\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Fonction dérivée}}
\date{}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\subsection*{\textcolor{red}{Activités A et B page 114}}

\subsection*{\textcolor{red}{Activité 1 page 116}}

\subsection{\textcolor{red}{Nombre dérivé et tangente}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Taux d'accroissement}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ ; soient $A\left(a~;~f(a)\right)$ et $B\left(b~;~f(b)\right)$ deux points de la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$.

\noindent Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}
\begin{center}
%$f(x)=0.09x^3-0.37x^2-0.93x+1.87$
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-3.)(7.,4.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-3.)(7.,4.)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{7.0}{0.0883529736747*x^(3.00000000000)-0.373353426504*x^(2.00000000000)-0.931002580468*x+1.87309977611}
\psplot{-4.}{7.}{(--1.50882518261--1.64010636532*x)/5.06}
\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3.14,-1.62)
%\rput[bl](-3.06,-1.5){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.2,2.3)
%\rput[bl](-1.12,2.42){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.82,-1.74)
%\rput[bl](2.9,-1.62){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.32,3.38)
%\rput[bl](6.4,3.5){\blue{$D$}}
%\rput[bl](-3.9,-6.5){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1.02,0.628801121589)
\rput[bl](1.1,0.74){\xdxdff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.08,2.26890748691)
\rput[bl](6.16,2.38){\xdxdff{$B$}}
%\rput[bl](-4.2,-0.86){$a$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Ce taux d'accroissement est le coefficient directeur de la droite sécante $(AB)$ à la courbe $\mathscr{C}_f$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Nombre dérivé}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On suppose $A(a~;~f(a))$ \textbf{fixe} et on considère un point $M$ variable. On note $a+h$ l'abscisse de $A$.

Le taux d'accroissement entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

\noindent Si ce nombre $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel quand $h$ tend vers 0, la sécante tend vers une \og{}croie limite\fg appelée tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ en a et ce nombre limite est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$.

\noindent On ne note $f'(a)$ et on écrit : $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} $f'(a)$ est alors le \textbf{\textcolor{red}{coefficient directeur de la tangente}} à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $a$.

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[Exemple 1]
\item $f(x)=x^2$

\noindent $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^2-h^2}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h$ qui tend vers $2a$ quand $h$ tend vers 0.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{f'(a)=2a}}$.

\noindent Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $a$ est $2a$.

\item $f(x)=\dfrac{1}{x}$

\noindent $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\frac1{a+h}-\frac1a}{h}=\dfrac{-\frac h{a(a+h)}}{h}=-\dfrac{1}{a(a+h)}$ qui tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$ quand $h$ tend vers 0.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}}}$

\noindent Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $a$ est $-\dfrac{1}{a^2}$.

\end{enumerate}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation de la tangente en $a$}}
La tangente en $a$ a pour coefficient directeur le nombre $f'(a)$.

\noindent Son équation est de la forme $y=mx+p$ avec $m=f'(a)$ donc $y=f'(a)x+p$.\\
La droite passe par le point de coordonnées $(a~;~f(a))$ donc les coordonnées de ce point vérifient l'équation : $f(a)=f'(a)a+p$.

$p=-f'(a)a+f(a)$

\bigskip

\noindent On en déduit : $y=f((a)x-f'(a)a+f(a)=f'(a)(x-a)=f(a)$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Léquation réduite de la tangente en $a$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)=f(a)}}$
\end{bclogo}

\bigskip

Exercices \no 1~;~2~;~3 page 119

\subsection{\textcolor{red}{Fonction dérivée}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction dérivée}}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} soit $f:x\mapsto x^2$.\\
Pour chaque nombre $a$, on peut calculer le nombre dérivé $f'(a)=2a$.\\
À chaque valeur de $a$, on peut associer le nombre dérivé $f'(a)=2a$.\\
On définit ainsi une fonction $f':a\mapsto f'(a)$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et admettant en chaque valeur $a$ de $I$ un nombre dérivé $f'(a)$.\\
On appelle fonction dérivée de $f$ la fonction $f:x\mapsto f'(x)$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f:x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$, alors $f':x\mapsto 2x$

\item Si $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]-\infty~;~0[$ ou sur $]0~;~=\infty[$ , alors $f':x\mapsto -\dfrac{1}{x^2}$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée des fonctions usuelles}}
\begin{center}
$\begin{array}{|*{2}{c|}}
\rowcolor{yellow!50} \text{Fonction }f&\text{Fonction dérivée }f'\\
\hline
f(x)=k,~k\in\mathbb{R}\text{ (fonctions constantes)}&f'(x)=0\\
\hline
f(x)=ax+b\text{ (fonctions affines)}&f'(x)=a\\
\hline
f(x)=x&f(x)=1\\
\hline
f(x)=x^2&f'(x)=2x\\
\hline
f(x)=x^n,ñ\in\mathbb{N}~(n\geqslant 2)&f'(x)=nx^{n-1}\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x}&f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x^n},~n\in\mathbb{N}^*&f(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}\\
\hline
f(x)=\sqrt{x}~(x\geqslant 0)&f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},~ x>0\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

Exemples : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=x^3$ ; $f(x)=x^n$ avec $n=3$ donc $f'(x)=nx^{n-1}=\boxed{\textcolor{red}{3x^2}}$

\item $f(x)=x^7=x^n$ avec $n=7$ : $f'(x)=nx^{n-1}=7x^6$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=7x^6}}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^5}=\dfrac{1}{x^n}$ abvec $n=5$ donc $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{5}{x^6}}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée d'une somme}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$.

\noindent Alors $f+g$ est dérivable et $(f+g)'=f'+g'$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : $u(x)=x^5+x^2$ ; $u=f+g$ avec $f(x)=x^5$ et $g(x)=x^2$.

\noindent $u'=(f+g)'=f'+g'$ avec $f'(x)=5x^4$ et $g'(x)=2x$.

\noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{u'(x)=5x^4+2x}}.
$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée du produit d'un réel par une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $k$ un réel et soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.

\noindent Alors $kf$ est dérivable sur $I$ et $(kf)'=kf'$.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemples :
\begin{enumerate}
\item  $f(x)=2x^5$ ; $f=ku$ avec $k=2$ et $u(x)=x^5$.

\noindent $f'=ku'$ avec $u'(x)=5x^4$ donc $f'(x)=2\times 5x^4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=10x^4}}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée d'une fonction polynôme}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soit $f:x\mapsto 3x^5+7x^2+2x-1$.

\noindent On peut voir $f$ comme $f=3u-7v+2w-t$ avec $u(x)=x^5$, $v(x)=x^2$, $w(x)=x$ et $t(x)=1$.\\
On a vu que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées et en appliquant la propriété sur la dérivée d'une constante multipliée par une fonction, on obtient :

\noindent $f'=3u'-7v'+2w'-t'$ avec $u'(x)=5x^4$, $v'(x)=2x$, $w'(x)=1$ et $t'(x)=0$.

\noindent On en déduit $f'(x)=3\times 5x^4-7\times 2x
+2\times 1-0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=15x^4-14x+2}}$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée d'un produit de deux fonctions}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle $I$, alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et \[(uv)'=u'v+uv'\]
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}}

\begin{enumerate}[a) ]
\item $f(x)=(7x-5)(2x+3)$ ; $f=uv$ avec $u(x)=7x-5$ et $v(x)=2x+3$.

\noindent $f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=7$ et $v'(x)=2$.

\noindent On en déduit $f'(x)=7(2x+3)+(7x-5)\times 2=7(2x+3)+2(7x-5)=14x+21+14x-10=\boxed{\textcolor{red}{28x+11}}$.

\item $f(x)=(2x+3)\sqrt{x}$ ; $f=uv$ avec $u(x)=2x+3$ et $v(x)=\sqrt{x}$.

\noindent $f=u'v+uv'$ avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=\dfrac{1}{é\sqrt{x}}$.

\noindent Alors $f'(x)=2\sqrt{x}+(2x+3)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{\left(2\sqrt{x}\right)^2+2x+3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{4x+2x+3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+3}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3(2x+1)}{2\sqrt{x}}}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de l'inverse d'une fonction}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $u$ ne fonction dérivable sur un intervalle $I$ et ne s'annulant pas.

\noindent Alors $\dfrac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et $\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}

$f(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$ sur $\mathbb{R}$ : $f=\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x^2+x+1$ qui ne sannume pas sur $\mathbb{R}$.

\noindent $f'=\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(x)=2x+1$.

\noindent Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée d'un quotient}} 
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $u$ et $v$ deux fonction dérivables sur $I$, $v$ ne s'annulant pas sur $I$.

\noindent Alors $\dfrac{u}{v}$ est dérivable et $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} :

\noindent $f(x)=\dfrac{2x+3}{7x-1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{7}\right\}$.

\noindent $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x+3$ et $v(x)=7x-1$.

\noindent $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=7$.

\noindent Par conséquent : $f'(x)=\dfrac{2(7x-1)-7(2x+3)}{(2x+3)^2}=\dfrac{14x-2-14x-21}{(2x+3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{23}{(2x+3)^2}}}$

\subsection{\textcolor{red}{Sens de variation et dérivée}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f'$ est strictement positive (en s'annulant éventuellement en des points isolés), alors $f$ est croissante.

\item Si $f'=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

\item Si $f'$ est strictement négative (en s'annulant éventuellement en des points isolés), alors $f$ est décroissante.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :

\begin{enumerate}
\item $f:x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=3x^2\geqslant 0$ ($f'(x)=0$ pour $x=0$).

\noindent $f$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$, $\mathscr{C}_f$ admettant une tangente horizontale en 0

\noindent Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Soit  $f=x\mapsto x^2$ : $f'(x)=2x$ ; $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ ; $f'(x)>0\Leftrightarrow x>0$

\noindent On en déduit le tableau de variation
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item Soit $f:x\mapsto x^3+5x^2+3x-1$ sur $\mathbb{R}$.

\noindent $f'(x)=3x^2+10x+3$

\noindent Étudions le signe : $\Delta=100-36=64>0$. Il y a deux racines : -3 et $-\dfrac{1}{3}$.

Le coefficient de $x^2$ est 3, positif, donc $3x^2+10x+3$ est positif (du signe de 3) sur $]-\infty~;~-3]\cup\left[-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$ et négatif sur $\left[-3~;~-\dfrac{1}{3}\right]$.

\noindent On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-\dfrac{1}{3}&&\pI\\
\hline
3x^2+10x+3&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&&\d&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\newpage
\subsection{\textcolor{red}{Liens Internet vers le site euler pour s'entraîner}}

\subsubsection*{\textcolor{red}{Exercices guidés :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/derivee39.jsp}{Calculer la fonction dérivée d'une fonction polynôme en indiquant les propriétés utilisées}

\item  \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/derivee40.jspCalculer la fonction dérivée de l'inverse d'une fonction polynôme en indiquant les propriétés utilisées }{Calculer la fonction dérivée de l'inverse d'une fonction polynôme en indiquant les propriétés utilisées}

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/derivee41.jsp}{Calculer la fonction dérivée d'une fonction rationnelle en indiquant les propriétés utilisées }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/derivee46.jsp}{Calculer la fonction dérivée du produit d'une fonction polynôme et de la fonction racine carrée en indiquant les propriétés utilisées}

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/derivee47.jsp}{Calculer la fonction dérivée du produit de deux fonctions polynômes en indiquant les propriétés utilisées }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/derivee48.jsp}{Calculer la fonction dérivée d'une fonction homographique en indiquant les propriétés utilisée}

\end{enumerate}


\subsubsection*{\textcolor{red}{Générateur d'exercices (cliquer sur format .pdf)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee1.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée d'une fonction monôme }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee2.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée d'une fonction polynôme}

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee3.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée de l'inverse d'une fonction polynôme}

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee4.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée d'une fonction rationnelle }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee9.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée du produit d'une fonction polynôme et de la fonction racine carrée }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee10.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée du quotient d'une fonction polynôme et de la fonction racine carrée}

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee11.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée du produit de deux fonctions polynômes }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee12.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée d'une fonction homographique }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee13.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée d'une fonction rationnelle dont le numérateur est une fonction affine et le dénominateur une fonction trinôme du second degré }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/derivee/operations/latex/derivee14.jsp}{Expression algébrique de la fonction dérivée d'une fonction rationnelle dont le numérateur est une fonction trinôme du second degré et le dénominateur une fonction affine }

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  