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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices (variations)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^{3}+x-10.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis démontrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\item Calculer $f(2)$.

\item En déduire le signe de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^{3}-3x-18.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis étudier le sens de variation de $f$.

\item Déterminer le signe de $f(x)$ sur $]-\infty~;~1]$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ s'annule en 3.

\item Déterminer le signe de $f(x)$ sur $[1~;~+\infty[$.

\item Sur quel intervalle a-t-on $x^{3}\leqslant 3x+18$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Dans une entreprise qui produit du savon liquide, une étude a permis de modéliser le coût moyen de production d'un hectolitre de savon lorsque $x$ hectolitres sont produits. Ce coût moyen de production est modélisé par la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=0,5x+\dfrac{8}{x}.\]
Il est exprimé en milliers d'euros.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé d'unité 1 cm.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$.

\item Expliquer pourquoi $f'(x)$ a le même signe que $x-4$.
\end{enumerate}

\item Déterminer le sens de variation de $f$ et construire $\mathscr{C}$.

\item Le prix de vente $p(x)$ de l'hectolitre dépend de la quantité vendue : \[p(x)=0,8x+13.\]
avec $p(x)$ en milliers d'euros et $x$ en hectolitres.

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de $p$ dans le même repère que $\mathscr{C}$.

\item Déterminer graphiquement l'intervalle dans lequel doit se situer la production pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
\end{enumerate}

\item Retrouver par le calcul les résultats de la question 3.(b)

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Position d'une courbe et d'une tangente}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=x^{3}-3x^{2}+1.\]

On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ orthonormé d'unité 2 cm.

\begin{enumerate}
\item Caculer $f'(x)$.

\item Étudier le sens de variation de $f$ et construire son tableau de variation sur $[-1~;~3]$.

\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à cette courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

\item Soit $g$ la fonction définie par \[g(x)=f(x)-(-3x+2).\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\item Calculer $g(1)$.

\item En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.

\item Sur quel intervalle a-t-on $f(x)\geqslant -3x+2$?

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr{C}$ et la tangente $(T)$ ?
\end{enumerate}

\item Construire la courbe $\mathscr{C}$, la tangnte $(T)$ et les tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d'abscisses 0 et 2.

\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  