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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : feuille d'exercices de révision (1)}}\end{center}




\subsection{}
%Développer les expressions suivantes :
Développements : on utilise la double distributivité : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ en respectant la règle des signes.

\begin{enumerate}[$A(x)=~$]
\item $(3x+1)(5x+7)=3x\times 5x+3x\times 7+1\times 5x+1\times 7=15x^2+21x+5x+7=\boxed{\textcolor{red}{15x^2+26x+7}}$.

\item $(3x-5)(2x+7)=3x\times 2x+7\times 3x-5\times 2x-5\times 7=6x^2-21x-10x-35=\boxed{\textcolor{red}{6x^2-31x-35}}$

\item $(8x-1)(2x-3)=8x\times 2x-8x\times 3-1\times 2x+1\times 3=16x^2-24x-2x+3=\boxed{\textcolor{red}{16x^2-26x+3}}$

\item $2(5x+2)(3x-1)=2\left[5x\times 3x-5x\times 1+2\times 3x-1\times 2\right]=2\left[15x^2-5x+6x-2\right]=2\left[15x^2+x-2\right]=\boxed{\textcolor{red}{30x^2+2x-4}}$

\item $8(3x-1)(7x-2)=8\left[3x\times 7x-2\times 3x-1\times 7x+1\times 2\right]=8\left[21x^2-6x-7x+2\right]=8\left[21x^2-13x+2\right]=\boxed{\textcolor{red}{168x^2-104x+16}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Trouver rapidement les racines des expressions suivantes :\\
On utilise la propriété : \og{}un produit d facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul\fg{}

\begin{enumerate}[$A(x)=~$]
\item $(x-7)(3x-2)$ ; les racines sont 7 et $\dfrac{2}{3}$ (qui annulent respectivement $x-7$ et $3x-2$)

\item $7(x+2)(x-2)$ ; les racines sont -2 et 2

\item $9(7x-1)(2x+3)$; les racines sont $\dfrac{1}{7}$ et $-\dfrac{3}{2}$

\item $(7x-3)^2$ ; il n'y a qu'une racine car $(7x-3)^2=(7x-3)(7x-3)$ donc on trouverait deux fois la même racine
\end{enumerate}

\subsection{}
Si une expression du second degré a deux racines, le discriminant $\Delta$ est strictement positif ; sil n'y a qu'une racine, $\Delta=0$ et s'il n'y a aucune racine, $\Delta<0$.\\

Résoudre rapidement (à l'aide des réponses du II) les inéquations :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item $(x-7)(3x-2)\leqslant 0$.\\
On a trouvé deux racines (donc $\Delta>0$).\\
On en déduit le tableau de signes : \\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{2}{3}&&7&&\pI\\
\hline
A(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[\dfrac{2}{3}~;~7\right]}}$.

\item $7(x+2)(x-2)>0$.\\
Les racines sont -2 et 2 (donc $\Delta>0$).\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&2&&\pi\\
\hline
B(x)&&+&\z&-&\z&+\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-\infty~;~-2\right[ \cup \left]2~;~+\infty\right]}}$

\item $9(7x-1)(2x+3)<0$\\
Ls racines sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{1}{7}$\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{2}{3}&&\dfrac{1}{7}&&\pI\\
\hline
C(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{7}\right[}}$

\item $(7x-3)^2\geqslant 0$\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\mathbb{R}}}$ car le carré d'un nombre est toujours positif.
\end{enumerate}



\end{multicols}



\newpage


\subsection{}
Dans une facture hors-taxes, les deux tiers du montant net des travaux sont facturés avec un taux de TVA de 19,6\:\% et le reste à un taux de 5,5\:\%.\\
Le montant total de la facture TTC est de \numprint{1149}\euro.\\
Calculer le montant total de la TVA.\\
Soit $x$ le montant hors-taxes. Les deux coefficients multiplicateurs correspondant aux deux montants de TVA sont $1;196$ et $1,055$.\\
Le montant TTC est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x\times 1,196+\dfrac{1}{3}x\times 1,055}}$.\\
Ce montant TTC est \numprint{1149}\euro.\\
On en déduit $x\times \left(\dfrac{2}{3}\times 1,196+\dfrac{1}{3}\times 1,055\right)=\numprint{1149}$ d'où : 
$x=\dfrac{\numprint{1149}}{\dfrac{2}{3}\times 1,196+\dfrac{1}{3}\times 1,055}=\dfrac{1149}{1,149}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1000}}}$.\\
Le montant hors-taxes est de \numprint{1000}\euro. Le montant total de la TVA est de $\boxed{\textcolor{red}{149\text{\euro}}}$.

\subsection{}
Quels sont les taux d'évolution correspondant à :
\begin{enumerate}[a)]
\item une hausse de 2\:\% suivie d'une hausse de 15\:\%\\
Le coefficient multiplicateur global est $C=1,02\times 1,15=1,173$ ; le taux d'évolution global est $T=C-1=0,173=\dfrac{17,3}{100}=\boxed{\textcolor{red}{17,3\:\%}}$.

\item une baisse de 40\:\% suivie d'une baisse de 11\:\%\\
Le coefficient multiplicateur global est $C=0,6\times 0,89=0,534$ ; le taux d'évolution global est $T=C-1=-0,466=\dfrac{46,6}{100}=\boxed{\textcolor{red}{-46,6\:\%}}$.


\item une hausse de 5\:\% suivie d'une baisse de 3\:\%\\
Le coefficient multiplicateur global est $C=1,05\times 0,97=1,0185$ ; le taux d'évolution global est $T=C-1=0,0185=\dfrac{1,85}{100}=\boxed{\textcolor{red}{1,85\:\%}}$.


\item une baisse de 24\:\% suivie d'une baisse de 50\:\%\\
Le coefficient multiplicateur global est $C=0,76\times 0,5=0,38$ ; le taux d'évolution global est $T=C-1=-0,62=\boxed{\textcolor{red}{-62\:\%}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Une baisse de 20\:\% suivie d'une hausse de $t\:\%$ correspondent à une baisse globale de 12\:\%.\\
Calculer $t$.\\
On utilise les coefficients multiplicateurs :\\
$0.8\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)=0,88$ donc $1+\dfrac{t}{100}=\dfrac{0,88}{0,8}=1,1$.\\
D'où : $\dfrac{t}{100}=1,1-1=0,1$ donc $t=0,1\times 100=10$. $\boxed{\textcolor{red}{t=10}}$.

\subsection{}
Le nombre de demandeurs d'emploi a augmenté de 2\:\% au mois de décembre. Calculer le taux d'évolution en pourcentage qu'il faudrait appliquer pour que le nombre de demandeurs d'emploi  revienne à sa valeur initiale (à 0,01\:\% près).\\
Il s'agit du taux réciproque : $t'=\dfrac{1}{1+T}-1=\dfrac{1}{1,02}-1\approx -0,0196\approx \boxed{\textcolor{red}{-1,96\:\%}}$.


\newpage


\subsection{}
Résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{-x^2+2x+3}\geqslant 1$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Valeurs interdites : on résout $-x^2+2x+3=0$.\\
$\Delta=3^2-4\times (-1)\times 3=4+12=16>0$.\\
Il y a deux racines qui sont $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{-2}=\dfrac{-2+4}{-2}=-1$ et $x_2=\dfrac{-2-4}{-2}=3$.

\item L'ensemble de définition est donc $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1~;~3\right\}$.

\item On suppose que $x\in\mathscr{D}$.\\
L'inéquation s'écrit : $\dfrac{1}{-x^2+2x+3}\geqslant 1\Leftrightarrow \dfrac{1}{-x^2+2x+3}-1\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{1-\left(-x^2+2x+3\right)}{-x^2+2x+3}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{1+x^2-2x-3}{-x^2+2x+3}\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-2x-2}{-x^2+2x+3}\geqslant 0$.

\item On étudie le signe du numérateur :\\
$\Delta=(-2)^2-4\times 1\times (-2)=4+8=12>0$ donc il y a deux racines :\\
$x_3=\dfrac{2-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$ et $x_4=1+\sqrt{3}$.

\item On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1-\sqrt{3}&&1+\sqrt{3}&&3&&\pI\\
\hline
\text{signe de }x^2-2x-2&&+&\bb&+&\z&-&\z&+&\bb&+\\
\hline
\text{signe de }-x^2+2x+3&&-&\bb&-&\l&+&\l&+&\bb&-&\\
\hline
\text{signe de }\dfrac{1-x^2-2x-3}{-x^2+2x+3}&&-&\bb&+&\z&-&\z&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-1~;~1-\sqrt{3}\right] \cup \left[1+\sqrt{3~;~3}\right[}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^2-4x+3.\]
\begin{enumerate}
\item %Trouver la forme canonique de $f(x)$.
$x^2-4x+3=ax^2+bx+c$ avc $\begin{cases}a=1\\b=-4\\c=3\end{cases}$.\\
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$ et $\beta=f(2)=-1$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-2)^2-1}}$.

\item %Trouver la forme factorisée de $f(x)$.
On a $f(x)=(x-2)^2-1=(x-2)^2-1^2=(x-2-1)(x-2+1)=(x-3)(x-1)$ (en utilisant la troisième identité remarquable)\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-1)(x-3)}}$.

\item Sans faire de calcul, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item %$f$ admet-elle un maximum ou un minimum sur $\mathbb{R}$ ?
Pour tout $x$, $f(x)=(x-2)^2-1\geqslant -1$ : $f$ admet un \textbf{\textcolor{red}{minimum}}.

\item %Pour quelle valeur est-il atteint ?
Il est atteint pour $\boxed{\textcolor{red}{x=2}}$.

\item %Quelle est sa valeur ?
Ce minimum est -1.

\item %Quel est le signe de son discriminant ?
Puisque $f(x)$ admet deux racines, on a $\boxed{\textcolor{red}{\Delta>0}}$

\item %Quelle sont les solutions de l'équation $f(x)=0$ ?
Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont 1 et 3, en utilisant la forme factorisée.
\end{enumerate}

\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  