\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\lhead{\small \textcolor{red}{1\iere{} ES}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-contrôle commun}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{février 2019 - Durée : 2 heures}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty}
 
\def\montitre{Contrôle commun de 1\iere{}}
\markboth{}{}
\pagestyle{fancy}
%pied de page gauche
% pour le pied de page central
\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
		 &\hfill   février 2019\\
		NOM (en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) : &\\
		\\
		PRÉNOM : &\\
		\\
		CLASSE : 1\iere{ES} \no \dots &
	\end{tabular}
	
	\vspace{4cm}

\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre  \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {février 2019}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\large{Série : \textbf{ES}}\vspace{1.5cm}\\

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{2 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}}\\
Le sujet est à rendre avec la copie.

\bigskip

\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\



\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{center}

\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice I}}

\begin{enumerate}


\item Déterminer le prix initial d'un article sachant :
\begin{enumerate}
\item qu'il vaut 97,20 \euro{} après une hausse de 8\:\%

\item qu'il vaut 46,50 \euro{} après une baisse de 7\:\%
\end{enumerate}

\item Dans les travaux de rénovation dans les logements anciens, le taux de T.V.A. est passé au 1\ier{} janvier 2014 de 7\:\% à 10\:\%.\\
Des travaux de rénovation étaient prévus dans un ancien logement pour un montant T.T.C. de \numprint{16050} \euro (avec un taux de T.V.A. de 7\:\%).
\begin{enumerate}
\item Calculer le montant H.T des travaux.

\item Quel est le nouveau montant des travaux avec le nouveau taux de T.V.A. de 10\:\% ?
\end{enumerate}

\item Déterminer le taux d'évolution global d'un prix sachant :
 qu'il a subi une hausse de 40\:\% suivi d'une baisse de 10\:\%.


\item Un prix a subi une hausse globale de 3,53\:\%, en ayant subi deux hausses successives, la première étant de 2\:\%.\\
Quel était le taux de hausse de la deuxième augmentation ?

\item L'an dernier, la production d'une entreprise a diminué de 3\:\%. Quel devrait être le taux d'évolution cette année pour retrouver la valeur initiale ? Arrondir le résultat au centième.


\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II}}
%source : http://calvin.lyc.ac-amiens.fr/sitewp/wp-content/uploads/2018/03/1ES.18.01.pdf

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
\medskip

Le tableau ci-dessous indique l’évolution de la dette en milliards d’euros de l’Etat français depuis 1981.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1981&1986&1991&1996&2001&2006&2011\\
\hline
Dette (en milliards d’euros)&110&249&385&713&853&\numprint{1152}&\numprint{1688}\\
\hline
Indice&100&& 350& 648&& 1047&\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item En prenant pour indice 100 l’indice correspondant à la dette de l’Etat français pour l’année 1981, calculer l’indice arrondi à l’unité correspondant à la dette de l’Etat français pour l’année 1986. 

\item Compléter les indices correspondant à la dette de l’Etat français pour les années 2001 et 2011.\\
(Le détail des calculs n’est pas demandé et les résultats seront arrondis à l’unité)
\end{enumerate}

\item Déterminer les taux d’évolutions en pourcentage, arrondis à l’unité, de la dette de l’Etat français entre 1981 et 1991, puis entre 2001 et 2011.

\item Au début de son mandat en 2012, le président du quinquennat 2012-2017 avait promis qu'à la fin de son mandat, la dette retrouverait la valeur qu'elle avait en 2006.
Calculer le pourcentage, à 0,1\:\% près, de diminution entre 2011 et 2017 correspondant à cette promesse.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique l’évolution de la dette en pourcentage du produit intérieur brut (P.I.B.) de l’Etat français depuis 1981.
La dernière colonne du tableau indique que la dette de 2011 représente 85\:\% du PIB de 2011.

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&1981&1986&1991&1996&2001&2006&2011\\
\hline
Dette en \:\% du P.I.B.&22&31&36& 58&57&64&85\\
\hline
P.I.B. en milliards d’euros&&&&&&&1986\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le tableau de la question 1 :

\begin{enumerate}
\item Calculer le P.I.B. à un milliard d’euros près de l’année 1981. (La réponse sera justifiée par un calcul)

\item Compléter, sans détailler les calculs, le tableau ci-dessus. (Les résultats seront arrondis à l’unité)

\end{enumerate}


\item En supposant que le taux d’augmentation du P.I.B. est de 1\:\% par an à partir de l’année 2011, calculer le P.I.B. en 2012 arrondi au milliard d’euros.

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III}}
Une entreprise française commercialise des pneus. La production mensuelle maximale est de \numprint{30000}
pneus. On suppose que la totalité de la production est vendue chaque mois.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A. Lectures graphiques}}\\
Les courbes $\mathscr{R}$ et $\mathscr{C}$ ci-dessous représentent respectivement le chiffre d'affaires et les charges de
production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pneus produits, $x\in[0~;~30]$.\\

\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.0017,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-300)(32.,5300)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5.,Dy=500.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1000.)(31.,5200.)
\psplot[linecolor=red]{0}{30}{4*x^2+4*x+574}
\psplot[linecolor=blue]{0}{30}{130*x}
\multido{\n=1+1}{30}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,5200)}
\multido{\n=5+5}{6}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,5200)}
\multido{\n=100+100}{101}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(30,\n)}
\multido{\n=500+500}{11}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(30,\n)}
\uput[u](28,3822){$\mathscr{C}$}
\uput[u](9,1170){$\mathscr{R}$}
\uput[ul](0,0){0}
\uput[u](25.2,0){$x$ en milliers de pneus}
\uput[r](0,5200){$y$ en milliers d'euros}
\end{pspicture*}
\end{center}
\emph{On laissera apparents les traits utiles à la lecture des résultats.}




\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les charges de production de \numprint{12000} pneus.

\item Déterminer graphiquement le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d'affaires de \numprint{2500000} euros.

\item En vendant \numprint{4000} pneus, l'entreprise est-elle bénéficiaire ? Justifier la réponse.

\item Déterminer graphiquement le nombre de pneus à produire afin que l'entreprise réalise du bénéfice.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B. Modélisation}}

\medskip

Les charges de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pneus vendus sont données par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $C(x )=4x^2+4x+574$.\\
L'entreprise fixe le prix de vente d'un pneu à 130 euros.\\
Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de pneus est donné par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $R(x )= 130x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coûts fixes, c'est-à-dire les charges de production lorsque l'entreprise ne produit rien.

\item Démontrer que le bénéfice réalisé pour $x$ milliers de pneus vendus est donné, en milliers d'euros, par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~30], par :
\[B(x )= - 4 x^2 + 126 x- 574\]

\item Étudier le signe du trinôme $- 4x^2 + 126 x- 574$. On arrondira les racines éventuelles du trinôme au millième.\\
En déduire la quantité de pneus à produire afin que l'entreprise réalise du bénéfice.

\item 
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de la fonction B sur [0~;~30].

\item Pour quel nombre de pneus produits le bénéfice est-il maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice ?

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV}}

%Exercice 2. Statistiques, médiane/quartiles.
Un navire de pêche, affrété par des scientifiques, effectue des prélèvements de saumons en Atlantique Nord pour les étudier. Un banc de 63 saumons a été capturé.\\
On souhaite savoir si ces saumons sont plutôt sauvages ou issus d'un élevage d'où ils se seraient échappés.\\
Les saumons ont été mesurés en cm.\\
Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{20}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Taille}&116&117&118&119&120&121&122&123&124&125&126&127&128&129&130&131&132&133&134\\
\hline
\textbf{Effectifs}&2&0&1&5&5&5&4&4&5&4&2&3&2&5&6&3&4&2&1\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la médiane de cette série statistique.

\item Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série.

\item Construire ci-dessous (au dessus du diagramme de la question \ref{saumons}) le diagramme en boîte de cette série.
\label{serie1}

\item Le diagramme en boîte ci-dessous correspond à un banc de saumons sauvages.\label{saumons}

\begin{center}
Diagramme de la question \ref{serie1}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.3cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(106,-0.8)(165.1,2.2)
\def\xmin{110} \def\xmax{160} \def\ymin{0} \def\ymax{1.4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](109.9,-0.8)(160.1,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=2.8cm}
\psgrid[subgriddiv=0.4,gridlabels=0,subgridwidth=0.4pt](0,0)(110,0)(160,1.4)
\psset{xunit=0.3cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psframe[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid](127 ,0.8)(139,1.6)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(132,0.8)(132,1.6)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(114,1.2)(127 ,1.2)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(139,1.2)(151,1.2)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(114,1.05)(114,1.35)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(151,1.05)(151,1.35)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=10,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\multido{\n=110+10}{6}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,2.2)}
\end{pspicture*}
\end{center}

%Diagramme en boîte avec : min=114, max=151, Q1 = 127 , Me = 132 , Q3 = 139
\begin{center}
Diagramme de la question \ref{saumons}(saumons sauvages)
\psset{xunit=0.3 , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(106,-0.8)(165.1,2.2)
\def\xmin{110} \def\xmax{160} \def\ymin{0} \def\ymax{1.4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](109.9,-0.8)(160.1,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=2.8cm}
\psgrid[subgriddiv=0.4,gridlabels=0,subgridwidth=0.4pt](0,0)(110,0)(160,1.4)
\psset{xunit=0.3cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid](127 ,0.8)(139,1.6)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(132,0.8)(132,1.6)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(114,1.2)(127 ,1.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(139,1.2)(151,1.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(114,1.05)(114,1.35)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(151,1.05)(151,1.35)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=10,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\multido{\n=110+10}{6}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,2.2)}
\end{pspicture*}
\end{center}
Les saumons capturés semblent-ils plutôt sauvages ou issus d'un élevage ? Justifier.
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice V}}
Une machine produit des pièces dont le diamètre doit être de 5 cm. On observe malgré tout de
petites différences sur les diamètres.\\
Pour savoir si la machine est bien réglée et fonctionne correctement, on prélève un échantillon de
40 pièces et on obtient les résultats suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\textbf{Taille (en cm)}&4,5&4,6&4,7&4,8&4,9&5&5,1&5,2&5,3&5,4\\
\hline
\textbf{Effectif}&3&1&4&9&9&6&2&2&3&1\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Calculer la taille moyenne des pièces de l'échantillon. Arrondir le résultat au dixième.

\item Donner l'écart-type $\sigma$ . Arrondir le résultat au dixième.

\item La machine est correctement réglée si les deux conditions suivantes sont réalisées :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Condition 1}} : Environ 95\:\% des données de l'échantillon appartiennent à l'intervalle $[\overline{x}-2\sigma~;~\overline{x} + 2\sigma]$ , où $\overline{x} = 5$ est la moyenne théorique et $\sigma$ l'écart-type de l'échantillon.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Condition 2}} : Environ 68\:\% des données de l'échantillon appartiennent à l'intervalle
$[\overline{x} - \sigma~;~\overline{x} + \sigma]$ , où $\overline{x} = 5$ est la moyenne théorique et $\sigma$ l'écart-type de l'échantillon.
\end{enumerate}.\\
La machine est-elle bien réglée ?

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document} 