkgray](-0.6,0.36)
\rput[bl](-0.48,0.53){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2.2,4.84)
\rput[bl](2.31,5.01){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](11.38,20.31){\ffttww{$a$}}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Tangente à une parabole}}
\begin{center}

\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ffttww}{1 0.2 0.4}
\newrgbcolor{qqzztt}{0 0.6 0.2}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(12,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(8,10)
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-4.0}{8.0}{x^2}
\psline(17.48,13.32)(19.65,13.32)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=ffttww]{-4}{8}{(--1.87-4.59*x)/-1.7}
\psplot[linewidth=1.8pt,linecolor=qqzztt]{-4}{8}{(-4.84--4.4*x)/1}
\rput[lt](1.84,-1.55){\parbox{5cm}{Sécante en rouge ;  Tangente en vert}}
\rput[bl](-3.58,14.08){\qqqqcc{$f$}}
\psdots(18.67,13.32)
\rput[bl](18.43,13.56){$b = 0.5$}
\psdots[linecolor=darkgray](0.5,0.25)
\rput[bl](0.58,0.38){\darkgray{$B$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2.2,4.84)
\rput[bl](2.29,4.97){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](-1.34,-5.32){\ffttww{$a$}}
\rput[bl](4.47,14.08){\qqzztt{$c$}}
\end{pspicture*}
\end{center}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Comparaison entre tangente et autres droites}}
Sur la figure précédente, la tangente en A à la parabole est en vert ; elle ne touche la parabole qu'en A ; elle est plus \og{} proche\fg{} de la parabole que les autres droites passant par A.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Tangente à une hyperbole}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-3.0}{2.1649348980190553E-15}{1/x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{1.0000000002164936E-5}{3.0}{1/x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzqq]{-3}{3}{(--4-4*x)/1}
\rput[bl](-12.57,-0.36){\blue{$f$}}
\psdots[linecolor=blue](0.5,2)
\rput[bl](0.57,2.11){\blue{$A$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\subsection{\textcolor{red}{Tangente à une courbe}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $\mathscr{C}$ la courbe représentative d'une fonction  et un point A de cette courbe.\\
On admet l'existence d'une droite $T$, qui, parmi toutes les droites qui passent par A, est celle qui s'éloigne le moins de la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage du point A.\\
Cette droite est appelée \textbf{\textcolor{red}{tangente à la courbe $\boldmath{\mathscr{C}}$ en A}}.
\end{bclogo}

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{ffttzz}{1 0.2 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-6)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-6)(7,6)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4.0}{7.0}{(x-1)*(2*x+3)*(x-6)/8+3}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=ffttzz]{-4}{7}{(-0.53-1.23*x)/1}
\rput[tl](1.26,3.74){\textbf{Tangente à une courbe}}
\rput[bl](-2.84,-10.82){\blue{$f$}}
\psdots[linecolor=xdxdff](3.63,-4.99)
\rput[bl](3.71,-4.87){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](-6.03,7.1){\ffttzz{$a$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
% La fonction est définie par : $f(x)=\dfrac{1}{8}(x-1)(2x+3)(x-6)+3$

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} : la tangente à une courbe ne touche la courbe \textbf{\textcolor{blue}{localement}} qu'en un point.

\textbf{\textcolor{blue}{Exercices}} : \no 9, 10 et 11 page 187

\newpage

\subsection{\textcolor{red}{Nombre dérivé}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Coefficient directeur d'une droite}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Rappel }}: Soient deux points $A$ et $B$ d'une droite sécante à l'axe des ordonnées.\\
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est : $\boxed{m=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(10,6)
\psplot{0}{10}{(--1.77--3.02*x)/5.06}
\psline[linestyle=dashed](1.96,1.52)(7.02,1.52)
\psline[linestyle=dashed](7.02,4.54)(7.02,1.52)
\psdots[linecolor=blue](1.96,1.52)
\rput[bl](2.04,1.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](7.02,4.54)
\rput[bl](7.1,4.66){\blue{$B$}}
\rput[bl](-4.2,-2.34){$x_{B}-x_{A}$}
\psdots[linecolor=darkgray](7.02,1.52)
\rput[bl](4.48,1.2){$x_{B}-x_{A}$}
\rput[bl](7.2,3.04){$y_{B}-y_{A}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$.\\
Soit $A(a~;~f(a))$ un point de $\mathscr{C}$.\\
Si, en $A$, $\mathscr{C}$ admet une tangente, on dit que $f$ est dérivable en $a$. On appelle alors nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, le coefficient directeur de la tangente.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} 
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{qqzztt}{0 0.6 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-1)(4,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-1)(4,10)
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{x^2}
\psplot[linewidth=2.4pt,linecolor=qqzztt]{-1}{3}{(-4--4*x)/1}
\rput[bl](-4.28,20.31){\qqqqcc{$f$}}
\psdots[linecolor=darkgray](2,4)
\rput[bl](2.11,4.18){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](5.58,20.31){\qqzztt{$c$}}
\psdots(3,8)
\end{pspicture*}
\end{center}
La tangente en $A$ à $\mathscr{C}$ passe par les points de coordonnées $(2~;~4)$ et $(3~;~8)$ ; le coefficient directeur de la tangente est donc : $\dfrac{8-4}{3-1}=\dfrac{4}{1}=4$.\\
Le nombre dérivé de $f$ en 2 est : $\boxed{\textcolor{red}{f'(2)=4}}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'équation réduite de la tangente en $a$ est alors : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} la tangente en $a$ est parallèle à l'axe des abscisses équivaut à  $f'(a)=0$.\\
Exemple : la parabole représentative de la fonction carré $x\mapsto x^2$ en 0.\\


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercices}} \no 12 à 19 page 1889

\subsection{\textcolor{red}{Nombres dérivées pour les fonctions de référence}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction affine}}
Soit $f$ définie par $f(x)=mx+p$ et soit $A(a~;~f(a))$ un point de la droite $\mathscr{D}$ représentative de $f$.\\
La tangente à $\mathscr{D}$ en $a$ est la droite $\mathscr{D}$ elle-même, donc $f'(a)=m$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction carré}}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2$ et soit $A(a~;~f(a))$.\\
On peut conjecturer l'expression de $f'(a)$ en fonction de $a$ à l'aide de Geogebra.\\
On remarque que $f'(a)=2a$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Pour les fonctions de référence :}}
\begin{center}
$\begin{array}{|*{2}{c|}}\hline
\text{Fonction } f \text{définie par :}&\text{Nombre dérivé de } f \text{en }a~;~f'(a)\\
\hline
mx+p&f'(a)=m \text{(constante)}\\
\hline
f(x)=x^2&f'(a)=2a\\
\hline
f(x)=ax^2+bx+c&f'(a)=2a+b\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x},~x\neq 0&f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}\\
\hline
f(x)=x^3&f'(a)=3a^2\\
\hline
f(x)=\sqrt{x},~x>0&f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\\
\hline
\end{array}$

\end{center}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2$. Trouver l'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en 3 :\\
Pour tout $a$, on a : $f'(a)=2a$ donc $f'(3)=6$ ; $f(3)=3^2=9$\\
L'équation de la tangente en 3 est alors : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ donc $y=6(x-3)+9$, d'où  : $\boxed{\textcolor{red}{y=6x-9}}$

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{qqzztt}{0 0.6 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.25cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-10)(5,18)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-10)(5,18)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-10)(5,18)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{x^2}
\psplot[linewidth=2.4pt,linecolor=qqzztt]{-5}{5}{(-9--6*x)/1}
\rput[bl](-4.62,24.45){\qqqqcc{$f$}}
\psdots[linecolor=darkgray](3,9)
\rput[bl](3.18,9.25){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](4.87,24.45){\qqzztt{$c$}}
\end{pspicture*}

\end{center}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Trouver l'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en 4 :\\
Pour tout $a$, on a : $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$ donc $f'(4)=-\dfrac{1}{16}$ ; $f(4)=\dfrac{1}{4}$\\
L'équation de la tangente en 4 est alors : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ donc $y=-\dfrac{1}{16}(x-4)+\dfrac{1}{4}$, d'où  : $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{1}{16}x+\dfrac{1}{2}}}$.
\begin{center}
\newrgbcolor{ffqqww}{1 0 0.4}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9,-5)(9,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9,-5)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt]
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-9.0}{-6.7016704685674E-15}{1/x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{9.99999999329833E-6}{9.0}{1/x}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=ffqqww]{-9}{9}{(--0.5-0.06*x)/1}
\rput[bl](-5.06,-0.39){\blue{$f$}}
\psdots[linecolor=darkgray](4,0.25)
\rput[bl](4.05,0.32){\darkgray{$A$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exercices}}  \no 20 à 25 page 191


\subsection{\textcolor{red}{Signe du nombre dérivé}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Conjecture avec la fonction carré}}
On constate que pour $a<0$, $f'(a)<0$, $f'(0)=0$ et $f'(a)>0$ pour $a>0$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Conjecture avec une fonction quelconque}}
Exemple : si l'on reprend l'exemple vu au paragraphe II, on constate que $f'(a)<0$ lorsque la fonction est décroissante et $f'(a)>0$ lorsque la fonction $f$ est croissante.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f$ est strictement croissante sur I et si $a\in I$, alors $f'(a)>0$.

\item Si $f$ est strictement décroissante sur I et si $a\in I$, alors $f'(a)<0$.

\item Si $a\in I$ et si $f'(a)=0$, alors la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ en $a$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exercices}} : Page 195 : \no 9, 14, 15, 18
\label{fin}
\end{document}  