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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES}-L:devoir sur feuille \no  2}}\end{center}



\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x^2+3}$.

\noindent On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.


\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ où $f$ désigne la dérivée de la fonction $f$.

\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1.

\item Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-2.)(7.,4.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1pt](0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7.0}{7.0}{(x^(2.00000000000)-4.00000000000*x+7.00000000000)/(x^(2.00000000000)+3.00000000000)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-6.88,1.34){$f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}

\begin{enumerate}

\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-60x^2+450x$.

\item On veut construire le patron d'une boîte de lait dans une feuille cartonnée de 30 cm de côté.

\noindent Le patron est donné par la figure 1 ci-dessous et la figure 2 est celle de la boîte qui est un parallélépipède rectangle
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(-1,-2)(9,8)
\psframe(0,0)(8,5)
\psline(3,0)(3,5)
\psline(4,0)(4,5)
\psline(7,0)(7,5)
\psframe(0,0)(3,-1)
\psframe(0,5)(3,6)
\psline{<->}(3.5,-1)(3.5,0)
\uput[r](3.5,-0.5){$x$}
\psline{<->}(0,6.5)(8,6.5)
\uput[u](4,6.5){30}
\psline{<->}(-0.5,-1)(-0.5,6)
\psline{<->}(7,-0.5)(8,-0.5)
\uput[d](7.5,-0.5){$x$}
\uput[l](-0.5,3){30}
\uput[d](4,-1.5){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,5)
\psline(0,0.)(2,0)
\psline(2.,0.)(2.2,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.2,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(0.,0.)
\psline(0,3)(2,3)
\psline(2.,3)(2.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(2.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(0.,3)
\psline(0,0)(0,3)
\psline(2,0)(2,3)
\psline(2.2,0.5)(2.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(.2,3.5)
\psline{<->}(3,0)(3.2,0.5)
\uput[r](3.1,0.25){$x$}
\uput[d](1,-0.5){Figure 2}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'objectif est de trouver la valeur de $x$ qui rend le volume de la boîte maximal.


\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi les valeurs de $x$ appartiennent à $]0~;~15[$.

\item Exprimer en fonction de $x$ le volume de cette boîte.

\item Pour quelle valeurs de $x$ le volume de cette boîte est-il maximal ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}
Dans un restaurant, le coût total en euros pour la fabrication de $x$ repas est donné par la relation \[C(x)=2x^2-230x+\numprint{7200}\] pour $x$ compris entre 30 et 120.

\noindent Lorsque $x$ repas sont fabriqués, on appelle coût moyen d'un repas le quotient $\dfrac{C(x)}{x}$ qu'on note $C_M$(x).

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $C_M(x)$ en fonction de $x$.

\item Calculer la dérivée de $C_M$.

\item Montrer que cette dérivée a le même signe  que $x-60$ sur l'intervalle $[30~;~120]$.

\item Étudier le sens de variation de $C_M$ sur $[30~;~120]$.

\item Combien de repas faut-il fabriquer our que le coût moyen soit minimal ?
\end{enumerate}

%\subsection{}%http://perso.crans.org/pklein/Maths/lycee2/DS3_Enonce.pdf
%
%Le tableau ci-contre donne la proportion de fumeurs,
%en pourcentage, pour les hommes et les femmes des différents pays de l'Union Européenne
%(Source : Tableaux
%de l' economie française, 2000{2001, INSEE)
%.
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la médiane, le premier quartile et le troisième quartiles de la série pour les hommes.
%
%
%\item Calculer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série pour les femmes.
%
%\item Dessiner de part et d'autre d'une même graduation
%les diagrammes en boîte de ces deux séries.
%
%
%\item Comparer les deux séries
%\end{enumerate}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%
%Pays&Homme&Femme\\
%\hline
%Allemagne&36&21\\
%\hline
%Autriche&40&25\\
%\hline
%Belgique&31&22\\
%\hline
%Danemark&37&31\\
%\hline
%Espagne&45&27\\
%\hline
%Finlande&30&20\\
%\hline
%France&35&22\\
%\hline
%Gr ece&49&28\\
%\hline
%Irlande&29&28\\
%\hline
%Italie&35&18\\
%\hline
%Luxembourg&
%39&27\\
%\hline
%Pays Bas&37&31\\
%\hline
%Portugal&38&15\\
%\hline
%Royaume-Uni&29&28\\
%\hline
%Su ede&17&22\\
%\hline
%\end{tabularx}

\subsection{}%corrigé \href{http://www.georgesmarty.fr/Classes/TES/Cours/02.%20Regularite%20d%27une%20fonction/TD4%20Elasticite/TDC.pdf}{ici}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition (élasticité)}}
On note $p$ le prix d’un produit en euros et $f(p)$ la demande liée à ce produit pour le prix $p$. L’élasticité $E(p)$ de la demande par rapport au prix $p$ est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1\:\% du prix $p$.
\end{bclogo}

\bigskip
La demande $f(p)$ d’un produit proposé à un prix $p\in [ 11~;~+\infty[$ (en euros) est donnée par \[f(p)=\dfrac{\numprint{100000}p}{ p^2- 100}.\]
\textbf{\textcolor{red}{Etude de la demande}}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la demande pour $p = 11$, $p = 15$ et \\
$p = 90$ en arrondissant si nécessaire à l’unité près. 

\item Verifier que $f ( p ) > 0$ pour tout $p > 11$.

\noindent Montrer que $f$ est décroissante sur $[11~;~+\infty[$.

\item On suppose que le prix $p$ , initialement à 15 \euro{}, subit une augmentation de 1\:\%.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le nouveau prix $p_1$ , ainsi que la demande correspondante à ce prix, arrondie à l’unité près. 

\item En déduire $E(15)$, l’élasticité de la demande par rapport au prix de 15 \euro.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \noindent \textbf{\textcolor{red}{Etude de l’élasticité de la demande}}
 
\bigskip

 Supposons qu’une augmentation $\Delta p$ du prix induise une augmentation $\Delta f$ de la demande. $\dfrac{\Delta f}{f}$ est le taux d’augmentation de la demande et $\dfrac{\Delta p}{p}$ le taux d’augmentation du prix.

 \noindent On peut écrire : $E ( p ) = \dfrac{\Delta f / f}{ \Delta p / p }=\dfrac{ \Delta f}{ \Delta p }\times  \dfrac{p}{ f ( p )} \approx p \times  \dfrac{f’( p ) }{f ( p)}$ (en supposant que les variations sont petites.

 
 Cette dernière expression est celle utilisée par les économistes.
 
  Dans toute la suite, c’est cette formule qui sera utilisée, donc \[E(p)=p \times  \dfrac{f'( p ) }{f ( p )}\]
  
\begin{enumerate}
\item Établir l’égalité $E( p ) = 1 - \dfrac{2 p^2}{ p^ 2 - 100}$.

\item Calculer $E ( 15 )$ à l’aide de cette dernière expression et comparer avec le résultat obtenu à la première partie.

\item Quel est le signe de $E ( p )$ pour $p > 11$ ? Justifier la réponse et interpréter ce résultat. 

\item Calculer $E'( p )$ et en déduire le tableau de variation de E . 

\item Calculer la valeur de $p_0$ pour laquelle l’élasticité est de -1.25.

\item Comment évolue la demande quand le prix passe de 30 \euro{} à 30.30 \euro ? 
\end{enumerate}

\end{multicols}
 \label{fin}
  \end{document}  