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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES : correction du contrôle sur la dérivation}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Pour une fonction $f$, on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\
%Pour chacune des fonctions suivantes, donner une expression de $f'(x)$ 

\begin{enumerate}
\item $f(x)=4x^3+5x^2-7x+5$ sur $\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=4\times 3x^2+5\times 2x-7=12x^2+10x-7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=12x^2+10x-7}}$
\medskip

\item $f(x)=\dfrac{2x+3}{5x-1}$ sur $\left]\dfrac{1}{5}~;~+\infty\right[$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x+3\\v(x)=5x-1\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=2\\v'(x)=5\end{cases}$.\\
Alors $f'(x)=\dfrac{2(5x-1)-5(2x+3)}{(5x-1)^2}=\dfrac{10x-2-10x-15}{(5x-1)^2}\\
=-\dfrac{17}{(5x-1)^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{17}{(5x-1)^2}}}$

\medskip

\item $f(x)=(3x+5)\sqrt{x}$ sur $]0~;~+\infty[$. %Simplifier l'expression trouvée au maximum.\\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=3x+5\\v(x)=\sqrt{x}\end{cases}$.\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=3\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{cases}$.\\
Alors $f'(x)=3\sqrt{x}+(3x+5)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
=3\sqrt{x}+\dfrac{3x+5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+3x+5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+3x+5}{2\sqrt{x}}\\=\dfrac{9x+5}{2\sqrt{x}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{9x+5}{2\sqrt{x}}}}$
\end{enumerate}





\subsection{}%http://yallouz.arie.free.fr

%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\mathbb{R}$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 
%
%On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.
% 
%La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnées $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,griddots=10](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{<->}(-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{<->}(-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{<->}(2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[dotstyle=x,linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=2](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %À partir du graphique et des données de l'énoncé :
\begin{enumerate}
	\item %Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f'(x)=0$.
	La courbe admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, en A et en C, donc l'équation $f'(x)=0$ admet deux solutions.
	
	\item %Déterminer $f'(1)$.
	$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1 (point B). Cette tangente passe par $B(1~;~0)$ et le point de coordonnées (3~;~-3). Alors : $f'(1)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\
	=\dfrac{-3}{2}=-\dfrac{3}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=-\dfrac{3}{2}}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Rappeler la formule donnant l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point de coordonnées $(a~;~f(a))$.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point de coordonnées $(a~;~f(a))$ a pour équation \[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]

\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour équation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$.\\

%En déduire les valeurs de $f'(5)$ puis $f(5)$.
$\boxed{\textcolor{red}{f'(5)=\dfrac{7}{8}}}$ (coefficient directeur de la tangente).\\
$D$ appartient à la courbe et à la tangente donc ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente.\\
$y_D=5\times \dfrac{7}{8}\times -\dfrac{145}{24}=\dfrac{35}{8}-\dfrac{145}{24}=\dfrac{105-145}{24}\\
=-\dfrac{40}{24}=-\dfrac{5}{3}$. donc $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=-\dfrac{5}{3}}}$

\end{enumerate}

\item %La proposition  \og $f'(0)> 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
Au voisinage de 0, la fonction $f$ est décroisante sont $f'(0)<0$ donc l'affirmation. $f'(0)>1$ est fausse.

\item  %Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminons laquelle.
	
	\medskip
%	
%	\psset{unit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\def\pshlabel#1{\tiny #1}
%\def\psvlabel#1{\tiny #1}
%\def\f{(x+2)*(51*x^2+79*x-1362)/2464}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
%\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{6.332}{\f}
%\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
%\end{pspicture}
%\hfill
%\psset{unit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-4,-5)(6,4) 
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\def\pshlabel#1{\tiny #1}
%\def\psvlabel#1{\tiny #1}
%\def\f{(x+2)*(400*x-1449)/1049}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4) 
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,4) 
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
%\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.477}{5.1}{\f}
%\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
%\end{pspicture}
%\hfill
%\psset{unit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\def\pshlabel#1{\tiny #1}
%\def\psvlabel#1{\tiny #1}
%\def\f{(x+2)*(5*x^3-20*x^2+745*x-2674)/(3*(x^2-x+36)^2)}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
%\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
%\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{7}{\f}
%\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
%\end{pspicture}
%\end{enumerate}	
$f$ est croissante sur $]-\infty~;~-2]$, décroissante sur [-2~;~3,5] puis de nouveau croissante, donc $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant -2$, $f'(x)\geqslant 0$ sur [-2~;~3,5] puis $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant 3,5$.\\
La courbe $\mathscr{C}_1$ ne convient pas puisque la fonction correspondante est d'abord négative.\\
$f'(1)=-\dfrac{3}{2}$ donc $\mathscr{C}_2$ ne convient pas ; c'est la courbe $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{C}_3}}$ qui est la courbe représentative  de $f$.
\end{enumerate}

\subsection{}

Une entreprise fabrique chaque jour des bandes dessinées pour les enfants.\\
Ses moyens de production lui permettent d'en produire une quantité $x$ comprise entre 0 et 120 unités par jour.\\
On a représenté en annexe la fonction coût total $C$ et la fonction recette $R$, ces deux fonctions étant en euros. 

\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Étude graphique}}
 \begin{enumerate}
  \item à l'aide du graphique, compléter le tableau ci-dessous. 
\small
  \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{yellow!50}$x$   &0&20&40&60&100&120 \\
\hline
    $\cellcolor{cyan!40}R(x)$&0&200&400&600&1000&1200 \\
\hline
    $\cellcolor{cyan!40}C(x)$&100&200&340&520&\numprint{1000}&\numprint{1300}\\
\hline
    \cellcolor{cyan!40}Bénéfice&-100&0&60&80&0&-100 \\
\hline
\end{tabularx}
  \end{center}
\normalsize

  \item %Déterminer, graphiquement, l'ensemble des productions permettant d'obtenir un bénéfice positif.\\
  Graphiquement, on trouve que le bénéfice est positif pour $\boxed{\textcolor{red}{20\leqslant x\leqslant 100}}$.

  \item %En expliquant votre manière de procéder, déterminer graphiquement pour quelle production le bénéfice semble maximal.
  Pour une valeur de $x$ donnée, on regarde la longueur du segment compris entre les points d'ordonnée $R(x)$ et $C(x)$.\\
  Ce bénéfice semble maximum pour $x\approx 60$ (voir graphique)
   \end{enumerate}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Étude théorique}}\\

 Les graphiques de la figure ont été obtenus à l'aide des modélisations du coût et de la recette suivantes :
 \[C(x)=0,05x^2+4x+100 \quad \text{et} \quad R(x)=10x\]
 où $C$ et $R$ sont le coût total et la recette totale exprimés en euros et $x$ est la production journalière comprise entre 0 et 120 unités.
 \begin{enumerate}
  \item %Vérifier que le bénéfice $B$ est donné, exprimé en euros, par $B(x)=-0,05x^2+6x-100$ où $x$ est compris entre 0 et 120 unités.
  Pour tout $x\in[0~;~120]$, $B(x)=R(x)-C(x)\\
  =10x-\left(0,05x^2+4x+100\right)=\boxed{\textcolor{red}{-0,05x^2+6x-100}}$
  
  \item %Étudier le signe de $B(x)$ selon les valeurs de $x$ pour $x$ compris entre 0 et 120 unités.\\ Retrouve-t-on les résultats de la partie A ?
$B(x)$ est un polynôme du second degré.  On calcule le discriminant.\\
$\Delta=16>0$ ; il y a deux racines.\\
$x_1=\dfrac{-6+\sqrt{16}}{-0,1}=\dfrac{-2}{-0,1}=\boxed{\textcolor{red}{20}}$ \\
et $x_2=\dfrac{-6-\sqrt{16}}{-0,1}=\dfrac{-10}{-0,1}=\boxed{\textcolor{red}{100}}$.\\
Le bénéfice est positif (du signe opposé à celui du coefficient de $x^2$) entre les racines, donc \\
pour $\boxed{\textcolor{red}{x\in[20~;~100]}}$, résultats que nous avions trouvés graphiquement.

\item %Calculer $B'(x)$, la fonction dérivée de $B$, étudier son signe puis dresser le tableau des variations de la fonction $B$ en y indiquant les valeurs extrêmes.\\ Retrouve-t-on les résultats de la partie A ? 
$B'(x)=-0,1x+6=\boxed{\textcolor{red}{-0,1(x-60)}}$.\\
$B'(x)=0$ pour $x=60$ et $B'(x)\leqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant 60$.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Tableau de variation de $\mathbf{B}$ :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&60&&120\\
\hline
B'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
B(x)&-100&\c&\h{80}&\d&-100\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le bénéfice est bien \textbf{\textcolor{red}{maximum}} pour $\boxed{\textcolor{red}{x=60}}$
\end{enumerate}



\end{multicols} 
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0075cm}
\def\xmin{-10} \def\xmax{125} \def\ymin{-99} \def\ymax{1350}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.375cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.7pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=black, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(26,28)
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0075cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[ul](\xmax,0){$x$}
\uput[ur](0,\ymax){$y$}

\psplot[algebraic=true,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{120}{0.05*x^2+4*x+100}
\uput[ul](110,1150){$y=C(x)$}
\psplot[algebraic=true,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{120}{10*x}
\uput[dr](110,1100){$y=R(x)$}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(40,340)(40,400)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(60,520)(60,600)

\end{pspicture*}

\end{center}



\label{fin}
\end{document}  