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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : correction du contrôle sur les taux d'évolution (1 heure)}}\end{center}


%Exercices hyperbole édition 2015 





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
En 2017, un pain de campagne de 400 g valait 1,65~\euro.
Au cours de l'été 2018, son prix est passé à 1,70~\euro.\\
%Quel a été le taux d'augmentation du prix en un an ?
Si $C$ est le coefficient multiplicateur et $t$ le taux d'augmentation, on a $t=C-1=\dfrac{1,70}{1,65}-1\approx 0,0303=\dfrac{3,03}{100}$ donc le prix a augmenté de $\boxed{\textcolor{red}{3,03\:\%}}$.

\subsection{}
Au moment des soldes d'été, un magasin de vêtements propose une réduction de 40\:\% sur tous les \\
T-shirts.\\
%Quel est le prix soldé d'un T-shirt qui valait 35 \euro{}?
$35\times \left(1-\dfrac{40}{100}\right)=35\times 0,6=21$ ; le prix soldé est de \fbox{\textbf{\textcolor{red}{21 \euro}}}.

\subsection{}
Un pull est vendu au prix de 35 \euro{} TTC.\\
%Quel est son prix hors-taxes, en euros, avant application de la TVA au taux de 20\:\% ? (arrondir au centime)
Soit $x$ le prix H.T. Le taux de TVA est 20\:\%\\
Le coefficient multiplicateur permettait de passer du prix HT au prix TTC est $C=1+\dfrac{20}{100}=1,2$.\\
Alors $1,2x=35$ donc $x=\dfrac{35}{1,2}\approx 29,17$.\\
 \fbox{\textbf{\textcolor{red}{Le prix H.T. est de 29,17 \euro}}}.




\subsection{}
Sur l'étiquette d'un article soldé dans un magasin, on voit marqué \og{}soldé -40\:\%\fg{}, puis en dessous, \og{}deuxième démarque -10\:\%\fg{} et enfin : 29,99 \euro.\\

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux de réduction global du prix de cet article.
Les coefficients multiplicateurs successifs correspondant aux deux baisses sont :\\
$C_1=1-\dfrac{40}{100}=0,6$ et $C_2=1-\dfrac{10}{100}=0,9$.\\
Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=C_1\times C_2=0,6\times 0,9=0,54$.\\
Le taux de réduction global est donc \\
$T=C-1=-0,46=-\dfrac{46}{100}=\boxed{\textcolor{red}{-46\:\%}}$.

\item %En déduire le prix, en euros, de l'article avant les deux démarques.
Si $x$ est le prix de l'article avant les deux démarques, on a :\\
$0,54x=29,99$ donc $x=\dfrac{29,99}{0,54}\approx 55,54$.\\
Le prix avant les deux démarques était de $\boxed{\textcolor{red}{55,54\text{ \euro}}}$
\end{enumerate}




\subsection{}
Le taux de TVA sur les forfaits de téléphones mobiles est passé de 19,6 \:\% à 20\:\%. Le nouveau tarif du forfait d'Anne s'élève à 20,87\euro{} par mois.
\begin{enumerate}
\item %Quel est le coût hors-taxes, arrondi au centime, de son forfait ?
Le coefficient multiplicateur correspondant au taux de 20\:\% est $C=1,2$.\\
Si $x$ est le prix HT, on a $1,2x=20,87$ donc \\
$x=\dfrac{20,87}{1,2}\approx \boxed{\textcolor{red}{17,39}}$.

\item %Quel était le montant du forfait, arrondi au centime, avec l'ancien taux de TVA ?
Le coefficient multiplicateur associé au taux de 19,6\:\% est 1,196.\\
Le montant du forfait était, avec l'ancien taux, de : \\
$\dfrac{20,87}{1,2}\times 1,196=20,87\times \dfrac{1,196}{1,2}\approx \boxed{\textcolor{red}{20,80\text{ \euro}}}$.

\end{enumerate}
%\subsection{}
%Une action en bourse a augmenté d'abord de 4\:\% puis baissé de 4\:\%.
%
%\begin{enumerate}
%\item A-t-elle retrouvé sa valeur initiale ?
%
%\item Quel est son taux d'évolution ?
%\end{enumerate}

\subsection{}
Entre 2009 et 2014, le prix des batteries au lithium, utilisées notamment dans les voitures électriques, a baissé successivement de 12,4\:\% puis de 12,9\:\% et enfin de 14 \:\%.\\
%Calculer le pourcentage global de baisse, arrondi au centime, sur cette période.
Le taux global est $T=C_1C_2C_3-1\\
=\left(1-\dfrac{12,4}{100}\right)\left(1-\dfrac{12,9}{100}\right)\left(1-\dfrac{14}{100}\right)-1\approx -0,344$, donc une baisse de $\boxed{\textcolor{red}{34,4\:\%}}$.

%\subsection{}
%La fréquentation d'une salle de cinéma a baissé de 20\:\% puis de $t\:\%$. Au total, elle a baissé de 32\:\%.\\
%Calculer la valeur de $t$.

\subsection{}
Une voiture valait \numprint{15000} \euro. Après une augmentation de 2t\:\% suivie d'une diminution de $t\:\%$, elle vaut \numprint{15423} \euro.\\
%Écrire une équation du second degré vérifiée par $t$, puis la résoudre.\\
%Conclure, sachant que $t<10$.
Calculons le coefficient multiplcateur global $C$ de deux façons.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $C=\dfrac{15423}{15000}=1,0282$

\item $C=C_1C_2=\left(1+\dfrac{2t}{100}\right)\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$.
\end{enumerate}
On en déduit : $\left(1+\dfrac{2t}{100}\right)\left(1-\dfrac{t}{100}\right)=1,0282\\
\Leftrightarrow 1-\dfrac{t}{100}+\dfrac{2t}{100}-\dfrac{2t^2}{100}=1,0282\\
\Leftrightarrow 1+\dfrac{t}{100}-\dfrac{2t^2}{10000}=1,0282$.\\
On multiplie tout par 10000.\\
On en déduit : $10000+100t-2t^2=10282\Leftrightarrow 2t^2-100t+282=0$.\\
Le discriminant est : $\Delta=(-100)^2-4\times 2\times 282=10000-2256=7744=88^2>0$.\\
Il y a deux solutions : \\
$t_1=\dfrac{100-\sqrt{7744}}{4}=\dfrac{100-88}{4}=3$ et $t_2=\dfrac{100+\sqrt{7744}}{4}=\dfrac{100+88}{4}=\dfrac{188}{4}=47$.\\
On sait que $t<10$.\\
\fbox{\textbf{\textcolor{red}{Le taux est donc de 10\:\%}}}


\subsection{}
Selon un spécialiste de la nutrition, entre 1980 et 2000, la part des enfants en surpoids a augmenté de 220\:\%.\\
Quel devrait être, en pourcentage arrondi au centième, le taux d'évolution de cette part entre 2000 et 2020 pour retrouver le niveau de 1980 ?\\
On cherche le taux d'évolution $t'$ réciproque de $t=220\:\%$.\\
$t'=\dfrac{1}{1+t}-1=\dfrac{1}{1+2,2}-1=\dfrac{1}{3,2}-1=-0,6875=\boxed{\textcolor{red}{-68,75\:\%}}$.\\
Le taux d'évolution de cette part entre 2000 et 2020 devrait être de -68,75\:\% pour retrouver le niveau de 1980.


\end{multicols}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Exercice&I&II&III&IV&V&VI&VII&VIII&Total\\
%\hline
%Points&2&1&3&3,5&3&3&3&2,5&21\\
%\hline
%\end{tabularx}
\label{fin}
\end{document}