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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les variables aléatoires}}\end{center}

\subsection{}%http://xmaths.free.fr/1ES/cours/1ESprb1cours.pdf
Une urne contient douze boules. Six boules sont vertes, cinq sont rouges et une est blanche.

On tire au hasard une boule de l'urne. On définit une variable aléatoire $G$ en associant à ce tirage un  gain ou 
une perte (la perte sera considérée comme un gain négatif). 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item   Si la boule tirée est verte, on perd 3 euros ; 

\item Si la boule tirée est rouge, on gagne 1 euro ; 

\item Si la boule tirée est blanche, on gagne 10 euros. 

\end{enumerate}
Compléter, en justifiant, le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de G. 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Gain&-3&1&\\
\hline
Probabilité&&&\\
\hline
\end{tabularx}
Calculer l'espérance mathématique de G. Interpréter  le résultat

\subsection{}%http://xmaths.free.fr/1ES/cours/1ESprb1cours.pdf
On jette simultanément deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 

\begin{enumerate}
\item 1°) Quelle est la probabilité d'obtenir un double 6  ?  

\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros dont la somme est 4 ?  

\item On appelle $S$ la somme des deux numéros obtenus.

Donner la loi de probabilité de $S$. Calculer l'espérance mathématique de $S$. 

\end{enumerate}

\subsection{}%http://www.parfenoff.org/pdf/1re_ES/stat_proba/1re_ES_Probabilite_Variable_aleatoire.pdf
Un sac contient 15 jetons bleus, 10 jetons rouges, 3 jetons verts et  2 jetons noirs, tous  indiscernables au toucher.  

Un joueur extrait au hasard un  jeton de ce sac et note sa  couleur :  B pour bleu, R pour  rouge, V pour vert et N pour noir.  

Il marque 3 points si le jeton est rouge, 5 points si le jeton est vert, mais perd 1 point si  le jeton est bleu et perd 3  points si le jeton est noir. 

Soit $G$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points ( positif ou négatif ) obtenu  par le joueur. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable G. 

\item Déterminer l'espérance de $G$.

\item La variance d'une variable aléatoire $X$ est $V(X)=\sum_{i=1}^{i=n}p_i\left[x_i-E(X)\right]^2=\sum_{i=1}^{i=n}p_ix_i^2-[E(X)]^2$ où $X$ prend les valeurs $x_1$, \dots, $x_n$ avec les probabilités $p_1$, \dots, $p_n$.

Calculer $E(G)$.

\item En déduire l'écart-type $\sigma(G)$ $\left(\text{on rappelle que }\sigma(X)=\sqrt{E(X)}\right)$
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  