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  \title{\textcolor{yellow}{Signe du trinôme $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$)}}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}




\begin{frame}
\begin{block}
{On cherche le signe de $ax^2+bx+c$ selon les valeurs de $x$.}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{Pour cela, on va utiliser les résultats obtenus précédemment.}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{On a trouvé :

\noindent $\textcolor{yellow}{ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]}$
}
  \end{block}
  
\pause
\begin{block}
{Trois cas se présentent, selon le signe de $\Delta$  }
  \end{block}
  \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Premier cas : $\Delta<0$}}
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}
{La forme canonique est : \textcolor{yellow}{$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$}.}
  \end{block}
  \pause
  
\begin{block}
{Comme $\Delta<0$, $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$}
  \end{block}
\pause

\begin{block}
{$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geqslant 0$}
  \end{block}
  \pause
  \begin{block}
{ donc $\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]>0$.}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{L'expression $ax^2+bx=c$ est donc du signe de $a$ pour tout $x$.}}
  \end{block}
  \end{frame}
  
  
\begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Deuxième cas : $\Delta =0$}}
  \end{block}
  \pause
  
\begin{block}
{Alors : \textcolor{yellow}{$ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$}.}
  \end{block}
  \pause
  
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Pour tout $x$, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geqslant 0$ (nulle seulement pour $x=-\dfrac{b}{2a}$).}
}
  \end{block}
  \pause

\begin{block}
{\textcolor{yellow}{L'expression est donc du signe de $a$, sauf en $-\dfrac{b}{2a}$, valeur pour laquelle l'expression s'annule.}}
  \end{block}

  \end{frame}



\begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Troisième cas : $\Delta =0$}}
  \end{block}
  
\begin{block}
{On a vu que $ax^2+bx+c$ s'annule pour deux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$}
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}
{Alors : $ax^2+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$.}
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}
{Supposons que $x_{1}<x_{2}$ et renseignons un tableau de signes :}
  \end{block}

  \pause
  
\begin{block}
{
\footnotesize{
\begin{variations}
x&\mI&&x_{1}&&x_{2}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x-x_{1}&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x-x_{2}&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }a\left(x-x_1\right)x-x_{2}&&+&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)&&\textcolor{red}{\text{Signe de }a}&\z&
\textcolor{red}{\text{Signe de }-a}&\z&\textcolor{red}{\text{Signe de }a}&\\
\end{variations}}
}
  \end{block}

  \pause
  
\begin{block}
{On aurait les mêmes résultats avec $x_{2}<x_{1}$}
  \end{block}
  \end{frame}

\pause  
  
\begin{frame}
\begin{block}
{Conclusion :}
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé à celui de $a$ entre les racines.}
}
  \end{block}
  \end{frame}



\begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Résumé :}}
  \end{block}

\pause

\begin{block}
{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$\Delta <0$&
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$.
\\
\hline
\end{tabularx}
\pause
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 $\Delta =0$&
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ \\
&sauf en $x=-\dfrac{b}{2a}$ \\
&où l'expression s'annule.
\\
\hline
\end{tabularx}
\pause
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$\Delta >0$&
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$\\
& en dehors de l'intervalle formé par les racines\\
& et du signe opposé à celui de $a$\\
& entre les racines.
\\
\hline
\end{tabularx}
}
\end{block}

  \end{frame}



\end{document}  