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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur le second degré}}\end{center}

%Voir : http://maths-lfkl.e-monsite.com/pages/sites-de-classes/lycee/1-es-l/ds-1.html
Lien internet : cliquer \href{http://maths-lfkl.e-monsite.com/pages/sites-de-classes/lycee/1-es-l/ds-1.html}{ici}
\subsection{}
Pour chacune des courbes ci-dessous, préciser : le signe de a, b, c, $\alpha$, $\beta$, $\Delta$, $x_1$ et $x_2$ (lorsqu’ils existent).\\
Précision sur ces nombres : les courbes proposées sont représentatives d'une fonction du second degré \\
$f:x\mapsto ax^2+bx+c$.\\
Les courbes représentatives sont des paraboles, dont le sommet est $S(\alpha~;~\beta)$.\\
$\Delta=b^2-4ac$ (discriminant).\\
$x_1$ et $x_2$ sont les solutions (si elles existent) de l'équation $ax^2+bx+c=0$.


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\begin{center}
Figure 1\\
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-4.)(3.,7.)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-2.)(3.,7.)
\psline[linewidth=4.pt](11.02,5.76)(15.02,5.76)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,4.86)(15.18,4.86)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,3.7)(15.18,3.7)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(x+1.0)^(2.0)+1.0}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](13.42,5.76)
\rput[bl](13.2,6.06){$a = 1$}
\psdots[dotstyle=*](12.78,4.86)
\rput[bl](12.56,5.16){$\alpha = -1$}
\psdots[dotstyle=*](13.58,3.7)
\rput[bl](13.36,4.){$\beta = 1$}
\rput[bl](-3.32,6.96){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
Figure 2\\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.72,-5.)(5.,4)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-5.)(5.,4)
\psline[linewidth=4.pt](11.02,5.76)(15.02,5.76)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,4.86)(15.18,4.86)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,3.7)(15.18,3.7)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.720000000000002}{5.0}{-1.3*(x-0.5)^(2.0)+2.8}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](12.62,5.76)
\rput[bl](12.4,6.06){$a = -1$}
\psdots[dotstyle=*](13.38,4.86)
\rput[bl](13.16,5.16){$\alpha = 0.5$}
\psdots[dotstyle=*](14.3,3.7)
\rput[bl](13.32,4.){$\beta = 2.8$}
\rput[bl](-2.12,-5.04){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{multicols}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{center}
Figure 3\\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-2.)(5.,7.)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-2.)(5.,7.)
\psline[linewidth=4.pt](11.02,5.76)(15.02,5.76)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,4.86)(15.18,4.86)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,3.7)(15.18,3.7)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(x-1.7)^(2.0)}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](13.42,5.76)
\rput[bl](13.2,6.06){$a = 1$}
\psdots[dotstyle=*](13.86,4.86)
\rput[bl](13.14,5.16){$\alpha = 1.7$}
\psdots[dotstyle=*](13.18,3.7)
\rput[bl](12.96,4.){$\beta = 0$}
\rput[bl](-0.78,6.96){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
Figure 4\\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-2)(3.,7.)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-2.)(5.,7.)
\psline[linewidth=4.pt](11.02,5.76)(15.02,5.76)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,4.86)(15.18,4.86)
\psline[linewidth=4.pt](11.18,3.7)(15.18,3.7)
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(x+0.7)^(2.0)-2.0}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](13.42,5.76)
\rput[bl](13.2,6.06){$a = 1$}
\psdots[dotstyle=*](12.9,4.86)
\rput[bl](12.68,5.16){$\alpha = -0.7$}
\psdots[dotstyle=*](12.38,3.7)
\rput[bl](12.16,4.){$\beta = -2$}
\rput[bl](-3.54,6.96){\red{$f$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}

\end{multicols}

\newpage


\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas.\\
On en déduit que $a>0$  pour les figures 1, 3 et 4 ; $a<0$ pour la figure 2

\item $c=f(0)$, donc $c$ est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées.\\
On en déduit que $c>0$ pour les courbes 1, 2 et 3, et $c<0$ pour la courbe 4.

\item
\begin{enumerate}[a)]
\item  La courbe 1 n'a pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses ; l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a donc pas de solution : $\Delta<0$.

\item La courbe 3 touche l'axe des abscisses en un seul point : l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a donc qu'une solution : $\Delta=0$.

\item Les courbes 2 et 4 nt deux points d'intersection avec l'axe des abscisses : l'équation $ax^2+bx+c=0$ a donc deux solutions : $\Delta>0$.
\end{enumerate}

\item $\alpha$ est l'abscisse du sommet de la parabole : $\alpha>0$ pour les figures 2 et 3 ; $\alpha<0$ pour les figures 1 et 4.

\item $\beta$ est l'ordonnée de ce même sommet  : $\beta<0$ pour la figure 4 ; $\beta=0$ pour la figure 3 et $\beta>0$ pour les figures 1 et 2.

\item $x_1$ et $x_2$ existent pour les figures 2 et 4 ; les deux nombres sont de signes contraires.

\item On remarque que $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, donc connaissant le signe de $\alpha$ et celui de $a$, on peut trouver celui de $b$ car $b=-2a\alpha$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Courbe&Courbe 1&Courbe 2&Courbe 3&Courbe 4\\
\hline
Signe de $a$&+	&-&+&+\\
\hline
Signe de $-2a$&-&+&-&-\\
\hline
Signe de $\alpha$&-&+&+&-\\
\hline
Signe de $b=-2a\alpha$&+&+&-&+\\
\hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équations, inéquations}}
Résoudre :
(E1) : $3x + 5 = 5x -1$\hspace{1cm};\hspace{1cm} (E2) : $x^2 -5x + 6= 0$\hspace{1cm};\hspace{1cm} (E3) : $-2x^2 -3x + 1= 0$\\
 (I1) : $-3x + 15 < 5x +1$ \hspace{1cm};\hspace{1cm} (I2) : $-3x^2 + x -2 < 0$
 
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3x + 5 = 5x -1\Leftrightarrow 3x + 5 \textcolor{red}{-5}= 5x -1\textcolor{red}{-5}\Leftrightarrow 3x=5x-6\Leftrightarrow 3x\textcolor{red}{-5x}\Leftrightarrow 5x-6\textcolor{red}{-5x}\Leftrightarrow -2x=-6$\\
$\Leftrightarrow \dfrac{-2x}{\textcolor{red}{-2}}=\dfrac{-6}{\textcolor{red}{-2}}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=3}}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{3\right\}}}$.

\item Soit l'équation : $x^2 -5x + 6= 0$.\\
Le discriminant est $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 6=25-24=1>0$.\\
Il y a deux solutions : $x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{1\times 1}=\dfrac{5-1}{2}=2$ et $x-2=\dfrac{5+1}{2}=3$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{2~;~3\right\}}}$.

\item Soit l'équation : $-2x^2 -3x + 1= 0$.\\
$\Delta=(-3)^2-4\times (-2)\times 1=9+8=17>0$.\\
Il y a deux solutions : $x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{17}}{2\times 1}=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}~;~\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\right\}}}$

\item Soit l'inéquation : $-3x + 15 < 5x +1$. (inéquation du premier degré)\\
$-3x + 15 < 5x +1\Leftrightarrow -3x\textcolor{red}{-5x}+15\textcolor{red}{-15}<5x\textcolor{red}{-5x}+1\textcolor{red}{-15}\Leftrightarrow -8x<-14\Leftrightarrow \dfrac{-8x}{\textcolor{red}{-8x}}>\dfrac{-14}{\textcolor{red}{-8}}\Leftrightarrow x>\dfrac{14}{8}=\dfrac{7}{4}$.\\
L'inégalité a changé de sens car nous avons divisé par un nombre négatif.
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]\dfrac{7}{4}~;~+\infty\right[}}$.

\item Soit l'inéquation : $-3x^2 + x -2 < 0$.\\
C'est une inéquation du second degré : le discrimantn vaut $\Delta=1^2-4\times (-3)\times (-2)=1-24=-23<0$.\\
Il n'y a pas de racine : l'expression est du signe de $a=-3$ (coefficient de $x^2$) pour tout $x$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
-3x^2 + x -2 < 0&&-&\\
\hline
\end{variations}
L'expression est toujours négative, donc l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\mathbb{R}}}$.
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Voici la courbe représentative d’une fonction $f$.\\
\begin{center}
\psset{unit=2,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4.5,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,gridlabels=0](-4,-2)(4,4)
\pscurve(-2,-1)(-1.5,1.5)(-1,3)(-0.5,2.5)(0,1)(0.5,-1)(1,-1.5)(1.5,-1)(2,0)(2.5,1)(3,1.5)(4,2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-2,-1)(-1.5,1.5)(-1,3)(-0.5,2.5)(0,1)(0.5,-1)(1,-1.5)(1.5,-1)(2,0)(2.5,1)(3,1.5)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](-2,1)(4,1)
\psplot[linewidth=1.5pt, linecolor=blue]{-2}{4}{-x+1}
\uput[u](-1,3){$\mathscr{C}$}
\uput[u](2.5,-1.5){$\mathscr{D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
À l’aide du graphique :


\begin{enumerate}
\item Déterminer l’ensemble de définition de $f$.\\
$f$ est définie sur l'intervalle $[-2si, et seulement si, 4]$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[-2~;~4]}}$.

\item Déterminer $f(-2)$ ; $f(2)$ et $f(0)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=3}}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1}}$.
\end{enumerate}

\item Déterminer tous les antécédents de -1 par $f$.\\
On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée  égale à 1 : l'ensemble des solutions est \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-1,6~;~0~;~1,5\right)}}$.

\item Résoudre graphiquement l’inéquation $\left(I_1\right)$ : $f(x) > 1$.\\
On cherche l'ensemble des abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée strictement supérieure à 1 :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-1,6~;~0[ \cup ]2,5~;~4]}}$.

\item Résoudre graphiquement l’inéquation $\left(I_2\right)$ : $f(x) > -x +1$.\\
Pour cela, on trace la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=-x+1$.\\
Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points pour lesquels la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de la droite $\mathscr{D}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-1,4~;~0[ \cup ]1,8~;~4[}}$.

\item Etablir le tableau de variations de $f$.\\
On obtient :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-1&&1&&4\\
\hline
\m{f(x)}&-1&\c&\h{3}&\d&-1,5&\c&2\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Etablir le tableau de signes de f.\\
On obtient :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-1,8&&0,2&&2&&4\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Décrypteur de trinôme}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= - 2x^2 - 4x + 3$.

\begin{enumerate}
\item  Décrire l’allure de la courbe représentative de $f$.\\
$f$ est une fonction polynôme du second degré ; sa courbe représentative est une parabole, tournée vers le bas puisque le coefficient de $x^2$ est égal à -2, nombre négatif.

\item Déterminer les coordonnées du sommet de $\mathscr{C}_f$.\\
$- 2x^2 - 4x + 3=ax^2+bx+c$ avec $a=-2$, $b=-4$ et $c=3$.\\
L'abscisse du sommet est $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times (-2)}=-1$.\\
l'ordonnée est $\beta=f(\alpha)=f(-1)=5$.\\
Le sommet est $S(-1~;~5)$.

\item En déduire la forme canonique de f.\\
La forme canonique de $f$ est : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-2(x+1)^2+5}}$.

\item Décrire les variations de f.\\
$a<0$ donc $f$ est croissante sur $]-\infty~;~-1]$ puis décroissante sur $[-1~;~+\infty[$.

\item Etablir le tableau de variations de f.\\
Le tableau de variation de $f$ est : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&5&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Résoudre l’équation (E) : f(x) = 0.\\
$f(x)=0\Leftrightarrow -2x^2-4x+3=0$.\\
On calcule le discriminant :\\
$\Delta=(-4)^2-4\times (-2)\times 3=16+24=40>0$.\\
il y a deux solutions : \\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{40}}{-4}=\dfrac{4-\sqrt{2^2\times 10}}{-4}=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{2\times (-2)}=\dfrac{2(2-\sqrt{10})}{2\times (-2)}=\dfrac{2-\sqrt{10}}{-2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x_2=-\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}~;~-\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}\right)}}$.

\item En déduire la position de $\mathscr{C}_f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : cette question ne veut rien dire ! Position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à quoi ?.\\
Je suppose que l'enseignant attend les positions d cela courbe par rapport à l'axe des abscisses.\\
$\mathscr{C}_f$ est en dessous de l'axe des abscisses sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\right]$ ainsi que sur $\left[-\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}~;~+\infty\right[$ et en dessous sur $\left[-\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}~;~-\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}\right]$.

\item En déduire la forme factorisée de f.\\
La forme factorisée de $f(x)$ est : $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.\\
On en déduit : $f(x)=-2\left(x+\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}\right)\left(x+\dfrac{1+\sqrt{10}}{2}\right)$.

\item Etablir le tableau de signes de f.\\
D'après le cours, on sait que $f(x)$ est du signe de $a=-2$ (donc négatif) pour $x$ appartenant à l'espérer de l'intervalle formé par les racontes et du signe de $a$ entre les racines.\\
Par conséquent : \\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}&&-\dfrac{2-\sqrt{10}}{2}&&\pI\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  