\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES-L Controle sur les probabilités (1 heure)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
On choisit au hasard un nombre compris entre 1 et 25 (bornes comprises). On définit la variable aléatoire $X$ qui lui associe la somme de ses chiffres.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de $X$ en complétant le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
$p\left(X=x_i\right)$&&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer son espérance.
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Une entreprise fabrique des stylos à bille qu'elle groupe en paquets de 10.
%
%\noindent On tire au hasard un paquet et on note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de stylos défectueux.
%
%\noindent Une étude statistique conduit  à la loi de probabilités suivante :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering 
%\arraybackslash}X|}} \hline
%$X$&0&1&2\\
%\hline
%Probabilité&0,96&003&0,01\\
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Quelle est la probabilité s'avoir au moins un paquet défectueux ?
%
%\item Calculer l'espérance $E(X)$.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une urne contient quatre boules, trois blanches et une noire.

\noindent On tire au hasard des boules dans l'urne, une par une, jusqu'à obtenir la boule noire.

\noindent On note N l'événement \og{}on tire la boule noire\fg{}.
\begin{enumerate}
\item 
Compléter l'arbre ci-dessous et calculer les probabilités manquantes :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{ $\frac14$}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N}$}\tbput{ $\frac34$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{ $\frac13$}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N}$}\tbput{ $\cdots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{ $\cdots$}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{N}$}\tbput{ $\cdots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\taput{ $1$}}}}}
\end{center}

\item Soit $R$ la variable aléatoire qui donne le rang de sortie de la boule noire.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possible pour $R$ ?

\item Donner la loi de probabilité de $R$ sous forme de tableau.

\item Calculer alors $E(R)$. Conclure.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\subsection{}
%\noindent Une urne contient quatre boules numérotées de 1 à 4. On tire au hasard une première boule, on note son numéro et sans la remettre, on tire une nouvelle boule dont on note aussi le numéro.\\
%On obtient ainsi un nombre de deux chiffres.
%\begin{enumerate}
%\item Combien de nombres de deux chiffres peut-on obtenir ?
%
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir le nombre 43 ?
%
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
%
%\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre multiple de 3 ?
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Les questions sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre 7 et 0,4.

\begin{enumerate}
\item . Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?

\item Calculer $p(X\leqslant 2)$ et  $p(X=7)$. Arrondir , si besoin, à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate} 

\item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 9 et  13.

\noindent Calculer l'espérance de $Y$. 

\item On lance 8 fois de suite un dé cubique parfaitement équilibré. 

\noindent Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l'on a obtenu un nombre  supérieur ou égal à 5.

Quelle loi suit $X$ ?  Donner ses paramètres.  Justifier vos réponses \end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Adrien s'amuse avec son jeu vidéo, en effectuant six partie successives.

\noindent On suppose que sa capacité à gagner est identique lors des parties successives (partie supposée indépendantes).

\noindent On considère que la probabilité de gagner lors de chaque  partie est 0,7.

\noindent On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de parties gagnées par Adrien au cours des six parties.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ?

\item Déterminer la probabilité qu'Adrien gagne trois parties.

\item Quelle est la probabilité qu'Adrien gagne au moins une partie ?

\item Adrien joue un grand nombre de fois six parties successives dans les mêmes conditions décrites ci-dessus.

\noindent Quelle sera la moyenne de parties gagnées sur les six parties jouées ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée et on note dans l'ordre les résultats P ou F obtenus.

\noindent On donne ci-dessous l'arbre correspondant :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=5mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}}}}}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Pour un entier $k$ compris entre 0 et 4, que représente par rapport à cet arbre le coefficient binomial $\binom{4}{k}$  ?

\item À l'aide de cet arbre, calculer \textbf{en justifiant} les coefficients binomiaux $\binom{4}{1}$, $\binom{4}{2}$ et $\binom{4}{4}$

\end{enumerate}




%\subsection{}
%Pour l'examen du code de la route, les candidats doivent remplir un questionnaire de40 questions, en choisissant, pour chacune des questions, l'une des quatre réponses proposées, dont une seule est exacte.
%
%\noindent Un candidat décide de tenter sa chance, en répondant au hasard à toutes les questions.
%\begin{enumerate}
%\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $S$, comptant le nombre de bonnes réponses du candidat ?
%
%\item Calculer à la calculatrice $p(X\geqslant 36)$.
%
%\item Calculer l'espérance $E(X)$ en en donner une interprétation.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
%http://cm.maths-lfb.fr/1l/spe1l-12-13/dev8_probabilites.pdf
Dans un grand établissement scolaire, 20\:\% des élèves possèdent un smartphone.

\noindent On rencontre, au hasard, un groupe de 10 élèves.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves qui possèdent un smartphone. (On arrondira les résultats au millième si nécessaire.)

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?

\item Determiner la probabilité que les 10 élèves possèdent un smartphone.

\item Déterminer la probabilité que deux élèves exactement possèdent un smartphone.

\item . Calculer $p(X\geqslant  3)$ et interpréter.

\item Sur dix élèves choisis au hasard, quel est le nombre moyen d'élèves possédant un portable ?
\bigskip

\emph{\textcolor{red}{Remarque} : le nombre d'élèves interrogés étant petit par rapport au nombre d'élèves de l' établissement, on peut
assimiler la situation  a 10 tirages avec remise dans l'ensemble des élèves.}


\end{enumerate}
 



   \label{fin}
   \end{document}  