\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}




\subsection{}%https://www.math93.com/images/pdf/1ES/ds_2014_2015-1es/1ES_DS_Pourcentages.pdf

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du cours du pétrole brut d’un mois sur le mois précédent (au dernier jour du mois).
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
mois&avril&mai&juin&juillet&août&septembre\\
\hline
Taux en \:\%&&12,5&7,6&0,6&-15,1&\\
\hline
CM&&1,125&1,076&1,006&0,849&1,08813\\
\hline
Indice&&100&107,6&108,2456&91,9005&100\\
\hline
Cours&109,50 \$&123,19 \$&&&113,21 \$&123,19 \$\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Compléter la ligne des coefficients multiplicateurs dans le tableau.
La ligne des coefficients multiplicateurs est dans le tableau. On rappelle que $C=1+t$ si $t$ est le taux d'évolution.

\item Fin avril, le cours du brut était de 109,5 dollars le baril. Quel était, arrondi au dixième, le cours du brut fin mai ?\\
D'avril à mai, le taux d'évolution, le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution. est 1,125.\\
Le cours du pétrole en mai était donc de $109,50\times 1,125=123,1875\approx \boxed{\textcolor{red}{123,19 \$}}$

\item %On considère l’indice base 100 en mai. Calculer sur cette base l’indice du cours du pétrole fin juin, juillet puis fin
août.
On multiplie chaque indice par le coefficient multiplicateur correspondant.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour juin : $100\times 1,076=107,6$

\item Pour juillet : $107,6\times 1,006=108,2456$

\item Pour août : $108,2456\times 0,849\approx \numprint{91,9005}$
\end{enumerate}

\item %Quel est le taux d’évolution du cours du pétrole de mai à août 2008 ? Quel est le cours du pétrole fin août ?
Le taux d’évolution du cours du pétrole de mai à août 2008 est : $\dfrac{91,9005-100}{100}=\approx -\numprint{8,0095}\:\%$.\\
Le cours du pétrole fin août est donc : $123,19\times \left(1-\dfrac{8,0095}{100}\right)\approx 113,21$

\item %Quel devrait-être le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre 2008 pour que l’indice à la fin du
%mois reprenne la valeur 100 ? Donner alors le cours du pétrole en septembre 2008.
Le coefficient multiplicateur est C=1+t ; on doit avoir $C\times 91,9005=100\approx 1,08813$ donc $C=\dfrac{100}{91,9005}$.\\
On en déduit $t=C-1=\dfrac{100}{91,9005}-1\approx 0,08813=8,813\:\%$.\\
Le cours du pétrole en septembre 2008 est alors $113,21\times 1,08813\approx 123,19 \$$

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item  %Une quantité augmente de 10\:\%, puis de 20 \:\% puis de 30 \:\%. Montrer que le taux d’évolution global est de 71, 6\:\%.
Le coefficient multiplicateur global est $C=1,1\times 1,2\times 1,3=1,716=1+\dfrac{71,6}{100}$.\\`
Le taux d’évolution global est bien  de $\boxed{\textcolor{red}{71, 6\:\%}}.$

\item %Après une baisse de 15 \:\%, suivie d’une baisse de t\:\%, on obtient une baisse globale de 30\:\%. Calculer $t$.
Le coefficient multiplicateur global se calcule de deux façons différentes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $C=1-\dfrac{30}{100}=0,7$.

\item $C=\left(1-\dfrac{15}{100}\right)\times \left(1+t\right)=0,85(1+t)$.
\end{enumerate}
On en déduit : $0,85(1+t)=0,7$ donc $1+t=\dfrac{0,7}{0,85}$ d'où $t=\dfrac{0,7}{0,85}-1\approx -0,1765$.\\
Le taux est $\boxed{\textcolor{red}{t\approx -17,65\:\%}}$.

\item %Un prix augmente deux fois de suite de z\:\%. À la suite de ces deux augmentations, ce prix a augmenté de 14, 49\:\%.
%Calculer $z$.
On a $(1+z)^2=\numprint{1,1449}$ donc $1+z=\sqrt{\numprint{1,1449}}=1,07$ doù $\boxed{\textcolor{red}{t=7\:\%}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Un conseil régional a pour objectif de faire croître le parc locatif réservé aux étudiants de la région de \numprint{15000} chambres à \numprint{20184} chambres.

\begin{enumerate}
\item %Quel sera le taux de croissance du parc locatif sur la période envisagée ?
Soit $T$ le taux de croissance sur la période envisagée ; on a $1+T=\dfrac{\numprint{20184}}{\numprint{15000}}$ donc $T=\dfrac{\numprint{20184}}{\numprint{15000}}-1=0,3456=\boxed{\textcolor{red}{34,56\:\%}}$. Le taux de croissance à atteindre est de 34,56\:\%.

\item %Le conseil régional souhaite atteindre cet objectif en deux ans. Quel devra être le pourcentage annuel d’accroisse    ment du parc locatif ?
Soit $t$ le taux annuel pour avoir une augmentation de 34,56\:\% en deux ans.\\
On doit avoir $(1+t)^2=1,3456$ donc $1+t=\sqrt{1,3456}=1,16$ donc $t=0,16=\dfrac{16}{100}=\boxed{\textcolor{red}{16\:\%}}$.\\
Il faut une augmentation annuelle de 16\:\% pou atteindre les 34,56\:\% d'augmentation en deux ans.

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre l'inéquation $\dfrac{-2x^2+4x-5}{-4x+3}\geqslant 0$. (on commencera par trouver l'ensemble de définition)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Ensemble de définition : on doit avoir $-4x+3\neq 0$.\\
$-4x+3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ ; le valeur $\dfrac{3}{4}$ est interdite. L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{4}\right\}$.

\item On doit ensuite chercher le signe du numérateur et celui du dénominateur puis renseigner un tableau de signes pour obtenir le signe du quotient.

\item Signe de $-2x^2+4x-5$ : $\Delta=4^2-4\times (-2)\times (-5)=-24<0$.\\
$\Delta<0$ donc $-2x^2+4x-5$ est du signe du coefficient de $x^2$ pour tout $x$, soit -2, donc négatif pour tout $x$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{4}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }-2x^2+4x-5&&-&\bb&-&&\\
\hline
-4x+3&&+&\bb&-&\\
\hline
\dfrac{-2x^2+4x-5}{-4x+3}&&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]\dfrac{3}{4}~;~+\infty\right[}}$


\subsection{}\label{exo1courbe}
On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = -x^2 + x + 2\].

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les racines de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Après calcul du discriminant, on trouve deux racines -1 et 2.

\item %En déduire l’expression factorisée de $f$ si cela est possible.
On en déduit $f(x)=-x^2+x-2=\boxed{\textcolor{red}{-(x+1)(x-2)}}$

\item %Dresser le tableau de signe de $f (x)$.
$f(x)$ est un trinôme du second degré avec deux racines ; il est négatif du signe du coefficient de $x^2$, -1, à l'extérieur de l'intervalle formé par mes racines et donc positif entre les racines.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&\pI\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Résoudre l’inéquation $f(x) > 0$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)>0$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}]-1~;~2[}}$.

\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en faisant apparaitre les racines éventuelles dans le tableau.
Le sommet $S$ de la parabole représentative de $f$ est $S(\alpha~;~\beta)$.\\
$\alpha=-\dfrac{1}{2\times (-1)}=\dfrac{1}{2}$ et $\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{4}$.\\
Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc la fonction est d'abord croissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha~;~+\infty[$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{\dfrac{9}{4}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Construire $\mathscr{C}_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de l’annexe (au dos de la feuille) (on fera apparaitre clairement le sommet et les racines).

\item Résoudre l’équation $x^2 + 2x - 3 = 0$\\
$\Delta=16>0$ ; l'équation a deux solutions, -3 et 1. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~1\}}}$.


\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 + 2x - 3$
%puis construire sur le même graphique de l’annexe, $\mathscr{C}_g$ , la courbe représentative de la fonction $g$ (on fera apparaitre clairement le sommet et les racines).
Le sommet $S'$ de la parabole $\mathscr{C}_g$ est $S'(\alpha'~;~\beta')$ avec $\alpha'=-\dfrac{2}{2\times 1}=-1$ et $\beta'=g(\alpha')=g(-1)=-4$. $\boxed{\textcolor{red}{S'(-1~;~-4)}}$.

\item %Résoudre graphiquement, puis par le calcul l’inéquation : $f(x) \geqslant  g(x)$
On cherche les valeurs de $x$ telles que $f(x)\geqslant g(x)$. Ce sont les abscisses des points tels que $\mathscr{C}_f$ soit au-dessus de $\mathscr{C}_f$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Graphiquement}}, on trouve $\mathscr{S}=[-1,8~;~1,3]$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Algébriquement}} : \\
$f(x)\geqslant g(x)\Leftrightarrow -x^2+x+2\geqslant x^2+2x-3\Leftrightarrow -2x^2-x+5\geqslant 0$.\\
$\Delta=41>0$ ; il y a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{1+\sqrt{41}}{-4}=-\dfrac{1+\sqrt{41}}{4}$ et $x_2=-\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}$.\\
$f(x)\geqslant g(x)\Leftrightarrow -2x^2-x+5\geqslant 0$.\\

Cette expression est positive (du signe opposé à celui du coefficient de $x^2$) entre les racines.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-\dfrac{1+\sqrt{41}}{4}~;~-\dfrac{1-\sqrt{41}}{4}\right]}}$

\end{enumerate}

\subsection{}%https://www.math93.com/images/pdf/1ES/ds_2014_2015-1es/1ES_DS2_2014_2015_Second_degre.pdf
Une entreprise fabrique chaque jour $x$ objets avec $x \in [0~;~60]$.\\
Le coût total de production de ces objets, exprimé en euros, est donné par $f(x) = x^2 - 20x + 200$.\label{exo2courbe}

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0~;~60]$ et dresser le tableau de variation en faisant figurer $f(0)$ et $f(60)$.
Le coefficient de $x^2$ est positif ; le sommet a pour abscisse $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=10$ où $a=$, $b=-20$ et $x=200$.\\
$f$ est décroissante sur $[0~;~10]$ et croissante sur $[10~;~60]$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&10&&60\\
\hline
\m{f(x)}&\h{200}&\d&100&\c&\h{\numprint{2600}}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Chaque objet fabriqué est vendu au prix unitaire de 34 euros. Calculer, en fonction de x, la recette $R(x)$.
La recette est $\boxed{\textcolor{red}{R(x)=34x}}$.

\item %Justifier que le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ objets est donné , pour $x \in [0~;~60]$, par
%$g(x)=-x^2 +54x-200$.
Le bénéfice est $g(x)=R(x)-f(x)=34x-\left(x^2-20x+200\right)=-x^2+54x-200$ 

\item %Étudier les variations de $g$ sur l’intervalle $[0~;~60]$ et dresser le tableau de variation en faisant figurer $g(0)$ et $g(60)$.
Le coefficient de $x^2$ est négatif ; le maximum est atteint pour $x=\dfrac{-54}{-2}=27$ ; $g$ est croissante sur [0~;~27] puis décroissante sur [27~;~60] car le sommet a pour abscisse $-\dfrac{54}{2\times (-1)}=27$.

\item %En déduire la quantité à produire permettant à l’entreprise de réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice
%maximal ?
La quantité à produire permettant à l’entreprise de réaliser un bénéfice maximal est $\boxed{\textcolor{red}{x=27}}$ objets.

\item %Résoudre l’inéquation $g(x) \geqslant  0$.\\
%Déduire de la question précédente les quantités que l’entreprise doit produire et vendre pour que la production soit rentable.
$g(x)\geqslant 0\Leftrightarrow -x^2+54x-200\geqslant 0$.\\
$\Delta=54^2-4\times (-1)\times (-200)=\numprint{2116}=\sqrt{46}>0$.\\
Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{-54+46}{-2}=4$ et $x_2=\dfrac{-54-46}{-2}=50$.\\
Puisque le coefficient de $x^2$ est négatif, $g(x)\geqslant 0$ (du signe opposé à celui de ce coefficient) entre les racines, donc pour \\
$x\in[4~;~50]$.

\item Sur le deuxième graphique de l’annexe (au dos de la feuille), on a tracé $\mathscr{C}_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$.\\
%Construire $\mathscr{C}_R$ , la courbe représentative de la fonction recette $R$ et expliquer comment graphiquement retrouver le résultat de la question précédente.\\
On cherche pour quelles valeurs de $x$ on a $R(x)\geqslant f(x)$, donc les abscisses des points pour lesquels la courbe représentative de $R$ est au-dessus de $\mathscr{C}_f$.\\
On trouve que $s$ doit appartenir à $[4~;~50]$.

\item %Retrouver graphiquement le bénéfice maximal. Expliquez votre raisonnement et visualiser ce bénéfice maximal sur le graphique à l’aide de couleur.

Pour différentes valeurs de $x$, on trace le segment entre les points de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $(x~;~R(x))$ et on cherche pour quelle valeur de $x$ ce segment est le plus long.

\item %Construire $\mathscr{C}_g$, la courbe représentative de la fonction $g$.
On construit $\mathscr{C}_g$ en rouge, sur le même graphique.

\end{enumerate}

\newpage



\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{ANNEXES}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
Annexe à l'exercice \ref{exo1courbe}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.,-6.)(6.,6.)
\multips(0,-6)(0,1.0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-6.,0)(6.,0)}
\multips(-6,0)(1.0,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.)(0,6.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.,-6.)(6.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](-6.,-6.)(6.,6.)
\psplot[linewidth=2.pt,plotpoints=200]{-6.0}{6.0}{-x^(2.0)+x+2.0}
\psplot[linewidth=2.pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-6.0}{6.0}{x^(2.0)+2.0*x-3.0}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.5,2.25)(-1,0)(2,0)
\uput[u](0.5,2.25){$S$}
\uput[u](3,-4){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](2,5){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\begin{center}
Annexe à l'exercice \ref{exo2courbe}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0045cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-100.)(65.,2650.)
\multips(0,-50)(0,200.0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-5.,0)(65.,0)}
\multips(-5,0)(5.0,0){15}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-50.)(0,2000.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5.,Dy=50.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0.,0.)(65.,2600.)
\psplot{0}{60}{x^2-20*x+200}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,2600)}
\multido{\n=0+50}{52}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(60,\n)}
\uput[d](30,500){$\mathscr{C}_f$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{60}{34*x}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{<->}(27,389)(27,918)
\psplot[linewidth=1pt]{4}{50}{-x^2+54*x-200}
\uput[r](27,600){Bénéfice maximum}
\uput[u](45,200){$\mathscr{C}_g$, courbe de bénéfice}
\end{pspicture*}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  