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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1 ES-L : correction du contrôle sur la dérivation\\ (sujet A)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Dériver les fonctions suivantes}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f_1(x)=7x^2-2x+ 3$\\
$f_1'(x)=7\times 2x-2=\boxed{\textcolor{red}{14x-2}}$

\medskip

\item $f_2(x)=2x^3-5\sqrt{x}$\\
$f_2'(x)=2\times 3x^2-5\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{6x^2-\dfrac{5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{12x^3-5\sqrt{x}}{2x}}}$

\medskip

\item $f_3(x)=-\dfrac{2}{x}+ 3x$\\
$f_3'(x)=-2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)+3=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{x^2}+3=\dfrac{3x^2+2}{x^2}}}$

\medskip

\item $f_4(x)=(3x+ 1)\left(1 +\dfrac{5}{x}\right)$\\
$f_4=uv$ avec $u(x)=3x+1$ et $v(x)=1+\dfrac{5}{x}$.\\
$f_4'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=3$ et \\
$v'(x)=5\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{5}{x^2}$\\
Alors : $f_4'(x)=3\left(1+\dfrac{5}{x}\right)+(3x+1)\times \left(-\dfrac{5}{x^2}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{3\left(1+\dfrac{5}{x}\right)-\dfrac{5(3x+1)}{x^2}}}\\
=3\left(\dfrac{x+5}{x}\right)-\dfrac{15x+5}{x^2}=\dfrac{3x^2+15x-15x-5}{x^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3x^2-5}{x^2}}}$

\medskip

\item $f_5(x)=\dfrac{3}{2x-1}=3\times \dfrac{1}{2x-1}$.\\
$f_5=3\times \dfrac{1}{u}$  avec $u(x)=2x-1$.\\
Alors $f_5'=3\times \left(\dfrac{1}{u}\right)'=3\times \left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)$ avec $u'(x)=2$.\\
Par conséquent : $f_5'(x)=3\times \left(-\dfrac{2}{(2x-1)^2}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{6}{(2x-1)^2}}}$

\medskip

\item $f_6(x)=(5x+3)\left(x^2-1\right)$\\
$f_6=uv$ avec $u(x)=5x+3$ et $v(x)=x^2-1$.\\
$f_6'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=5$ et $v'(x)=2x$.\\
Alors : $f_6'(x)=5\left(x^2-1\right)+(5x+3)\times 2x\\
=\boxed{\textcolor{red}{15x^2+6x-5}}$

\end{enumerate}


\columnbreak
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = 5x^2-2x+3.\]

\noindent %Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse 2.
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
Avec $a=2$, on obtient  $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.\\
$f'(x)=10x-2$ donc $f'(2)=18$.\\
$f(2)=19$.\\
L'équation est alors : $y=18(x-2)+19$ soit $\boxed{\textcolor{red}{y=18x-17}}$

\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par \[g(x) =\dfrac{2}{x}+ 3x^2.\]

\noindent %Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d’abscisse -1.
$g'(x)=-\dfrac{2}{x^2}+6x$ donc $g'(-1)=-8$~;~$g(-1)=1$.\\
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ en -1 est : \\
$y=g'(-1)(x-(-1))+g(-1)$ donc \\
$y=-8(x+1)+1$ soit $\boxed{\textcolor{red}{y=-8x-7}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\longmapsto (x+1)\sqrt{x}$ et \\
$g:x\longmapsto x^3+\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.`

%Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives de $f$ et $g$ ont-elles la même tangente au point $C(1 ;2)$.
$f(1)=2$ et $g(1)=2$ donc les deux courbes passent par $C(1~;~2)$.\\
$f'(x)=1\times \sqrt{x}+(x+1)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=2}}$\\
$g'(x)=3x^2-\dfrac{1}{x^2}$ donc $g'(1)=2$.\\
$f'(1)=g'(1)$ ; les tangentes à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g $ ont le même coefficient directeur, donc les deux courbes sont tangentes en $C$.

\subsection{}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée, étudier son signe et en déduire le tableau de variation.

\begin{enumerate}
\item $f_1(x)= x^2-6x+1$ ; $f_1'(x)=2x-6=\boxed{\textcolor{red}{2(x-3)}}$.\\
$f_1'(x)=0$ pour $x=3$ et $f_1'(x)>0$ pour $x=3$.\\
On en déduit le \textbf{tableau de variation} de $f_1$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&3&&\pI\\
\filet
f'(x)&&-&\z&+&\\
\filet
\m{f_1(x)}&&\d&-8&\c&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\medskip

\item $f_2(x)= \dfrac{x+3}{x-4}$ ; $f_2=\dfrac{u}{v}$ aec $u(x)=x+3$ et $v(x)=x-4$.\\
$f_2'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$ donc $f_2'(x)=\dfrac{1(x-4)-1(x+3)}{(x-4)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{7}{(x-4)^2}<0}}$ sur l'ensemble de définition qui est $]-\infty~;~4[\cup]4~;~+\infty[$\\
Le tableau de variation est alors : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&4&&\pI\\
\hline
f_2'(x)&&-&\bb&-&\\
\hline
\m{f_2(x)}&&\d&\bb&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\medskip

\item $f_3(x)=x^3-27x+10$\\ $f_3'(x)=3x^2-27=3\left(x^2-9\right)=\boxed{\textcolor{red}{3(x+3)(x-3)}}$ qui s'annule en -3 et 3.\\
$f_3'(x)$ est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines.\\
\textbf{Tableau de variation} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&3&&\pI\\
\hline
f_3'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f_3(x)}&&\c&\h{64}&\d&-44&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x+1.\]

%\noindent Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variation.
$f'(x)=2\times 3x^2+3\times 2x-12=6x^2+6x-12\\
=6\left(x^2+x-2\right)$.\\
Le discriminant de $x^2+x-2$ est $\Delta=9>0$.\\
Les racines de $x^2+x-2$ sont -2 et 1.\\
On en déduit $6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=6(x-1)(x+2)}}.\]
$f'(x)$ est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{21}&\d&-6&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\newpage
\setcounter{subsection}{0}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1 ES-L : correction du contrôle sur la dérivation\\ (sujet B)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Dériver les fonctions suivantes}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f_1(x)=5x^2-3x+ 5$ ; $f_1'(x)=\boxed{\textcolor{red}{10x-3}}$

\medskip

\item $f_2(x)=5x^3-2\sqrt{x}$ ; $f_2'(x)=5\times 3x^2-2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{15x^2-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{15x^3-\sqrt{x}}{x}}}$

\medskip

\item $f_3(x)=-\dfrac{3}{x}+ 2x=-3\times \dfrac{1}{x}+2x$\\
 $f_3'(x)=-3\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)+2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{x^2}+2=\dfrac{2x^2+3}{x^2}}}$

\medskip

\item $f_4(x)=(2x+ 1)\left(1 +\dfrac{3}{x}\right)$\\
$f_4=uv$ avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=1+\dfrac{3}{x}$\\
$f_4'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$\\
Alors : $f_4'(x)=\boxed{\textcolor{red}{2\left(1+\dfrac{3}{x}\right)+(2x+1)\times \left(-\dfrac{3}{x^2}\right)=\dfrac{2x^2-3}{x^2}}}$

\medskip

\item $f_5(x)=\dfrac{5}{2x-1}=5\times \dfrac{1}{2x-1}$\\
$f_5=5\times \dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=2x-1$.\\
$f_5'=5\times \left(\dfrac{1}{u}\right)'=5\dfrac{-u'}{u^2}$ avec $u'(x)=2$.\\
$f_5'(x)=5\times \left(-\dfrac{2}{(2x-1)^2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{10}{(2x-1)^2}}}$

\medskip

\item $f_6(x)=(3x+5)\left(x^2-1\right)$
$f_6=uv$ avec $u(x)=3x+5$ et $v(x)=x^2-1$.\\
$f_6'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=3$ et $v'(x)=2x$.\\
Alors : $f_6'(x)=3\left(x^2-1\right)+(3x+5)\times 2x\\
=\boxed{\textcolor{red}{9x^2+10x-3}}
$

\end{enumerate}



\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = 3x^2-5x+1.\]

\noindent %Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse 2.
L'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
$f'(x)=6x-5$ donc $f'(2)=7$ ; $f(2)=3$.\\
L'équation de la tangente est donc $y=7(x-2)+3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=7x-11}}$

\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par \[g(x) =\dfrac{2}{x}+ 5x^2.\]

%\noindent Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d’abscisse -1.
$g'(x)=-\dfrac{2}{x^2}+10x$ donc $g'(-1)=-12$ ; $g(-1)=3$.\\
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_g$ au point d'abscisse -1 est $t=g'(-1)(x-(-1))+g(-1)$ d'où \\
$y=-12(x+1)+3$, soit $\boxed{\textcolor{red}{y=-12x-9}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\longmapsto (x+1)\sqrt{x}$ et \\
$g:x\longmapsto x^3+\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.`

%Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives de $f$ et $g$ ont-elles la même tangente au point $C(1 ;2)$.
$f(1)=2$ et $g(1)=2$ donc les deux courbes passent par $C(1~;~2)$.\\
$f'(x)=1\times \sqrt{x}+(x+1)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=2}}$\\
$g'(x)=3x^2-\dfrac{1}{x^2}$ donc $g'(1)=2$.\\
$f'(1)=g'(1)$ ; les tangentes à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g $ ont le même coefficient directeur, donc les deux courbes sont tangentes en $C$.

\subsection{}
%Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée, étudier son signe et en déduire le tableau de variation.

\begin{enumerate}
\item $f_1:x\longmapsto x^2-8x+1$ ; $f_1'(x)=2x-8=2(x-4)$ qui s'annule pour $x=4$ et est positif pour $x>4$.\\
On en déduit le \textbf{tableau de variation} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&4&&\pI\\
\filet
f'(x)&&-&\z&+&\\
\filet
\m{f_1(x)}&&\d&-15&\c&\\
\filet
\end{variations}

\end{center}

\medskip

\item $f_2:x\longmapsto \dfrac{x+3}{x-5}$\\
 ; $f_2=\dfrac{u}{v}$ aec $u(x)=x+3$ et $v(x)=x-5$.\\
$f_2'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$ donc $f_2'(x)=\dfrac{1(x-5)-1(x+3)}{(x-5)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{8}{(x-5)^2}<0}}$ sur l'ensemble de définition qui est $]-\infty~;~5[\cup]5~;~+\infty[$\\
\newpage
Le\textbf{ tableau de variation} est alors : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&5&&\pI\\
\hline
f_2'(x)&&-&\bb&-&\\
\hline
\m{f_2(x)}&&\d&\bb&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\medskip

\item $f_3:x\longmapsto x^3-48x+1$\\
$f_3'(x)=3x^2-48=3\left(x^2-16\right)=\boxed{\textcolor{red}{3(x+4)(x-4)}}$ qui s'annule en -4 et 4.\\
$f_3'(x)$ est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines.\\
\textbf{Tableau de variation} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-4&&4&&\pI\\
\hline
f_3'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f_3(x)}&&\c&\h{129}&\d&-127&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x+1.\]

%\noindent Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variation.
$f'(x)=2\times 3x^2+3\times 2x-12=6x^2+6x-12\\
=6\left(x^2+x-2\right)$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=6(x-1)(x+2)}}.\]
Le discriminant de $x^2+x-2$ est $\Delta=9>0$.\\
Les racines de $x^2+x-2$ sont -2 et 1.\\
On en déduit $6x^2+6x-12=6(x-1)(x+2)$.\\
$f'(x)$ est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
On en déduit le \textbf{tableau de variation} de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{21}&\d&-6&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  