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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Optimisation d'une production}}
Dans une entreprise, la quantité journalière produite en tonnes est exprimée par $f(x)=\dfrac{4x^2-36x}{x-12}$ où $x$ est la durée journalière de travail de la main d'œuvre exprimée en heures avec $x\leqslant 10$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$ et vérifier que \[f'(x)=\dfrac{4(x-6)(x-18)}{(x-12)^2}.\]

\item Pour quelle valeur de $x$ la quantité produite est-elle maximale ?
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère un rectangle de périmètre égal à 4 cm et on note $x$ la longueur d’un de ses côtés. Le but de l’exercice est de déterminer les dimensions du rectangle pour que son aire soit maximale.

\begin{enumerate}
\item Exprimer l’aire $\mathscr{A}$ du rectangle en fonction de $x$.

\item Étudier les variations de la fonction $\mathscr{A}(x)$ sur l’intervalle $]0~;~+\infty[$.

\item En déduire les dimensions du rectangle de périmètre 4 cm d’aire maximale.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O~;~I~;~J)$ orthonormé d'unité 2 cm.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.

\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ et construire son tableau de variation. sur $[-1~;~3]$.

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1.

\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=f(x)-(-3x+2)$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\item Calculer $g(1)$.

\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.

\item Sur quel intervalle a-t-on $f(x)\geqslant -3x+2$ ?\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}_f$ et $T$ ?
\end{enumerate}

\item Construire la courbe $\mathscr{C}_f$, la tangente $T$ et les tangentes à $\mathscr{C}_f$ aux points d'abscisses 0 et 2.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Élasticité de la demande}}%Indice n° 148 page 103
La quantité demandée pour un article dépend du prix de cet article : elle est égale à $500-4p$, où
$p$ est le prix de l’article en euro.\\
On appelle $f$ cette fonction de demande qui, à chaque prix, fait correspondre la quantité demandée pour cet article.\\
On a donc  $f(p)=500-4p$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Lorsque le prix de l’article est de 7 euros, déterminer la quantité demandée.

\item Le prix de cet article initialement à 7 euros subit une augmentation de 1\:\%. Calculer le nouveau prix et la nouvelle quantité demandée.\\
Calculer le pourcentage de variation $d$ de la quantité demandée.
\end{enumerate}

\item On appelle élasticité de la demande par rapport au prix $p$ le réel $\mathbf{E(p) = p\times \dfrac{f '(p)}{f(p)}}$.

\begin{enumerate}
\item Quel est le signe de E(p) ?

\item Déterminer, en fonction de $p$, l’expression de la fonction $E$.

\item Calculer E(7), en donnant le résultat à 0.01 près.\\
Comparer avec le résultat de la question 1. (b).
\emph{(On admet que l’élasticité de la demande par rapport au prix $p$ indique le pourcentage de variation de la quantité demandée pour un accroissement de 1\:\% d’un prix $p$.)}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%\no 96 page 151 Odyssée 1\iere ES
Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction toute fonction $f$ définie sur une partie de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans l'intervalle [0~;~100] (donc $f(x)\in[0~;~100]$).

On dit qu'il y a \og saturation \fg{} lorsque la satisfaction est maximale, c'est-à-dire lorsque la fonction $f$prend la valeur $100$.

On définit de plus la fonction \og envie \fg{} $v$ dérivée de la fonction $f$ ; on a donc $v  = f'$.

On dit qu'il y a  \og envie \fg{} lorsque $v$ est positive sinon on dit qu'il y a \og rejet \fg.

\textbf{Chaque partie traite d'un modèle  de fonction \boldmath  $f$ \unboldmath différent. Les deux parties sont  ndépendantes.}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A }}

\medskip

On donne ci-dessous l'allure de la courbe représentative d'une fonction  de satisfaction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~8].
 
\begin{center}
\psset{yunit=0.5mm}
\begin{pspicture}(10,120)
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,120)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(10,120) 
\parabola[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(4,100)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(3,100)(5,100)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle quantité $x$ de produit y a-t-il saturation ?
		
		\item Sur quel(s) intervalle(s) y a-t-il envie ? Y a-t-il rejet ?
	\end{enumerate}
	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner $v(4)$.
		
		\item Exprimer $v(x)$ en fonction de $x$ sachant que $v$ est une fonction affine définie sur l'intervalle [0 ; 8] vérifiant $v(0) = 50$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

La fonction de satisfaction $f$ pour un salaire dans une entreprise est modélisée, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$ par :

\[v(x) = \dfrac{100x}{x+1}\]  où $x$ désigne le salaire annuel d'un employé en milliers d'euros.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction envie correspondante.

\item 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ pour $x\geqslant 0$.

\item Représenter graphiquement, avec l'aide de la  calculatrice, la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm pour \numprint{1000} euros en abscisses et 1 cm pour 10 en ordonnées.

\item À l'aide d'un tableau de valeurs de la calculatrice, dire si la fonction de satisfaction augmente encore de manière significative au-delà d'un salaire annuel de \numprint{100000} euros.\\
Au-delà de ce salaire, la fonction de satisfaction dépasse-telle la valeur 100 ?

\item Interpréter les résultats obtenus (variations) en termes de satisfaction.
\end{enumerate}
\end{enumerate}






\label{fin}
\end{document}  