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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES1 : contrôle sur le second degré\\(sujet A)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Résoudre les équations suivantes :
Soient les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $2 x^{2}-7 x-15=0$

$\Delta=(-7)^2-4\times 2\times (-15)=169>0$ ; l'équation a deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{7-\sqrt{169}}{4}=\dfrac{7-13}{4}=-\dfrac{3}{2}$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{169}}{4}=5$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}~;~5\right\}}}$

\item $4x^{2}-28 x+49=0$.

On peut aussi calculer $\Delta=0$ ; il n'y a alors qu'une solution : $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{28}{8}=\dfrac{7}{2}$

On remarque que $4x^{2}-28 x+49\\
=(2x)^2-2\times 2x\times 7+7^2=(2x-7)^2$.

L'équation s'écrit : $(2x-7)^2$ donc $x=\dfrac{7}{2}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{7}{2}\right\}}}$

\item $16 x^{2}+16 x+5=0$

$\Delta=16^2-4\times 16\times 5=256-320=-64<0$ ; L'équation n'a pas de solution.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\item $(2x+3)(x-3)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}~;~3\right\}}}$

\item $(2x+3)(x-5)=2x+3$

$(2x+3)(x-5)=2x+3\Leftrightarrow (2x+3)(x-5)-(2x+3)=0\Leftrightarrow (2x+3)[(x-5)-1]=0\Leftrightarrow (2x+3)(x-6)=0$.

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}~;~6\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par\[ f(x)=3x^2+2x-11\text{ et }g(x)=x+3.\]
On note $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ leurs courbes représentatives.

\noindent $\mathscr{C}$ est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-12.)(5.,8.)
\multips(0,-12)(0,2.0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-5.,0)(5.,0)}
\multips(-5,0)(2.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-12.)(0,8.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-12.)(5.,8.)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,linewidth=0.7pt](0,0)(-5.,-12.)(5.,8.)
\uput[ul](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{3.0*x^(2.0)+2.0*x-11.0}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{x+3.0}
\uput[r](2,5){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item Représentons sur ce graphique la droite $\mathscr{D}$.

\item %Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
Graphiquement, les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ int environ -2,3 et 2.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
$f(x)=g(x)\Leftrightarrow 3x^2+2x-11=x+3\Leftrightarrow 3x^2+x-14=0$.

$\Delta=1^2-4\times 3\times (-14)=1+168=169>0$.

Il y a bien deux solutions :

$x_1=\dfrac{-1-\sqrt{169}}{6}=\dfrac{-1-13}{6}=-\dfrac{14}{6}=-\dfrac{7}{3}$.

$x_2=\dfrac{-1+13}{6}=\dfrac{12}{6}=2$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{7}{3}~;~2\right\}}}$

\item %Interpréter graphiquement ces solutions.
Ces deux nombres sont les abscisses exactes des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-7.)(4.,4.)
\multips(0,-7)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.,0)(4.,0)}
\multips(-2,0)(1.0,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-7.)(0,4.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-7.)(4.,4.)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,linewidth=0.7pt](0,0)(-2.,-7.)(4.,4.)
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-2.0}{4.0}{-x^(2.0)+2.0*x+2.0}
\uput[ul](-1,-1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}

\end{center}
On a représenté sur l'intervalle [-2~;~3] la parabole représentative d'un trinôme $f$ du second degré.

\begin{enumerate}
\item On donne trois expressions en fonction de   $x$  possibles pour $f$. Déterminer laquelle est la bonne en justifiant soigneusement :



%\begin{enumerate}
%\item $-2x^2 + 2 x+1$
%
%\item $-x^2 + 2 x + 2 $
%
%\item $2 x^2 - 2 x + 3$
%
%\end{enumerate}
La parabole est trouvée vers le bas donc le coefficient de $x^2$ est négatif, ce qui élimine l'expression c). La parabole passe par le point de coordonnées (0~;~2). On a donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-x^2+2x+2}}$ (expression b).

\item On rappelle que la forme canonique de \\
$u(x)=ax^2+bx+c$ est $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}\alpha=-\dfrac{b}{2a}\\\beta=u(\alpha)\end{cases}$.

%Montrer que la forme canonique de $f$ est donnée par    $-(x–1)^2+3$.
$f(x)=x^2+bx+c$ avec $a=-1$, $b=2$ et $c=2$.\\
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$ et $\beta=f(\alpha)=f(1)3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-(x-1)^2+3}}$

\item %Déterminer la forme factorisée de $f$.
Factorisons $f(x)$ :

$f(x)=-(x-1)^2+3=3-(x-1)^2=\sqrt{3}^2-(x-1)^2=\left[\sqrt{3-(x-1)}\right]\left[\sqrt{3+(x-1)}\right]\\
=\boxed{\textcolor{red}{\left(1+\sqrt{3}-x\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)}}$.

\item Résoudre algébriquement les équations suivantes en utilisant la forme la plus adaptée : 

\begin{enumerate}
\item $f(x)=0\Leftrightarrow \left(1+\sqrt{3}-x\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)=0$\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\left\{1-\sqrt{3}~;~1+\sqrt{3}\right)}}$

\item $f(x)=3\Leftrightarrow -(x–1)^2+3=3\Leftrightarrow -(x-1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}={1}}}$.

\item $f(x)=2\Leftrightarrow -x^2+2x+2=2\Leftrightarrow -x^2+2x=0\Leftrightarrow x(-x+2)=0$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~2\}}}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice facultatif}}
La somme d’un nombre et de son inverse est 5,2. Quel est ce nombre ?

Appelons $x$ ce nombre ; on doit avoir $x+\dfrac{1}{x}=5,2$ donc $\dfrac{x^2+1}{x}=5,2$ donc $x^2+1=5,2x$ qui donne $x^2-5,2x+1=0$.

$\Delta=5,2^2-4=23,04>0$ : il y a deux solutions.

$x_1=\dfrac{5,2-\sqrt{23,04}}{2}=\dfrac{5,2-4,8}{2}=0,2=\dfrac{1}{5}$\\
$x_2=\dfrac{5,2+\sqrt{23,04}}{2}=\dfrac{5,2+4,8}{2}=5$.

Les deux nombres possibles sont $\dfrac{1}{5}$ et 5 (les deux nombres sont inverses l'un de l'autre).

\end{multicols}


%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\newpage


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES1 : contrôle sur le second degré\\(sujet B)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $ 3x^{2}-10 x-8=0$

$\Delta=(-10)^2-4\times 3\times (-8)=100+96=196>0$.

Il y a deux solutions : \\
$x_1=\dfrac{10-\sqrt{196}}{6}=\dfrac{10-14}{6}=-\dfrac{2}{3}$ \\
$x_2=\dfrac{10+\sqrt{196}}{6}=\dfrac{10+14}{6}=4$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}~;~4\right\}}}$

\item $4 x^{2}-20 x+25=0$.

$4 x^{2}-20 x+25=(2x)^2-2\times 2x\times 5+5^2=(2x-5)^2$ (identité remarquable).

L'équation s'écrit : $(2x-5)^2=0$ donc a pour solution $x=\dfrac{5}{2}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}$.

Sinon : $\Delta=0$ : l'équation a alors pour solution \\
$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-20}{8}=\dfrac{5}{2}$

\item $36 x^{2}+24 x+7=0$.

$\Delta=24^2-4\times 36\times 7=-432<0$ donc l'équation n'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$

\item $(3x+2)(x-7)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}~;~7\right\}}}$


\item $(3x+2)(x-7)=3x+2\Leftrightarrow (3x+2)(x-7)-(3x+2)=0\Leftrightarrow (3x+2)[(x-7)-1]=0\Leftrightarrow (3x+2)(x-8)=0$.

Alors :$\boxed{\textcolor{red}{ \mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}~;~8\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par\[ f(x)=3x^2+3x-11\text{ et }g(x)=2x-9.\]
On note $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ leurs courbes représentatives.

$\mathscr{C}$ est représentée ci-dessous.

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-14.)(6.,6.)
\multips(0,-12)(0,2.0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-5.,0)(5.,0)}
\multips(-5,0)(2.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-12.)(0,8.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-14.)(6.,8.)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,linewidth=0.7pt](0,0)(-5.,-14.)(5.,6.)
\uput[ul](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{3.0*x^(2.0)+3.0*x-11.0}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{2*x-9}
\uput[r](2,5){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\begin{enumerate}
\item Représenter sur ce graphique la droite $\mathscr{D}$.

\item %Lire graphiquement les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
Graphiquement, les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ sont environ -1 et 0,6.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
$f(x)=g(x)\Leftrightarrow 3x^2+3x-11=2x-9\Leftrightarrow 3x^2+x-2=0$.

$\Delta=1^2-4\times 3\times (-2)=25>0$.

Il y a deux solutions : $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{6}=-1$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

\item %Interpréter graphiquement ces solutions.
Ces deux solutions sont les abscisses exactes des points points d'intersection des courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-7.)(4.,4.)
\multips(0,-7)(0,1.0){12}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.,0)(4.,0)}
\multips(-2,0)(1.0,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-7.)(0,4.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-7.)(4.,4.)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,linewidth=0.7pt](0,0)(-2.,-7.)(4.,4.)
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-2.0}{4.0}{-x^(2.0)+2.0*x+2.0}
\uput[ul](-1,-1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}

\end{center}
On a représenté sur l'intervalle [-2~;~3] la parabole représentative d'un trinôme $f$ du second degré.

\begin{enumerate}
\item On donne trois expressions en fonction de   $x$  possibles pour $f$. Déterminer laquelle est la bonne en justifiant soigneusement :



%\begin{enumerate}
%\item $-2x^2 + 2 x+1$
%
%\item $-x^2 + 2 x + 2 $
%
%\item $2 x^2 - 2 x + 3$
%
%\end{enumerate}
La parabole est trouvée vers le bas donc le coefficient de $x^2$ est négatif, ce qui élimine l'expression c). La parabole passe par le point de coordonnées (0~;~2). On a donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-x^2+2x+2}}$ (expression b).

\item On rappelle que la forme canonique de \\
$u(x)=ax^2+bx+c$ est $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}\alpha=-\dfrac{b}{2a}\\\beta=u(\alpha)\end{cases}$.

%Montrer que la forme canonique de $f$ est donnée par    $-(x–1)^2+3$.
$f(x)=x^2+bx+c$ avec $a=-1$, $b=2$ et $c=2$.\\
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=1$ et $\beta=f(\alpha)=f(1)3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-(x-1)^2+3}}$

\item %Déterminer la forme factorisée de $f$.
Factorisons $f(x)$ :

$f(x)=-(x-1)^2+3=3-(x-1)^2=\sqrt{3}^2-(x-1)^2=\left[\sqrt{3-(x-1)}\right]\left[\sqrt{3+(x-1)}\right]\\
=\boxed{\textcolor{red}{\left(1+\sqrt{3}-x\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)}}$.

\item Résoudre algébriquement les équations suivantes en utilisant la forme la plus adaptée : 

\begin{enumerate}
\item $f(x)=0\Leftrightarrow \left(1+\sqrt{3}-x\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)=0$\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\left\{1-\sqrt{3}~;~1+\sqrt{3}\right)}}$

\item $f(x)=3\Leftrightarrow -(x–1)^2+3=3\Leftrightarrow -(x-1)^2=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}={1}}}$.

\item $f(x)=2\Leftrightarrow -x^2+2x+2=2\Leftrightarrow -x^2+2x=0\Leftrightarrow x(-x+2)=0$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~2\}}}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice facultatif}}
La somme d’un nombre et de son inverse est 5,2. Quel est ce nombre ?

Appelons $x$ ce nombre ; on doit avoir $x+\dfrac{1}{x}=5,2$ donc $\dfrac{x^2+1}{x}=5,2$ donc $x^2+1=5,2x$ qui donne $x^2-5,2x+1=0$.

$\Delta=5,2^2-4=23,04>0$ : il y a deux solutions.

$x_1=\dfrac{5,2-\sqrt{23,04}}{2}=\dfrac{5,2-4,8}{2}=0,2=\dfrac{1}{5}$\\
$x_2=\dfrac{5,2+\sqrt{23,04}}{2}=\dfrac{5,2+4,8}{2}=5$.

Les deux nombres possibles sont $\dfrac{1}{5}$ et 5 (les deux nombres sont inverses l'un de l'autre).
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  