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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/10}

\begin{document}



\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Statistiques}}\end{center}

\tableofcontents



\subsection{\textcolor{blue}{Activité 1 page 62}}

\noindent Pour Alix :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

Épreuve	&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
Coefficient&9&7&3&5&3&3&2\\
\hline
Note d'Alix&11,5&8&12&12&5&10&10\\
\hline
Produits&103,5&56&36&60&15&30&20\\
\hline
\end{tabularx}
							
\noindent La somme des produits vaut  320,5.
													
\noindent La somme des coefficients est 32						
							
\noindent Moyenne	10,015625						

\noindent La moyenne d'Alix est  $\overline{x}\approx \dfrac{320,5}{32}\approx\boxed{\textcolor{red}{10,01}}$.

\bigskip
Pour Emma : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Épreuve&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
Coefficient&7&9&3&5&3&3&2\\
\hline
Note d'Emma&12&8&12&12&5&10&10\\
\hline
Produits&84&72&36&60&15&30&20\\
\hline
\end{tabularx}

\noindent La moyenne d'Emma pour l'école UCE est  $\overline{x}=\dfrac{317}{32}\approx 9,91$ ; elle n'est pas reçue.

Pour UCA : $\overline{x}=\dfrac{325}{32}\approx 10,16$ ; elle est reçue.

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{Vocabulaire}}}
\noindent Le mot statistiques vient du mot latin status (état)
.

\noindent On recueille des données et on essaye d'en tirer des renseignements exploitables.

On utilise le vocabulaire suivant pour décrire cette étude :

\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item\textbf{Série statistique} : ensemble des valeurs collectées.

\item\textbf{Population} : ensemble sur lequel porte l'étude statistique.

\item\textbf{Individus} : éléments qui composent la population.

\item\textbf{échantillon} : partie de la population.

\item\textbf{Caractère étudié} : propriété que l'on observe sur les individus. Les différentes valeurs obtenues sont appelées \textbf{valeurs du caractère} ou \textbf{modalités}, souvent notées $x_1$, $x_2,\ldots x_p$ dans le cas de valeurs discrètes. 

\noindent On distingue deux types de caractères.

\begin{enumerate}[\label=$\diamond$]

\item Un caractère peut être \textbf{qualitatif} (situation de famille, sexe...).

\item Un caractère peut être \textbf{quantitatif}. Il est dit \textbf{discret} lorsqu'il ne prend que des valeurs isolées (nombre d'enfants, notes dans une classe...). Il est dit \textbf{continu} lorsqu'il peut prendre théoriquement toutes les valeurs d'un intervalle (taille, temps d'écoute...) ; dans ce cas, les valeurs sont regroupées en sous-intervalles appelés des \textbf{classes}.

\end{enumerate}

\item\textbf{Effectif} : pour une valeur du caractère (modalité ou classe), on appelle effectif le nombre d'individus de la population ayant cette valeur. On note souvent $n_1$, $n_2,\ldots n_p$ les effectifs respectifs des modalités $x_1$, $x_2,\ldots x_p$.

\item\textbf{Effectif total} : nombre total d'individus de la population (ou de l'échantillon). Il est égal à  $n_1+n_2+\ldots +n_p$, souvent noté $N$.

\item\textbf{Fréquence} : Pour une valeur du caractère (modalité ou classe), on appelle fréquence le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total. On note souvent $f_1$, $f_2,\ldots,\ f_p$ les fréquences respectives des modalités $x_1$, $x_2,\ldots x_p$, donc :
\[ f_1=\frac{n_1}{N},\ f_2=\frac{n_2}{N},\ldots,\ f_p=\frac{n_p}{N}\, .\]
On en déduit que $0\leq f_1\leq 1$, $0\leq f_2\leq 1,\ldots,$ $0\leq f_p\leq 1$, et $f_1+f_2+\ldots f_p=1$. 

\item\textbf{Valeurs extrêmes} : valeurs minimales et maximales d'un caractère quantitatif.

\item\textbf{Effectif cumulé} : Pour une valeur $x$ d'une série statistique quantitative, l'effectif cumulé croissant (respectivement décroissant) de $x$ est la somme des effectifs des valeurs inférieures (respectivement supérieures) ou égales à  $x$.

\item\textbf{Fréquence cumulée} : pour une valeur $x$ d'une série statistique quantitative, la fréquence cumulée croissante (respectivement décroissante) de $x$ est la somme des fréquences des valeurs inférieures (respectivement supérieures) ou égales à  $x$.

\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{Variables discrètes (ndicateurs de position)}}



\subsubsection{\textbf{\textcolor{red}{Mode}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Le mode d'une série statistique est la valeur du caractère ayant l'effectif le plus grand
\end{bclogo}

\bigskip

\subsubsection{\textbf{\textcolor{red}{Moyenne (pondérée)}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une série statistique dont les valeurs du caractère sont $x_1, x_2,\cdots, x_k$ et $n_1,  n_2,\cdots, c_k$ effectifs associés.\\
La moyenne de la série statistique, notée $\bar x$, a pour valeur :
\[\bar x=\cfrac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{k}x_{k}}{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}}\]
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : on peut écrire cette formule de façon symbolique : \[\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{i=k}n_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{i=k}n_i}}}\] où la lettre grecque $\Sigma$ (sigma) signifie somme.


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquence}}: 

\noindent Lorsqu'on présente la série statistique en  donnant  la liste de toutes les valeurs, alors la moyenne est $\cfrac{x_1 +x_2+\cdots+x_N}{N}$

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!45, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Si on appelle $f_i$ la fréquence de la valeur $x_i$ , alors : $\bar x = f_1 x_1 + f_2x_2 +... + f_kx_k.$
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!45, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (Linéarité de la moyenne )}}
Soit $k$ un nombre réel. Soit $x_1, x_2, \cdots, x_n$ les valeurs du caractère d'une série statistique et $\bar x$ leur moyenne. Alors:\\
$\bullet$  la moyenne de la série $kx_1, kx_2,\cdots, kx_n$ est $k\bar x$;

$\bullet$  la moyenne de la série $x_1 +k, x_2+k,\cdots, x_i+k,\cdots, x_n+k$ est $\bar x +k$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si la moyenne au contrôle de biologie dans une classe est de 8 sur 20 et que le professeur décide d'augmenter toutes les notes de 10\:\%, alors la nouvelle moyenne est de 8,8.

\item Si la moyenne au contrôle d'histoire-géographie est de 8,7 sur 20 et que le professeur décide d'ajouter 1 point à tous les élèves, alors la nouvelle moyenne est de 9,7.

\end{enumerate}

\subsubsection{\textbf{\textcolor{red}{Médiane}}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La médiane d'une série statistique est le nombre tel que : 	\\
50 \% au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à ce nombre et 50 \% au moins des individus ont une valeur supérieure ou égale à ce nombre.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Médiane d'un caractère quantitatif discret}}\\
On considère une série statistique dont les valeurs du caractère sont rangées par ordre croissant, chacune de ces valeurs figurant un nombre de fois égal à son effectif.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si le nombre $N$ de données est impair, donc de la forme $N=2p+1$, la médiane est le terme du milieu, c'est-à-dire le rang de terme $p+1$.

\item Si le nombre de données est pair, donc de la forme $N=2p$, la médiane est la demi-somme des termes de rangs $p$ et $p+1$.

\end{enumerate}

\subsubsection{\textbf{\textcolor{red}{Quartiles}}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

Le premier quartile d'une série statistique, noté $Q_{1} $ est la plus petite valeur de la série, rangée par ordre croissant, tel que 25~\% des valeurs de la série soient inférieures ou égales à $Q_{1}$.

\noindent Le troisième quartile d'une série statistique, noté $Q_{3}$ est la première valeur de la série, rangée par ordre croissant, tel que 75~\% des valeurs de la série soient inférieures ou égales à $Q_{3}$.\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque : }}$Q_{1}$ est la valeur $x_{i}$ de la série dont l'indice $i$ est le premier entier supérieur ou égal à $\dfrac{N}{4}$ (si $N$ est l'effectif de la série).

\noindent $Q_{3}$ est la valeur $x_{i}$ de la série dont l'indice $i$ est le premier entier supérieur ou égal à $\dfrac{3N}{4}$ (si $N$ est l'effectif de la série).

\danger : les calculatrices permettent de calculer la médiane mais ne calculent pas toutes les bonnes valeurs pour les quartiles .

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Variables discrètes : Indicateurs de dispersion}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Étendue}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'étendue d'une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère.

\end{bclogo}


\bigskip

\subsubsection{\textcolor{red}{Intervalle interquartile et écart interquartile}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $Q_1$ et $Q_3$ sont les premier et troisième quartiles d'une série statistique, on nomme intervalle interquartile l'intervalle $\left[Q_1~;~Q_3\right]$ et  $Q_3-Q_1$ est l'écart interquartile.
\end{bclogo}

\bigskip

\subsubsection{\textcolor{red}{Diagramme en boîte (ou diagramme de Tukey ou boîte à moustaches)}}
Les deux quartiles $Q_{1}$, $Q_{3}$, la médiane $M$ d'une série statistique, associés aux valeurs extrêmes (minimum et maximum) permettent d'appréhender certaines caractéristiques  de la répartition des valeurs.

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}

\medskip

Voici la série des températures (en degré Celcius) relevées sous abri à différents moments de la journée. Elles sont classées par ordre croissant.\\
3 ; 3,8 ; 4,5 ; 4,8 ; 5 ; 5,5 ; 5,7 ; 5,8 ; 6,2 ; 7 ; 7,3 ; 8,2 ; 9 ; 9,2 ; 9,5 ; 9,7\\
Les valeurs extrêmes sont 3 et 9,7.\\
La médiane vaut 6 (moyenne entre 5,8 et 6,2).\\
Le premier quartile est $Q_{1}=4,8$ ; le troisième quartile est $Q_{3}=8,2$.
Le diagramme en boîte est alors : 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(11.1,2.2)
\def\xmin{0} \def\xmax{10} \def\ymin{0} \def\ymax{1.4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(10.1,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=2.4cm}
\psgrid[griddots=25,gridlabels=0pt,gridwidth=.8pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.8pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(10,1.4)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](4.8,0.8)(8.2,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(6,0.8)(6,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,1.2)(4.8,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(8.2,1.2)(9.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,1.05)(3,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(9.7,1.05)(9.7,1.35)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\uput[u](3,1.3){Min}\uput[u](4.8,1.5){$Q_{1}$}\uput[u](6,1.5){M}\uput[u](8.2,1.5){$Q_{3}$}\uput[u](9.7,1.3){Max}
\end{pspicture*}
\end{center}

Les diagrammes en boîte servent à faire des comparaisons de deux séries statistiques.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}

\noindent Les séries suivantes donnent les précipitations moyennes mensuelles en millimètres à Nice et à Paris :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Mois&J&F&M&A&M&J&J&A&S&O&N&D\\
\hline
Nice&67&83&71&70&39&37&21&38&83&109&158&92\\
\hline
Paris&53&48&40&45&53&57&54&61&54&50&58&51\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour effectuer la comparaison, on va ranger chaque série par ordre croissant : (se fait à la calculatrice !)

\noindent Nice : 21 ; 37 ; 38 ; 39 ; 67 ; 70 ; 71 ; 83 ; 83 ; 92 ; 109 ; 158

\noindent Paris 40 ; 45 ; 48 ; 50 ; 51 ; 53 ; 53 ; 54 ; 54 ; 57 ; 58 ; 61

\bigskip

\noindent Pour Nice, on a : Min =21 ; Max = 158 ; $Q_{1}=38$ ; $M_{1}=70,5$ et $Q_{3}=83$

\noindent Pour Paris, on a : Min =40 ; Max = 61 ; $Q_{1}=48$ ; $M_{1}=53$ et $Q_{3}=54$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Diagrammes en boîtes :}}\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(158.1,3.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{158} \def\ymin{0} \def\ymax{2.6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(158.1,3.4)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](38,0.8)(83,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(70.5,0.8)(70.5,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(21,1.2)(38,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(83,1.2)(158,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(21,1.05)(21,1.35)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(158,1.05)(158,1.35)
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid](48,2)(54,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(53,2)(53,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(40,2.4)(48,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(54,2.4)(61,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(40,2.25)(40,2.55)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(61,2.25)(61,2.55)

\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=10,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=blue](\n,0)(\n,3.4)}
\uput[u](10,1){Nice}
\uput[u](30,2){Paris}
\end{pspicture*}
\end{center}
Les précipitations sont plus régulières tout au long de l'année à Paris (série moins dispersée).

\noindent La totalité des valeurs de la série des précipitations à Paris est comprise entre le premier quartile et la médiane de la série des précipitations à Nice.

\noindent Pour la ville de Nice, plus de la moitié des mois ont des précipitations supérieures au maximum de Paris.

\subsubsection{\textcolor{red}{Variance ; écart type}}


\begin{enumerate}
\item Considérons deux groupes d'élèves, l'un de dix élèves et l'autre de huit élèves ; leurs notes de mathématiques à un contrôle sont :\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{blue}{Première série :}}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
note $x_{i}$&1&2&3&17&20\\
\hline
effectif $n_{i}$&3&1&1&1&4\\
\hline
\end{tabularx}

\textbf{\textcolor{blue}{Deuxième série :}}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
note $x_{i}$&8&10&11&12\\
\hline
effectif $n_{i}$&1&2&4&1\\
\hline
\end{tabularx}


\end{multicols}
La moyenne de la première série est : $m_1=\dfrac{n_{1}x_{1}+\cdots+n_{5}x_{5}}{n_{1}+\cdots+n_{5}}=\dfrac{105}{10}=10,5$.\\
La moyenne de la deuxième série est : $m_2=\dfrac{84}{8}=10,5$.\\
Les deux moyennes sont \textbf{égales} ; pourtant, la répartition des notes n'est pas du tout la même.

\bigskip

Il faut donc trouver un moyen de mesurer la dispersion des nombres autour de la moyenne.

\bigskip

Un premier moyen est l'étendue, mais ce n'est pas très fiable.

\bigskip

Nous pourrions calculer les écarts par rapport à la moyenne puis en faire la moyenne :
Regardons ce que cela donne pour une série générale : 
Les valeurs $x_i$ sont affectées d'une coefficient $n_i$ et l'effectif total est $N$. La moyenne est $\overline{x}$.

$\dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^{i=p}n_i\left(x_i-\overline{x}\right)}{N}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^{i=p}n_ix_i-\displaystyle\sum_{i=0}^{i=p}\overline{x}}{N}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^{i=p}n_ix_i}{N}-\dfrac{N\overline{x}}{N}=\overline{x}-\overline{x}=0 $.

\noindent Le problème de ce calcul est que l'on trouve systématiquement 0, donc cela ne permet pas de mesurer la dispersion (il y a compensation entre les valeurs supérieures à la moyenne et celles qui lui sont inférieures).

\bigskip

Nous allons voir un deuxième moyen, qui est l'écart type. L'idée est d'éviter les compensations, en n'ayant que des valeurs positives.


\bigskip

\begin{bclogo}[couleur =  cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition (variance)}}
Soit une série statistique donnée par le tableau :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}
\hline
\text{Valeur du caractère}&x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{p}&\text{Total}\\
\hline
\text{Effectif}&n_{1}&n_{2}&\cdots&n_{p}&N\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La moyenne de cette série est : $\overline{x}=\dfrac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{P}x_{p}}{N}$.\\
La \textbf{\textcolor{red}{variance}} est le nombre V défini par : \[\mathbf{\textcolor{red}{V=\dfrac{n_{1}(x_{1}-\overline{x})^2+n_{2}(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+n_{p}(x_{p}-\overline{x})^2}{N}}}\]
V est donc la \textbf{moyenne des carrés des écarts entre chaque valeur  $\mathbf{x_{i}}$ et la moyenne}.

\noindent On dit aussi moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
\end{bclogo}

\bigskip



\textbf{\textcolor{blue}{Autre formulation de la variance :}}

\noindent Pour chaque indice $i$, on a : $(x_{i}-\overline{x})^2=x_{i}^2-2x_{i}\overline{x}+\overline{x}^2$.\\
En rempla\c cant dans le calcul de la variance chaque $(x_{i}-\overline{x})^2$ par ce que l'on vient de trouver, on obtient :\\
$V=\dfrac{1}{N}\left[n_{1}\left(x_{1}^2-2x_{1}\overline{x}+\overline{x}^2\right)+n_{2}\left(x_{2}^2-2x_{2}\overline{x}+\overline{x}^2\right)+\cdots+n_{p}\left(x_{p}^2-2x_{p}\overline{x}+\overline{x}^2\right)\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}\textcolor{blue}{-2n_{1}x_{1}\overline{x}-2n_{2}x_{2}\overline{x}-\cdots-n_{p}x_{p}\overline{x}}+n_{1}\overline{x}^2+n_{2}\overline{x}^2+\cdots+n_{p}\overline{x}^2\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}-\textcolor{blue}{2\overline{x}(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots+n_{p}x_{p})}+\overline{x}^2\left(n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p}\right)\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}-\textcolor{blue}{2\overline{x}\times N\overline{x}}+\overline{x}^2N\right]\\
=\dfrac{1}{N}\left[\textcolor{red}{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}-N\overline{x}^2\right]\\
=\dfrac{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}{N}-\overline{x}^2$.\\
donc : \[\boxed{\mathbf{\textcolor{red}{V=\dfrac{n_{1}x_{1}^2+n_{2}x_{2}^2+\cdots+n_{p}x_{p}^2}{N}-\overline{x}^2}}}\]

\bigskip

Symboliquement, on écrit $\boxed{\textcolor{red}{V=\overline{x^2}-\overline{x}^2}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} pour la deuxième série de notes :\\
$\begin{array}{|*{5}{c|}}
\hline
\text{note }x_{i}&8&10&11&12\\
\hline
x_{i}^2&64&100&121&144\\
\hline
\text{effectif }n_{i}&1&2&4&1\\
\hline
\end{array}$\\\\

$V=\dfrac{(1\times 64)+(2\times 100)+(4\times 121)+(1\times 144)}{8}-10,5^2=\dfrac{892}{8}-10,5^2=111,5-110,25=1,25$.

\item La variance est homogène aux carrés des valeurs de la série. Pour avoir une grandeur homogène aux valeurs de la série, on définit \textbf{\textcolor{red}{l'écart type}} de la série par : $\boxed{\textcolor{red}{\textcolor{red}{\mathbf{\sigma=\sqrt{V}}}}}$.\\
L'écart type est la racine carrée de la variance.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} pour la première série de notes, on a : $V=\dfrac{1905}{10}-10,5^2=80,25$.\\
L'écart type de la première série est $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt{80,25}\approx 8,96$.\\
Celui de la deuxième série est $\sigma=\sqrt{1,25}\approx 1,118$.\\\\
L'écart type de la première série est plus grand que celui de la deuxième série : les notes sont plus dispersées dans le premier cas que dans le second.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque : }}La variance et l'écart-type se calculent facilement à la calculatrice, puisqu'elle donne la somme des valeurs et la somme des carrés des valeurs ainsi que l'effectif total.

\subsection{\textcolor{blue}{Variables continues}}

\subsection{\textcolor{blue}{Histogrammes}}
Rappel : un histogramme est une représentation graphique sous la forme de rectangles, dont \textbf{l'aire} est proportionnelle aux effectifs.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Il y a deux cas possibles :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si le pas est constant (largeur des rectangles identiques), les aires des rectangles sont proportionnelles aux hauteurs des rectangles.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple : Brevet Polynésie juin 2007}}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(7,50)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=60](0,0)(7,50)
\psframe(0,0)(1,12) 
\psframe[fillstyle=vlines,hatchsep=8pt,hatchcolor=blue] (1,0)(2,30)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,45) 
\psframe[fillstyle=hlines,fillcolor=gray] (3,0)(4,36)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](4,0)(5,21) 
\psframe[fillstyle=crosshatch,fillcolor=lightgray](5,0)(6,6)
\uput[l](0,6){{\footnotesize 6}}  \uput[l](0,12){{\footnotesize 12}}  \uput[l](0,21){{\footnotesize 21}}  
\uput[l](0,30){{\footnotesize 30}}  \uput[l](0,36){{\footnotesize 36}}  \uput[l](0,45){{\footnotesize 45}}
\uput[d](0.5,0){{\tiny 20 \`a 24 ans}}   \uput[d](1.5,0){{\tiny 24 \`a 28 ans}}  \uput[d](2.5,0){{\tiny 28 \`a 32 ans}}  \uput[d](3.5,0){{\tiny 32 \`a 36 ans}}  
\uput[d](4.5,0){{\tiny 36 \`a 40 ans}}  \uput[d](5.5,0){{\tiny 40 \`a 44 ans}} 
\psline(0,6)(-0.1,6) \psline(0,21)(-0.1,21) \psline(0,30)(-0.1,30) \psline(0,36)(-0.1,36) 
\psline(0,45)(-0.1,45) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Compl\'eter le tableau ci-dessous\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\hline
\^Age	&{\tiny$20 \leqslant \text{\^age} < 	24$}&{\tiny $24 \leqslant \text{\^age} < 	28$}&{\tiny $28 \leqslant \text{\^age} < 	32$}&{\tiny $32 \leqslant \text{\^age} < 36$}&{\tiny$ 36 \leqslant \text{\^age} < 40$}&{\tiny $40 \leqslant \text{\^age} < 	44$}&Total\\ \hline
{\footnotesize Centre de la	 classe}&22&&&&&&  \\ \hline
{\footnotesize Effectifs}&&&&&&&\\ \hline
{\footnotesize Fr\'equences en ~\%}&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Quel est le pourcentage des employ\'es qui ont strictement moins de 36 ans?
\item  Calculer l'\^age moyen d'un employ\'e de cette entreprise.
\end{enumerate}

\item 
Si le pas n'est pas constant, les hauteurs des rectangles ne sont plus proportionnelles aux aires de ceux-ci. C'est le cas quant les données sont réparties par classes, avec des largeurs d'intervalles différentes.\\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}\\
Considérons la répartition des notes de 10 élèves.\\
\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{c|}}
\hline
\text{Classe}&[0~;~8[&[8~;~12[&[12~;~20[\\
\hline
\text{Effectif}&2&3&5\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\parbox{6cm}{On commence par choisir une unité sur l'axe des abscisses et une unité d'aire. Par exemple : 2 cm$^2$ pour un effectif de 1.\\
\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{c|}}
\hline
\text{Classe}&[0~;~8[&[8~;~12[&[12~;~20[\\
\hline
\text{Effectif}&2&3&5\\
\hline
\text{Aire en cm }^2&4&6&10\\
\hline
\text{Largeur en cm}&4&2&4\\
\hline
\text{Hauteur du rectangle}&1&3&\dfrac{5}{2}=2,5\\
\hline
\end{array}$
\end{center}}\hfill\parbox{8cm}{\psset{xunit=0.25cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(27,6)
\def\xmin{0} \def\xmax{20} \def\ymin{0} \def\ymax{5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray,linestyle=solid,fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](0,0)(8,1)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid,fillcolor=blue,fillstyle=crosshatch,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=blue](8,0)(12,3)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=red,linestyle=solid,fillcolor=red,fillstyle=crosshatch,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=12pt,hatchcolor=red](12,0)(20,2.5)
\psaxes[labels=x,labelsep=1pt,Dx=2,Dy=1,Ox=\xmin]{-}(\xmin,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[r](20,0){Notes}
\psframe(22,1)(26,2)\uput[u](24,2){1}
\end{pspicture*}}

\end{enumerate}



\textbf{\textcolor{red}{Autre exemple :}}

On a relevé les distances domicile-lieu de travail pour les salariés d’une entreprise.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

\hline
Distance (en km)&[0~;~1[& [1~;~2[& [2~;~5[ &[5~;~10[& [10~;~20[& [20~;~50[\\
\hline
Effectifs& 30& 36& 78& 120& 10& 24\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Construire l’histogramme relatif à cette série.\\
\psset{xunit=0.3cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(50.1,16)
\def\xmin{0} \def\xmax{50} \def\ymin{0} \def\ymax{15}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(50.1,16)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=gray,linestyle=solid,fillcolor=gray,fillstyle=solid](0,0)(1,12.5)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=black,linestyle=solid,fillcolor=black,fillstyle=solid](1,0)(2,15)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=blue,linestyle=solid,fillcolor=blue,fillstyle=solid](2,0)(5,10.83)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=red,linestyle=solid,fillcolor=red,fillstyle=solid](5,0)(10,10)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=solid,fillcolor=green,fillstyle=solid](10,0)(20,0.42)
\psframe[linewidth=0.5pt,linecolor=yellow,linestyle=solid,fillcolor=yellow,fillstyle=solid](20,0)(50,0.3)
\psaxes[labels=x,labelsep=1pt,Dx=5,Dy=1,Ox=\xmin]{-}(\xmin,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\multido{\i=1+1}{15}{\uput[l](0,\i){\i}}
\end{pspicture*} 



\textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}}\\
Le tableau ci-dessous représente la répartition des durées de 70 films (en min).
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
Durée en minutes&[100~;~120[&[120~;~160[&[160~;~180[&[180~;~260[\\
\hline
Effectifs	&20&30&10&10\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Représenter la situation par un histogramme.\\
On commencera à 100 sur l'axe des abscisses ; échelle : 1 cm pour 20 minutes en abscisses ; aire : 1 cm$^2$ pour 5 unités.



%\section{\textcolor{red}{Compléments}}
%
%\subsection{\textcolor{red}{Moyennes mobiles}}
%Objectif : On s'intéresse à des séries chronologiques (dépendant du temps) et de mettre en évidence des tendances. Elle ssont plus ou moins faciles à mettre en \oe uvre, d'autant qu'il peut y avoir des fluctuations importantes (comme le cours de la bourse \dots)\\\\
%Pour adoucir les variations, on effectur un lissage par de smoyennes mobiles.\\\\
%\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
%On a un tableau de valeurs :
%\begin{center}
%$\begin{array}{|*{8}{c|}}
%\hline
%\text{Date}&t_{1}&t_{2}&\cdots&t_{i}&t_{n-1}&t_{n}\\
%\hline
%\text{Valeur}&x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{i}&\cdots&x_{n+1}&x_{n}\\
%\hline
%\end{array}$
%\end{center}
%Lisser une série chronologique par les moyennes mobiles d'ordre 3 consiste à remplacer les valeurs $x_{i}$\\
%($2\leqslant i\leqslant n-1$) du premier tableau par les moyennes $y_{i}=\dfrac{x_{i-1}+x_{i}+x_{i+1}}{3}$.\\
%On obtient ainsi le tableau :
%\begin{center}
%$\begin{array}{|*{8}{c|}}
%\hline
%\text{Date}&t_{1}&t_{2}&\cdots&t_{i}&t_{n-1}&t_{n}\\
%\hline
%\text{Moyenne}&&y_{2}&\cdots&y_{i}&\cdots&y_{n+1}&\\
%\hline
%\end{array}$
%\end{center}
%On perd les première et  dernière  valeurs.\\\\
%\textbf{\textcolor{red}{Exemple ;}}\\
%Le tableau suivant donne les relevés de températures effectués 10 jours consécutifs, en un même lieu.
%\begin{center}
%$\begin{array}{|*{11}{c|}}
%\hline
%\text{Date}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
%\hline
%\text{Température}&12&16&8&12&17&14&9&5&12&15\\
%\hline
%\text{Moyennes mobiles d'ordre 3}&&12&12&12,33&14,33&13,33&9,33&8,67&10,67&\\
%\hline
%\end{array}$
%\end{center}
%On peut la représenter dans le même repère que la série non lissée :
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(15,27)
%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(12,20)
%\uput[d](0,0){0}
%\psdots(1,12)(2,16)(3,8)(4,12)(5,17)(6,14)(7,9)(8,5)(9,12)(10,15)
%\psline(1,12)(2,16)
%\psline(2,16)(3,8)
%\psline(3,8)(4,12)
%\psline(4,12)(5,17)
%\psline(5,17)(6,14)
%\psline(6,14)(7,9)
%\psline(7,9)(8,5)
%\psline(8,5)(9,12)
%\psline(9,12)(10,15)
%%%%%%%%%Série lissée
%\psdots(2,12)(3,12)(4,12.33)(5,14.33)(6,13.33)(7,9.33)(8,8.67)(9,10.67)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](2,12)(3,12)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](3,12)(4,12.33)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](4,12.33)(5,14.33)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](5,14.33)(6,13.33)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](6,13.33)(7,9.33)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](7,9.33)(8,8.67)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](8,8.67)(9,10.67)
%\uput[r](12,0){Date}
%\uput[u](0,25){Valeur}
%\psline(5,20)(6,20)\uput[r](6,20){Données}
%\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](5,18)(6,18)\uput[r](6,18){Moyennes}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\vspace{1cm}
%Voir aussi l'exemple du livre pages 44-45
%
%\subsection{\textcolor{red}{Effet de structure}}
%En 2006, le personnel d'une petite entreprise était constitué par 3 cadres et par 7 ouvriers.\\
%En 2007, la structure de l'entreprise change : il y a maintenant 2 cadres et 8 oucriers.
%Le salaire mensuel d'un cadre était alors de 10 000 ~\euro~ et celui d'un ouvrier de 1 000 ~\euro~.\\
%En 2007, le salaire mensuel d'un cadre est de 10 100~\euro~ et celui d'un ouvrier de 1 100 ~\euro~.\\\\
%De 2006 à 2007, le salaire moyen des cadres a augmenté car il est passé de 10000 à 10100 ~\euro~. De même, le salaire
%moyen des ouvriers a augmenté car il est passé de 1 000 à 1 100 ~\euro~.\\\\
%Calculons alors les salaires moyens dans l'entreprise en 2000 et en 2001 :\\
%En 2006, le salaire moyen valait : $\dfrac{3\times \nombre{10000}+7\times \nombre{1000}}{10}=\nombre{3700}$~\euro.\\
%En 2007, le salaire moyen valait : $\dfrac{2\times \nombre{10100}+8\times \nombre{1100}}{10}=\nombre{2900}$~\euro.\\
%Alors qu'on aurait pu s'attendre à une augmentation du salaire moyen, celui-ci diminue. Ce phénomène s'appelle \textbf{\textcolor{red}{effet de structure}}.\\\\
%
%\textbf{\textcolor{blue}{Autre exemple :}}\\
%Comparons deux entreprises qui emploient toutes deux \nombre{1000} ingénieurs qui se répartissent en quatre catégories.\\
%\textbf{\textcolor{red}{Entreprise 1 :}}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{6}{l|}}
%\hline
%Catégorie&1&2&3&4&Total\\
%\hline
%Effectif&100&200&300&400&\\
%\hline
%Salaire en euros&180&240&260&320&\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\textbf{\textcolor{red}{Entreprise 2 :}}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{6}{l|}}
%\hline
%Catégorie&1&2&3&4&Total\\
%\hline
%Effectif&80&190&350&380&\\
%\hline
%Salaire en euros&200&260&280&340&\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Comparer alors les deux salaires moyens.
%
%\subsection{\textcolor{red}{Tableaux à double entrée}}
%
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple}}
%Le tableau ci-dessous donne la répartition en effectifs des salariés d'une entreprise suivant le sexe et le type d'emploi.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
%\hline
%\backslashbox{A}{B}&cadre supérieur&cadre moyen&employé&Total\\
%\hline\hline
%homme&15&25&85&125\\
%\hline
%femme&5&15&155&175\\
%\hline
%Total&20&40&240&300\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\textbf{Tableau des fréquences par rapport à  l'ensemble :}\\
%Les pourcentages sont calculés par rapport à l'effectif total.\\
%Par exemple, il y a 5~\% d'hommes cadres supérieurs dans l'entreprise.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
%\hline
%\backslashbox{A}{B}&cadre supérieur&cadre moyen&employé&Total\\
%\hline\hline
%homme&5~\%&8,33~\%&28,33~\%&41,7~\%\\
%\hline
%femme&1,67~\%&5~\%&51,67~\%&58,3~\%\\
%\hline
%Total&6,67~\%&13,33~\%&80~\%&100~\%\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Par exemple, pour la première case : $\dfrac{15}{300}=5~\%$\\\\
%Signification des marges :\\
%La dernière colonne donne la répartition de la variable A dans la population.\\
%La dernière ligne donne la répartition de la variable B dans la population.\\\\
%On peut aussi s'intéresser au tableau  de répartition des fréquences de chaque type d'emploi selon le sexe :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
%\hline
%\backslashbox{A}{B}&cadre supérieur&cadre moyen&employé&Total\\
%\hline\hline
%homme&12~\%&20~\%&68~\%&100~\%\\
%\hline
%femme&2,86~\%&8,57~\%&88,57~\%&100~\%\\
%\hline
%Ensemble&6,67~\%&13,33~\%&80~\%&\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Exemple : le pourcentage des cadres supérieurs parmi les hommes est : $\dfrac{15}{125}=12~\%$.\\\\
%On peut aussi s'intéresser au tableau de répartition des sexes selon chaque type d'emploi :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
%\hline
%\backslashbox{A}{B}&cadre supérieur&cadre moyen&employé&Total\\
%\hline\hline
%homme&75~\%&62,5~\%&35,42~\%&41,67~\%\\
%\hline
%femme&25~\%&37,5~\%&64,58~\%&58,33~\%\\
%\hline
%Ensemble&100~\%&100~\%&100~\%&\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Le pourcentage de femmes parmi les cadres supérieurs est $\dfrac{5}{20}=25~\%$.
%
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Fréquence de $A_{i}$ sachant $B_{i}$}}
%\textbf{\textcolor{red}{Définition :}} \\
%\fbox{\begin{minipage}{18cm}La fréquence de la modalité $A_{i}$ sachant la modalité $B_{i}$ est égale à la fréquence des individus possédant les deux podalités $A_{i}$ et $B_{i}$ dans l'ensemble des individus possédant la modalité $B_{i}$.\\
%Elle est notée $f_{B_{i}}(A_{i})$.\end{minipage}}\\\\
%\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
%La fréquence d'être une femme sachant qu'il s'agit d'un employé est la fréquence d'être une femme employée parmi les employés, donc d'être iune femme parmi les employés : c'est 64,58~\% (voir dernier tableau).
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'un arbre}}
%On peut consigner les résultats obtenus dans un arbre.\\
%Par exemple, notons CS, CM et E respectivement les cadres supérieurs, les cadres moyens et les employés.\\
%On obtient par exemple l'arbre suivant :
%\begin{center}
%\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
%\pstree[treemode=R]{\Tdot}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$H$}\taput{\small $41,7~\%$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$CS$}\taput{\small $12~\%$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$CM$}\taput{\small $20~\%$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\tbput{\small $68~\%$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{\small $58,3~\%$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$CS$}\taput{\small $2,9~\%$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$CM$}\taput{\small $8,6~\%$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$E$}\tbput{\small $88,6~\%$}
%}
%}
%
%
%\end{center}
\end{document}
