\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents
%NOM (en capitales d'imprimerie) :\\

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES-L : correction du contrôle (fonctions de référence) (1 h)}}\end{center}

%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Attention au soin !
%
%\item On n'oublie pas de laisser une marge et on écrit son nom lisiblement.
%
%\item On rappelle qu'arrivé en bas de page, on tourne la page et on n'écrit pas en dehors des lignes, pas plus que dans la marge !
%\end{enumerate}
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Sans calculs, mais en utilisant une des fonctions étudiées en cours et en expliquant votre démarche, comparer les nombres $3,12^2$ et $3,15^2$.
$0<3,12<3,15$ ; la fonction $f:x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$, donc les images sont classées dans le même ordre que les antécédents. On en déduit que $f(3,12)<f(3,15) $ donc $\boxed{\textcolor{red}{2,12^2<3,15^2}}$.

\item %De même,  comparer $(-2,3)^2$ et $(-2,31)^2$.
Sur $\left]-\infty~;~0\right]$, $f:x\mapsto x^2$ est décroissante, donc les images sont l'ordre contraire à celui des antécédents.\\
$-2,3>-2,31$ donc $f(-2,3)<f(-2,31)$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{(-2,3)^2<(-2,31)^2}}$.

\item %Sans calculs, mais en expliquant votre démarche, comparer les nombres $\dfrac{1}{2,03}$ et $\dfrac{1}{2,04}$.
2,03 et 2,04 sont positifs et $2,03<2,04$; sur $]0~;~+\infty[$, la fonction inverse $g:x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante donc renverse l'ordre.\\
On en déduit $g(2,03)>g(2,04)$, c'est-à-dire $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2,03}>\dfrac{1}{2,04}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%En justifiant votre démarche, trouver quelles sont les valeurs de $x$ vérifiant \[-64\leqslant x^3\leqslant 8.\]
$-64=(-4)^3$ et $8=2^3$ ; sur $\mathbb{R}$, la fonction $f:x\mapsto x^3$ est croissante donc conserve l'ordre.\\
$-64\leqslant x^3\leqslant 8\Leftrightarrow f(-4)\leqslant f(x)\leqslant f(2)\Leftrightarrow -4\leqslant x\leqslant 2$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-4~;~2]}}$.

\subsection{}
%Résoudre l'équation : $x+2=\dfrac{3}{x}$.
Soit l'équation $x+2=\dfrac{3}{x}$.\\
L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}^*$.

\noindent On suppose que $x\in\mathscr{D}$.

\noindent Alors : $x+2=\dfrac{3}{x}\Leftrightarrow x(x+2)=3\Leftrightarrow x^2+2x-3=0$.\\
Le discriminant vaut $\Delta=2^2-4\times 1\times (-3)=16>0$ ; il y a deux solutions.\\
$x_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2}=-3\in\mathscr{D}$ ; $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2}=1\in\mathscr{D}$.

\noindent L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-3~;~1\right\}}}$

\columnbreak
\subsection{}

Soient  les fonctions $f$ et $g$ , définies sur $[0~;~+\infty[$ par \[f(x)=\sqrt{x}\text{ et }g(x)=\dfrac{3}{4}x-1.\]
\begin{enumerate}
\item %La courbe $\mathscr{C}_f$ est déjà  tracée ci-dessous ; tracer $\mathscr{C}_g$, la courbe représentative de $g$, dans le même repère.
$g$ est une fonction affine, dont la représentation graphique est une droite. L'ordonnée à l'origine est -1, donc la droite passe par le point E de coordonnées $(0~;~-1)$.

\noindent Le coefficient directeur est $\dfrac{3}{4}$, donc, en partant de n'importe quel point de la droite, si on se déplace de 4 unités vers la droite, on se déplace en même temps de 3 unités vers le haut

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(7.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.,-2.)(7.,5.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{7.999999999824576E-6}{7.0}{sqrt(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{7.0}{3.00000000000*x/4.00000000000-1.00000000000}
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](0.2,-0.22){$f$}
%\rput[bl](-4.2,-4.4){$g$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.,2.)
\rput[bl](4.08,2.12){\darkgray{$A$}}
\end{scriptsize}
\psgrid[subgriddiv=2](-1,-2)(7,7)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6,2.5){$\mathscr{C}_f$}
\uput[u](6,3.5){$\mathscr{C}_g$}
\uput[r](0,-1){E}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](0,-1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt,linestyle=dashed]{<->}(0,-1)(4,-1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt,linestyle=dashed]{<->}(4,-1)(4,2)
\uput[d](2,-1){4}
\uput[r](4,1.5){3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Déterminer graphiquement la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, et en déduire la comparaison de $\sqrt{x}$ et $\dfrac{3}{4}x-1$ sur $[0~;~+\infty[$.
$\mathscr{C}_f$ semble être au-dessus de $\mathscr{C}_g$ pour $x\in[0~;~4]$ et en dessous pour $x\in[4~;~+\infty[$, les deux courbes se croisant en $x=4$.

On en déduit que $\sqrt{x}\leqslant \dfrac{3}{4}x-1$ sur $[0~;~4]$ et $\sqrt{x}\geqslant \dfrac{3}{4}x-1$ sur $[4~;~+\infty[$.

\item %Résoudre l'équation $\sqrt{x}=\dfrac{3}{4}x-1$ \\
%(on posera $X=\sqrt{x}$).\\
%Vérifier alors sur votre graphique l'absiccse du point d'intersection des deux courbes.
Soit l'équation $\sqrt{x}=\dfrac{3}{4}x-1$.\\
Po pose $X=\sqrt{x}$ ; on doit donc avoir $X\geqslant 0$.\\
L'équation s'écrit alors : $X=\dfrac{3}{4}X^2-1$, donc $4X=3X^2-4$ qui équivaut à $3X^2-4X-4=0$.

On calcule le dicriminant : $\Delta=64>0$ ; il y a deux racines :

$X_1=\dfrac{4-8}{6}=-\dfrac{2}{3}<0$ ; $X_2=\dfrac{4+8}{6}=2>0$.\\
$X$ doit être positiff, donc on ne garde que $X=2$.\\
Comme $X=\sqrt{x}$, on a $x=X^2=4$.\\
La solution de l'équation est $\boxed{\textcolor{red}{x=4}}$.

Les deux courbes se croisent bien au point d'abscisse 4.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{}
Soint $f:c\mapsto\dfrac{1}{x}$ la fonction inverse définie sur $\mathbb{R}^*$ et $g:x\mapsto 3x+\dfrac{1}{2}$ une fonction affine.

\begin{enumerate}
\item %Représenter sur le graphique ci-dessous ces deux fonctions.
Voilà la représentation graphique de ces deux fonctions :

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-5.)(5.,5.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5.0}{5.0}{1.00000000000/x}
\psline[linewidth=4.pt](8.95272727273,4.73818181818)(12.5890909091,4.73818181818)
\psline[linewidth=4.pt](9.78909090909,3.62909090909)(13.4254545455,3.62909090909)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.5}{5.0}{3.00000000000*x+0.500000000000}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-2.75636363636,-0.625454545455){$f$}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*](11.8618181818,4.73818181818)
\rput[bl](11.6618181818,5.01090909091){$a = 3$}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*](11.7890909091,3.62909090909)
\rput[bl](11.5890909091,3.90181818182){$b = 0.5$}
\rput[bl](-1.84727272727,-5.49818181818){$g$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,2.)
\rput[bl](0.570909090909,2.10181818182){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.666666666669,-1.5)
\rput[bl](-0.592727272727,-1.38909090909){\darkgray{$B$}}
\uput[u](4,0.25){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](1,3.5){$\mathscr{C}_g$}
\end{scriptsize}

\psgrid[subgriddiv=2,gridwidth=1pt,gridlabels=0](-5,-4)(5,5)
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5.,-4.)(5.,5.)

\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Déterminer approximativement les coordonnées des points d'intersection de ces deux courbes.
Leux courbes ont pour intersection les points A et B dont les coordonnées sont approximativement $\boxed{\textcolor{red}{A(0,5~;~2)\text{ et }B(-0,7~;~-1,5)}}$

\item %Résoudre algébriquement l'équation $f(x)=g(x)$.
Résolvons l'équation $f(x)=g(x)$ sur $\mathbb{R}^*$.

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=3x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 1=3x^2+\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow 2=6x^2+x\Leftrightarrow 6x^2+x-2=0$.

On calcule le discriminant : $\Delta=49>0$. Il y a deux solutions :

$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{49}}{12}=-\dfrac{8}{12}=-\dfrac{2}{3}$ et $x_2=\dfrac{-1+7}{12}=\dfrac{1}{2}$. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{2}\right\}}}$

\item %En déduire alors les coordonnées exactes des points d'intersection des deux courbes.
Les solutions trouvées sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Les ordonnées sont $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2$ et $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{3}{2}$.

Les deux points d'intersection des deux courbes sont $\boxed{\textcolor{red}{A\left(\dfrac{1}{2}~;~2\right)\text{ et }B\left(-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{3}{2}\right)}}$.

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  