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  \title{\textcolor{yellow}{Équations du second degré}}
  \author{}
  \date{}

  \begin{document}

  \begin{frame}
  \titlepage
  \end{frame}





\begin{frame}

\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Résolution de l'équation $ax^2+bx+c=0$}}
  \end{block}

\begin{block}
{Forme canonique}
  \end{block}

On a vu en Seconde que :

\pause
\begin{block}
{$ax^2+bx+c=a\left(x+\alpha\right)+\beta$

\noindent avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ en posant $f(x)=ax^2+bx+c$.
}
  \end{block}

\pause

On trouve  : 
\begin{block}
{$f(\alpha)=f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$}
  \end{block}
\begin{block}
{$=a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2+b\times \left(-\dfrac{b}{2a}\right)+c$
}
  \end{block}
    \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}
{  $=a\times \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{2a}+c$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{$=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$.}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{ On pose $\Delta=b^2-4ac$. (qu'on apelle discriminant).}
  \end{block}
  \pause
 On en déduit :\\
 \pause
\begin{block}
{ $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{  $a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$.}
  \end{block}
\end{frame}
\begin{frame} En simplifiant par $a$ non nul, 
 L'équation s'écrit : 
 \pause
 \begin{block}
{$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$.
}
  \end{block}% 
\pause
On voit que la résolution de l'équation  dépend  du signe de $\Delta$ :
\end{frame}
\begin{frame}\begin{block}
{Premier cas}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{  $\mathbf{\Delta <0}$ :}
  \end{block}
  \pause
Alors : 
\begin{block}
{$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{-\Delta}{4a^2}\right)>0$ (car le premier terme étant le carré d'un nombre réel, il est positif ou nul et le second terme est strictement positif)}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{  donc l'équation n'a pas de solution.}
\pause
  \end{block}
\begin{block}
{  \begin{center}
$\mathscr{S}=\emptyset$
\end{center}}
  \end{block}
  \end{frame}
\pause

\begin{frame}
\begin{block}
{Second cas $\Delta=0 :$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{L'équation devient : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ qui a pour solution : $x=-\dfrac{b}{2a}$.
}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{\begin{center}
$\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{b}{2a}\right\}$
\end{center}
}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{\textbf{  Remarque} : on a alors $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$}
  \end{block}
  \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}
{Troisième cas :  $\Delta >0$ :}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{$\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ : \\
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}$ est alors la différence de deux carrés donc on peut utiliser la troisième identité remarquable : }
  \end{block}
  \end{frame}
  \pause
  \begin{frame}
\begin{block}
{$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{$\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0$
}
  \end{block}
  \pause
  \begin{block}
{$ \Leftrightarrow \left[(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{$\Leftrightarrow \left[(x-\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[(x-\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0$.
}
  \end{block}
  \pause
  Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : 
    \end{frame}
    \begin{frame} L'équation admet alors deux solutions :
\begin{block}
{$x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et }x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{$\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}$}}
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}
{  \textcolor{yellow}{Remarque} : on a alors \textcolor{yellow}{$ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$}, où $x_1$ et $x_2$ sont les deux solutions.}
  \end{block}
  \end{frame}

\begin{frame}\begin{block}
{\begin{center}
Résumé :
\end{center}}
  \end{block}
\pause
\begin{block}
{\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Signe de }\Delta&\text{Nombre de solutions}&\text{Solutions}\\
\hline
\Delta <0&\text{pas de solution}&\mathscr{S}=\emptyset\\
\hline
 \Delta =0&\text{une solution}&\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{b}{2a}\right\}\\
\hline
\Delta>0&\text{deux solutions}&\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}}
  \end{block}
  \end{frame}

\begin{frame}
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{Exemples d'application}}
  \end{block}

\pause

\begin{block}
{ Résoudre l'équation $3x^2+5x-2=0$.}
  \end{block}

\pause

\begin{block}
{C'est une équation du type $ax^2+bx+c=0$ avec $a=3$, $b=5$ et $c=-2$.}
  \end{block}

\pause

\begin{block}
{$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times 3\times (-2)=25+24=49>0$.}
  \end{block}

\pause


\begin{block}
{L'équation a donc deux solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-7}{6}=-2$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+7}{6}=\dfrac{1}{3}$
}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{$\textcolor{yellow}{\mathscr{S}=\left\{-2~;~\dfrac{1}{3}\right\}}$}
  \end{block}

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{block}
{Résoudre l'équation : $3x^2+30x+75=0$.}
  \end{block}
  
  \pause
  
  L'équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=3$, $b=30$ et $c=75$
\begin{block}
{$\Delta=30^2-4\times 3\times 75=0$}
  \end{block}
  \pause
  
\begin{block}
{  L'équation a une solution : $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{30}{6}=-5$}
  \end{block}
  \pause
\begin{block}
{\textcolor{yellow}{  $\mathscr{S}=\{-5\}$}}
  \end{block}
  \pause

\begin{block}
{On pouvait résoudre l'équation directement en factorisant par 3, puis en reconnaissant une identité remarquable.
}
  \end{block}
  \pause
  
\begin{block}
{L'équation s'écrit : $3\left(x+5\right)^2=0$ donc on retrouve

\noindent \textcolor{yellow}{$\mathscr{S}=\{-5\}$}
}
  \end{block}  \end{frame}


\begin{frame}
\begin{block}
{Résoudre l'équation : $x^2+x+2$.}
  \end{block}
  
  \pause
  
\begin{block}
{$\Delta=1^2-4\times 1\times 2=-7<0$.}
  \end{block}
  \pause
  
\begin{block}
{Comme $\Delta<0$, l'équation n'a pas de solution : 

\noindent $\textcolor{yellow}{\mathscr{S}=\emptyset}$}
  \end{block}

\pause

\begin{block}
{Remarque : l'expression n'est alors pas factorisable}
  \end{block}
\end{frame}







\label{fin}
\end{document}  