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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES}-L:correction du devoir sur feuille \no  2}}\end{center}



\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x^2+3}$.
%
%\noindent On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.


\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ où $f$ désigne la dérivée de la fonction $f
%$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=x^2-4x+7\\v(x)=x^2+3\end{array}\right.$\\
$f=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=2x-4\\v'(x)=2x\end{array}\right.$\\
On en déduit : $f'(x)=\dfrac{(2x-4)\left(x^2+3\right)-2x\left(x^2-4x+7\right)}{\left(x^2+3\right)^2}\\
=\dfrac{2x^3+6x-4x^2-12-2x^3+8x^2-14x}{\left(x^2+3\right)^2}=\dfrac{4x^2-8x-12}{\left(x^2+3\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2+3\right)^2}}}$

\item %Étudier les variations de la fonction $f$.
Comme $\left(x^2+3\right)^2>0$, $f'(x)$ est di signe de $x^2-2x-3$.\\
Le discriminant est $\Delta=16>0$ ; il y a donc deux racines, qui sont $x_1=\dfrac{2-4}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$ et $x_2=\dfrac{2+4}{2}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{4(x+1)(x-3)}{\left(x^2+3\right)^2}}}$.\\
$f'(x)$ s'annule en -1 et en 3 et est positive (du signe du coefficient de $s^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\noindent On en déduit que $f$ est croissante sur $]-\infty~;~-1]$, décroissante sur $[-1~;~3]$ et croissante sur $[3~;~=\infty[$.

Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&3&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
±m{f(x)}&\mI&\c&\h{3}&\d&\dfrac{1}{3}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1.
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en 1 est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.\\
$f'(1)=-1$ ; $f(1)=1$ donc l'équation est $y=-(x-1)+1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{y=-x+2}}$

\item Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-2.)(7.,4.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1pt](0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7.0}{7.0}{(x^(2.00000000000)-4.00000000000*x+7.00000000000)/(x^(2.00000000000)+3.00000000000)}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{4}{-x+2}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-6.88,1.34){$f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}





\subsection{}

\begin{enumerate}

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-60x^2+450x$.
Soit $f$ la fonction  définie sur $\mathbb{R}$ par 

$f(x)=2x^3-60x^2+450x$.

$f$ est dérivable : $f(x)=2\left(x^3-30x^2+225x\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=6\left[x^2-20x+75\right]}}$.

$f'(x)$ est du signe de $x^2-20x+75$.

$\Delta=(-20)^2-4\times 1\times 75=\numprint{400}-\numprint{300}=100=10^2>0$.

Le trinôme a donc deux racines : $x_1=\dfrac{20-10}{2}=5$ et $x_2=\dfrac{20+10}{2}=15$.

Il est du signe du coefficient de $x^2$ donc positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

On en déduit le \textcolor{red}{tableau de variations} de $f$ sur $\mathbb{R}$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&5&&15&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\numprint{1000}}&\d&0&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %On veut construire le patron d'une boîte de lait dans une feuille cartonnée de 30 cm de côté.

\noindent %Le patron est donné par la figure 1 ci-dessous et la figure 2 est celle de la boîte qui est un parallélépipède rectangle
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6}
%\begin{pspicture}(-1,-2)(9,8)
%\psframe(0,0)(8,5)
%\psline(3,0)(3,5)
%\psline(4,0)(4,5)
%\psline(7,0)(7,5)
%\psframe(0,0)(3,-1)
%\psframe(0,5)(3,6)
%\psline{<->}(3.5,-1)(3.5,0)
%\uput[r](3.5,-0.5){$x$}
%\psline{<->}(0,6.5)(8,6.5)
%\uput[u](4,6.5){30}
%\psline{<->}(-0.5,-1)(-0.5,6)
%\psline{<->}(7,-0.5)(8,-0.5)
%\uput[d](7.5,-0.5){$x$}
%\uput[l](-0.5,3){30}
%\uput[d](4,-1.5){Figure 1}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,5)
%\psline(0,0.)(2,0)
%\psline(2.,0.)(2.2,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.2,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(0.,0.)
%\psline(0,3)(2,3)
%\psline(2.,3)(2.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(2.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(0.,3)
%\psline(0,0)(0,3)
%\psline(2,0)(2,3)
%\psline(2.2,0.5)(2.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(.2,3.5)
%\psline{<->}(3,0)(3.2,0.5)
%\uput[r](3.1,0.25){$x$}
%\uput[d](1,-0.5){Figure 2}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

%L'objectif est de trouver la valeur de $x$ qui rend le volume de la boîte maximal.


\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi les valeurs de $x$ appartiennent à $]0~;~15[$.
Si $L$ est la longueur de la boîte, on a $2L+2x=30$ donc $x=15-L\leqslant 15$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant x\leqslant 15}}$.

\item %Exprimer en fonction de $x$ le volume de cette boîte.
La boîte a une longueur $L=15-x$, une largeur $x$ et une hauteur $h=30-2x$.

Son volume est $V(x)=Lxh$ donc $V(x)=(15-x)x(30-2x)=2x(15-x)^2=2x(x^2-30x+225)=\boxed{\textcolor{red}{2x^3-60x+450x}}$.

On reconnaît l'expression de $f(x)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{V(x)=f(x)}}$.

\item %Pour quelle valeurs de $x$ le volume de cette boîte est-il maximal ?
D'après l'étude des variations de $f$, le volume est \textbf{\textcolor{red}{maximal}} pour $\boxed{\textcolor{red}{x=5}}$ et donc $L=10$. la hauteur de la brique est alors 20 et le volume \numprint{1000} cm$^3$, donc 1 L.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un restaurant, le coût total en euros pour la fabrication de $x$ repas est donné par la relation \[C(x)=2x^2-230x+\numprint{7200}\] pour $x$ compris entre 30 et 120.

%\noindent Lorsque $x$ repas sont fabriqués, on appelle coût moyen d'un repas le quotient $\dfrac{C(x)}{x}$ qu'on note $C_M$(x).

\begin{enumerate}
\item %Donner l'expression de $C_M(x)$ en fonction de $x$.
$C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x^2-230x+\numprint{7200}}{x}}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{2x-230+\dfrac{\numprint{7200}}{x}}}$

\item %Calculer la dérivée de $C_M$.
$C_M(x)=2x-230+\numprint{7200}\times \dfrac{1}{x}$ donc $C_M'(x)=2+\numprint{7200}\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=2-\dfrac{\numprint{7200}}{x^2}\\
=2\times \left(1-\dfrac{\numprint{3600}}{x^2}\right)=2\left(\dfrac{x^2-\numprint{3600}}{x^2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{2\times \dfrac{(x-60)(x+60)}{x^2}}}$.

\item %Montrer que cette dérivée a le même signe  que $x-60$ sur l'intervalle $[30~;~120]$.
Sur $[30~;~120]$, $x^2>0$ et $x+60>0$ et 2>0, donc $C_M'(x)$ est du signe de $x-60$, donc positif pour $x\geqslant 60$ et négatif pour $x\leqslant 50$.

\item %Étudier le sens de variation de $C_M$ sur $[30~;~120]$.
On en déduit le \textbf{\textcolor{red}{sens de variation}} de $C_M$ sur $[30~;~120]$ :

\begin{center}
\begin{variations}
x&30&&60&&120\\
\hline
C_M'[x]&&-&\z&+&\\
\hline
\m{(C_M(x))}&\h{70}&\d&10&\c&70\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Combien de repas faut-il fabriquer our que le coût moyen soit minimal ?
Il faut donc fabriquer $\textbf{60}$ repas pour que le coût moyen soit minimal.
\end{enumerate}


\subsection{}%corrigé 
%\href{http://www.georgesmarty.fr/Classes/TES/Cours/02.%20Regularite%20d%27une%20fonction/TD4%20Elasticite/TDC.pdf}{ici}

%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition (élasticité)}}
%On note $p$ le prix d’un produit en euros et $f(p)$ la demande liée à ce produit pour le prix $p$. L’élasticité $E(p)$ de la demande par rapport au prix $p$ est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1\:\% du prix $p$.
%\end{bclogo}

%\bigskip
La demande $f(p)$ d’un produit proposé à un prix $p\in [ 11~;~+\infty[$ (en euros) est donnée par \[f(p)=\dfrac{\numprint{100000}p}{ p^2- 100}.\]
\textbf{\textcolor{blue}{Etude de la demande}}
 
\begin{enumerate}
\item $f ( 11 ) =\boxed{\textcolor{red}{\frac{1100000}{21}\approx \numprint{52381}}}$\\
$ f ( 15 ) =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{12000}}}$~;~$f ( 90 ) =\boxed{\textcolor{red}{ \numprint{1125}}}$.

\item Pour p > 11, le dénominateur et le numérateur sont positifs donc $\boxed{\textcolor{red}{f ( p ) > 0}}$.\\
$f'(p) = \dfrac{\numprint{100000}\left( p^2 - 100\right) - 2p(100000 p ) }{\left( p^2 - 100 \right)^2} =\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{\numprint{100000} ( p^2 + 100)}{ (p- 10 ) ^2 ( p + 10 ) ^2}}}$ est négative donc $f$ est décroissante. 

\item On suppose que le prix $p$ , initialement à 15\euro{} , subit une augmentation de 1\:\%. 

\begin{enumerate}
\item $p_1 = 1,01 p = 1.01 \times  15 = \boxed{\textcolor{red}{15,15~\text{\euro}}}$.

\item $f(15,15 ) \approx \numprint{11697}~;~\dfrac{f(15,15)}{f(15)}\approx 0,975 = 1- 0,025$ ce qui montre que la demande a baissé de 2.5\:\%. On a donc $\boxed{\textcolor{red}{E(15)=-2.5}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Etude de l’élasticité de la demande}}

\begin{enumerate}
\item 
$E(p)=\dfrac{pf’(p)}{f(p)}=\dfrac{-\numprint{100000}p\left(p^2+100\right)\left(p^2-100\right)}{\left(p^2-100\right)^2\times \numprint{100000}p}=-\dfrac{p^2+100}{p^2-100}=\dfrac{-p^2-100}{p^2-100}=\dfrac{p^2-100-2p^2}{p^2-100}\\
=\boxed{\textcolor{red}{1-\dfrac{2p^2}{p^2-100}}}$.


\item $E(15)=1-\dfrac{2\times 15^2}{15^2-100}=1-\dfrac{18}{5}=1-3.6=\boxed{\textcolor{red}{-2.6}}$ ce qui est très voisin du résultat précédemment calculé. 

\item $E(p)$ est du signe de $f’(p)$ qui est négatif. Cela confirme bien la diminution de la demande quand le prix augmente.

\item $E=1-\dfrac{u}{v}$ avec $u(p)=2p^2$ et $v(p)=p^2-100$.

$E'=-\left(\dfrac{u}{v}\right)'=-\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(p)=4p$et $v'(p)=2p$.

On en déduit : $E'(p)=-\dfrac{4p\left(p^2-100\right)-2p\left(2p^2\right)}{\left(p^2-100\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{400p}{\left(p^2-100\right)^2}}}$ toujours positif.


On en déduit que $E$ est une fonction \textbf{\textcolor{red}{croissante}} de $p$.

\item $E(p)=-1.25\Leftrightarrow \dfrac{2p^2}{p^2-100}=2,25\Leftrightarrow 2p^2=2,25p^2-225\Leftrightarrow 0,25p^2=225\Leftrightarrow p^2=900\Leftrightarrow p=30$, donc $\boxed{\textcolor{red}{p_0=30~\text{\euro}}}$ .

\item Comme $E(30)=-1.25$, l’augmentation de 30 centimes d’euros correspondant à une hausse de 1\:\%, on déduit que la demande diminue de 1.25\:\%.
\end{enumerate}

\label{fin} 
 \end{document}  