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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%https://www.math93.com/images/pdf/1ES/ds_2014_2015-1es/1ES_DS_Pourcentages.pdf

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du cours du pétrole brut d’un mois sur le mois précédent (au dernier jour du mois).
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
mois&mai&juin&juillet&août\\
\hline
Taux en \:\%&12,5&7,6&0,6&-15,1\\
\hline
CM&&&&\\
\hline
Indice&100&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item Compléter la ligne des coefficients multiplicateurs dans le tableau.

\item Fin avril, le cours du brut était de 109,5 dollars le baril. Quel était, arrondi au dixième, le cours du brut fin mai ?

\item On considère l’indice base 100 en mai. Calculer sur cette base l’indice du cours du pétrole fin juin, juillet puis fin
août.

\item Quel est le taux d’évolution du cours du pétrole de mai à août 2008 ? Quel est le cours du pétrole fin août ?

\item Quel devrait-être le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre 2008 pour que l’indice à la fin du
mois reprenne la valeur 100 ? Donner alors le cours du pétrole en septembre 2008.

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item  Une quantité augmente de 10\:\%, puis de 20 \:\% puis de 30 \:\%. Montrer que le taux d’évolution global est de 71, 6\:\%.

\item Après une baisse de 15 \:\%, suivie d’une baisse de t\:\%, on obtient une baisse globale de 30\:\%. Calculer $t$.

\item Un prix augmente deux fois de suite de z\:\%. À la suite de ces deux augmentations, ce prix a augmenté de 14, 49\:\%.
Calculer $z$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Un conseil régional a pour objectif de faire croître le parc locatif réservé aux étudiants de la région de \numprint{15000} chambres à \numprint{20184} chambres.

\begin{enumerate}
\item Quel sera le taux de croissance du parc locatif sur la période envisagée ?

\item Le conseil régional souhaite atteindre cet objectif en deux ans. Quel devra être le pourcentage annuel d’accroisse-
    ment du parc locatif ?

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre l'inéquation $\dfrac{-2x^2+4x-5}{-4x+3}\geqslant 0$. (on commencera par trouver l'ensemble de définition)


\columnbreak

\subsection{}\label{exo1courbe}
On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = -x^2 + x + 2\].

\begin{enumerate}
\item Déterminer les racines de $f$ sur $\mathbb{R}$.

\item En déduire l’expression factorisée de $f$ si cela est possible.

\item Dresser le tableau de signe de $f (x)$.

\item Résoudre l’inéquation $f(x) > 0$.

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en faisant apparaitre les racines éventuelles dans le tableau.

\item Construire $\mathscr{C}_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de l’annexe (au dos de la feuille) (on fera apparaitre clairement le sommet et les racines).

\item Résoudre l’équation $x^2 + 2x - 3 = 0$


\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 + 2x - 3$
puis construire sur le même graphique de l’annexe, $\mathscr{C}_g$ , la courbe représentative de la fonction $g$ (on fera apparaitre clairement le sommet et les racines).

\item Résoudre graphiquement, puis par le calcul l’inéquation : $f(x) \geqslant  g(x)$

\end{enumerate}

\subsection{}%https://www.math93.com/images/pdf/1ES/ds_2014_2015-1es/1ES_DS2_2014_2015_Second_degre.pdf
Une entreprise fabrique chaque jour $x$ objets avec $x \in [0~;~60]$.\\
Le coût total de production de ces objets, exprimé en euros, est donné par $f(x) = x^2 - 20x + 200$.\label{exo2courbe}

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0~;~60]$ et dresser le tableau de variation en faisant figurer $f(0)$ et $f(60)$.

\item Chaque objet fabriqué est vendu au prix unitaire de 34 euros. Calculer, en fonction de x, la recette $R(x)$.

\item Justifier que le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ objets est donné , pour $x \in [0~;~60]$, par
$g(x)=-x^2 +54x-200$.

\item Étudier les variations de $g$ sur l’intervalle $[0~;~60]$ et dresser le tableau de variation en faisant figurer $g(0)$ et
$g(60)$.

\item En déduire la quantité à produire permettant à l’entreprise de réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice
maximal ?

\item Résoudre l’inéquation $g(x) \geqslant  0$.\\
Déduire de la question précédente les quantités que l’entreprise doit produire et vendre pour que la production soit rentable.

\item Sur le deuxième graphique de l’annexe (au dos de la feuille), on a tracé $\mathscr{C}_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$.\\
Construire $\mathscr{C}_R$ , la courbe représentative de la fonction recette $R$ et expliquer comment graphiquement retrouver le résultat de la question précédente.

\item Retrouver graphiquement le bénéfice maximal. Expliquez votre raisonnement et visualiser ce bénéfice maximal sur le graphique à l’aide de couleur.

\item Construire $\mathscr{C}_g$, la courbe représentative de la fonction $g$.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{ANNEXES}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
Annexe à l'exercice \ref{exo1courbe}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.,-6.)(6.,6.)
\multips(0,-6)(0,1.0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-6.,0)(6.,0)}
\multips(-6,0)(1.0,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.)(0,6.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.,-6.)(6.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](-6.,-6.)(6.,6.)
%\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-6.0}{6.0}{-x^(2.0)+x+2.0}
%\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-6.0}{6.0}{x^(2.0)+2.0*x-3.0}
\end{pspicture*}

\end{center}

\begin{center}
Annexe à l'exercice \ref{exo2courbe}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0045cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-100.)(65.,2650.)
\multips(0,-50)(0,200.0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-5.,0)(65.,0)}
\multips(-5,0)(5.0,0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-50.)(0,2000.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5.,Dy=50.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0.,0.)(65.,2600.)
\psplot{0}{60}{x^2-20*x+200}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,2600)}
\multido{\n=0+50}{52}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(60,\n)}
\uput[d](30,500){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  