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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES-L : Correction du contrôle commun du 12 février}}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

%Cet exercice est un Q.C.M.. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Vous écrirez sur votre copie le numéro de la
%question et la lettre correspondant à votre réponse. On justifiera chaque réponse !

\noindent Les questions 1), 2) et 3) concernent le prix d'une denrée qui augmente de 3,6\:\% la première année et augmente de 20\:\% la
deuxième année.
\begin{enumerate}
\item %À l'issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par :

%a. 0,964\hspace{3cm} b. 1,036\hspace{3cm} c. 1,360\hspace{3cm} d. 0,096

Le taux d'augmentation est 3,6\:\% donc le coefficient multiplicateur correspondant est $C=1+t=1+\dfrac{3,6}{100}=\boxed{\textcolor{red}{1,036}}$ (\textbf{\textcolor{blue}{réponse b.}})

\bigskip

\item %À l'issue des deux années, ce prix a augmenté de :
%
%a. 7,2\:\%\hspace{3cm} b. 24,32\:\%\hspace{3cm} c. 16,4\:\%\hspace{3cm} d. 23,6\:\%
Le prix subit deux augmentations successives de taux respectifs $t_1=3,6\:\%$ puis $t_2=20\:\%$.

Le coefficient multiplicateur global est \\
$C=C_1\times C_2=\left(1+t_1\right)\left(1+t_2\right)=1,036\times 1,2=1,2432$.
Le taux global est $T=C-1=0,2432=24,32\:\%$. (\textbf{\textcolor{blue}{réponse b.}})
\bigskip

\item %Si cette denrée avait augmenté de 3,6\:\% pendant 7 ans, le taux d'évolution pour ces sept années aurait été, à 0,1\:\% près de :

%a. 25,2\:\%\hspace{3cm} b. 28,1\:\%\hspace{3cm} c. 23,6\:\%\hspace{3cm} d. 27,2\:\%
Supposons que cette denrée a augmenté de 3,6\:\% pendant 7 ans.

Le coefficient multiplicateur annuel est $1+\dfrac{3,6}{100}=1,036$ donc le coefficient multiplicateur global est $C=1,036^7$ ; 

le taux d'évolution correspondant est $T=C-1\\
=1,036^7-1=\approx 0,281\approx \boxed{\textcolor{red}{28,1\:\%}}$ (réponse b.)
\bigskip

\item Un prix TTC est de 129,90 € pour une T.V.A. à 19,6\:\%.% Le prix H.T. arrondi au centime est de :

%a. 155,36 \euro{}\hspace{3cm} b. 110,30 \euro{}\hspace{3cm} c. 108,61 \euro{}
Le coefficient multiplicateur permettant de passer du prix H.T. au prix T.T.C. est $C=1+19,6\:\%=1+\dfrac{19,6}{100}=1,196$.

Si $x$ est le prix H.T. cherché, on a $1,196x=129,90$ donc $x=\dfrac{129,90}{1,106}\approx \boxed{\textcolor{red}{108,61}}$ (réponse c.)

\bigskip

\item Le prix d'un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60\:\% durant l'année 2005. 
%Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de :

%a. 70\:\%\hspace{2cm} b. 60\:\%\hspace{2cm} c. 40\:\%\hspace{2cm} d. 37,5\:\%
Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{60}{100}=1,6$.

Le taux d'évolution réciproque est $T=\dfrac{1}{C}-1=\dfrac{1}{1,6}-1\\
=-0,375=\boxed{\textcolor{red}{-37,5\:\%}}$.

Le prix doit baisser de 37,5\:\% (réponse d.)

\bigskip

\item %Pour l'achat d'un baril de lessive, vaut-il mieux :

%\begin{tabular}{*{3}{p{6cm}l}}
%a. 10\:\% de réduction du prix ?\hspace{1.5cm}b. 10\:\% de produit en plus ? \hspace{1.5cm}c. Tout dépend du poids du baril
%a. 10\:\% de réduction du prix ?&b. 10\:\% de produit en plus ?&c. Tout dépend du poids du baril
%\end{tabular}
Notons $m$ le poids du baril de lessive et $P$ sont prix.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si le prix baisse de $10\:\%$, il est multiplié par 0,9 donc vaut 0,9P pour un poids $m$.

\item On suppose que le poids augmente de 10\:\% ; le poids est alors de $1,1m$ pour un prix $P$.

Pour une masse $m$, le prix correspondant serait (par proportionnalité) \\
$\dfrac{P}{1,1}\approx 0,909P>0,9P$ (on compare les prix à masse égale)
\end{enumerate}

Il vaut donc mieux une réduction du prix de 10\:\% (réponse a.)

\end{enumerate}


\subsection{}
On considère la fonction $B$ définie sur $[0~;~+\infty[$ qui représente les bénéfices, exprimées en milliers d’euros, pour une production de $x$ dizaines d’unités, dans une usine La Pomme :
\[B(x) = \left(-2x^2+6x +20\right) (4x +3).\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $B$ sur $[0~;~+\infty[$ et résumer votre étude dans un tableau de signe.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0+\infty[$, $4x+3>0$.

\item Signe de $-2x^2+6x +20$ ; le discriminant est \\
$\Delta=6^2-4\times (2)\times 20=36+160=196=14^2>0$ :

il y a deux racines : $x_1=\dfrac{-6+\sqrt{196}}{-4}=\dfrac{-6+14}{-4}=-2$ et $x_2=\dfrac{-6-14}{-4}=5$.

Un trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$ à m'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé entre les racines.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} (sans oublier que $x$ est positif !) :

\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&5&&\pI\\
\hline
4x+3&&&+&\l&+&\\
\hline
-2x^2+6x+20&&&+&\z&-&\\
\hline
B(x)=\left(-2x^2+6x +20\right)(4x+3)&&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire la plage de production permettant de réaliser des bénéfices.
L'entreprise réalise des bénéfices pour $0\leqslant x\leqslant 5$, done pour une production entre 0 et 50 unités.

\item %À l’aide de la calculatrice, élaborer une stratégie pour conjecturer le bénéfice maximal et la production associée.
Pour conjecturer le bénéfice maximal et la production associée, on réalise un tableau de valeurs pour $0\leqslant x\leqslant 5$ (car le bénéfice maximal ne eut être que positif !)

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
x&0&1&2&3&4&5\\
\hline
f(x)&60&168&264&300&228&0\\
\hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}
On en déduit que le bénéfice maximum est réalisé pour la production de 3 dizaines d'objets, donc de 30 objets.



\subsection{}

Une entreprise fabrique un modèle de meuble en bois. Elle peut produire au maximum 150 meubles par jour. 
\noindent L'entreprise est ouverte cinq jours par semaine.

\bigskip

\textbf{\textbf{\textcolor{blue}{Partie A: Lectures graphiques.}}}

\bigskip

%Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :


\begin{enumerate}
\item %Quel est le montant des charges pour 50 meubles produits par jour ?
Pour 50 meubles produits par jour, le montant des charges est $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5000}}}$ \euro. 

\item %Combien de meubles sont produits par jour pour un montant des charges de 30 000 \euro{} ?
%:
Pour un montant des charges de 30 000 \euro{}, il est produit environ $\boxed{\textcolor{red}{117}}$ meubles. 

\item %Quelles quantités produites par jour permettent à l'entreprise de réaliser du bénéfice ?
L'entreprise réalise des bénéfices lorsque le chiffre d'affaires est supérieur aux charges, c'est-à-dire pour une quantité de meubles fabriqués comprise \textbf{\textcolor{red}{entre environ 0 et 135 meubles}}.


\end{enumerate}

\bigskip

\psset{xunit=0.04cm,yunit=0.00015cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-50.,-5000.)(160.,55000.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=5000.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.,-2500.)(160.,55000.)
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{0}{160}{2.25*x^(2.0)-6.0*x+20.0}
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{0}{160}{299.0*x}
\uput[r](50,5345){Charges}
\uput[u](25,15000){Chiffre d'affaire}
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,55000)}
\multido{\n=0+5000}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(160,\n)}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=2pt](50,0)(50,5000)\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=2pt]
(50,5000)(0,5000)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=2pt](118,0)(118,30000)\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=2pt]
(118,30000)(0,30000)

\end{pspicture*}

\textbf{\textbf{\textcolor{blue}{Partie B. Étude du bénéfice.}}}

\bigskip


Le montant des charges correspondant à la fabrication de $x$ meubles, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [ 0~;~150 ] par :
\[C( x)=2,25 x^2-6 x+20\]
On suppose que l'entreprise vend chaque jour sa production journalière. On modélise le chiffre d'affaire réalisé par l'entreprise
par la vente de $x$ meubles par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [ 0~;~150 ] par :
\[R( x)=299 x\]
\begin{enumerate}
\item %Quelles sont les charges fixes, c'est-à-dire les charges pour l'entreprise lorsqu'elle ne produit rien ?
Les charges fixes sont $C(0)=20$, donc sont égales à $\boxed{\textcolor{red}{20 \text{\euro}}}$. 

\item %Quel est le prix unitaire de vente d'un meuble ?
Le prix unitaire de vente d'un meuble est $\boxed{\textcolor{red}{299 \text{\euro}}}$.

\item %Calculer le montant des charges ainsi que le chiffre d'affaire réalisé pour la vente de 50 meubles. L'entreprise réalise-telle
%du bénéfice pour la vente de 50 meubles ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le montant des charges pour la vente de 50 meubles est $C(50)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5345} \text{\euro}}}$.

\item Le chiffre d'affaires correspondant est \\
$R(50)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{14950}\text{ \euro}}}$.

\item Le bénéfice est alors :\\
$B(50)=R(50)-C(50)=\\
\numprint{14950}-5345=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{9605}\text{ \euro}}}$.
\end{enumerate}

\item On note $B$ la fonction bénéfice, en euros, définie sur l'intervalle [0~;~150].

% Montrer que :
%\[B(x)=-2,25x^2+305x-20\text{ pour tout }x\in[0~;~150]\]
$B(x)=R(x)-C(x)=299x-\left(2,25 x^2-6 x+20\right)\\
=-2,25x^2+6x+299x-20=\boxed{\textcolor{red}{-2,25x^2+305x-20}}$.

\item %Résoudre l'inéquation $B(x)>0$. En déduire les quantités de meubles que l'entreprise doit vendre afin qu'elle réalise du
%bénéfice.
$B(x)$ est une trinôme du second degré. Pour résoudre l'inéquation $B(x)>0$, on calcule le discriminant :

$\Delta=305^2-4\times (-2,25)\times (-20)=\numprint{93025}-180=\numprint{92345}>0$.

Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{-305-\sqrt{\numprint{92345}}}{-4,5}\boxed{\textcolor{red}{\approx 135,5}}$ et \\
$x_2=\dfrac{-305+\sqrt{\numprint{92345}}}{-4,5}\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,07}}$.

Le bénéfice est positif (du signe opposé à celui du coefficient de $x^2$) entre les racines, donc pour une production allant de 1 à 135 objets. (car $x$ est un nombre d'objets, donc un nombre entier !)


\item 
\begin{enumerate}
\item %Établir le tableau de variation de la fonction $B$.

$B$ est une fonction polynôme du second degré, avec une coefficient de $x^2$ négatif. Elle est d'abord croissante puis décroissante, avec un maximum atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{305}{-4,5}=\dfrac{610}{9}\approx 67,7$.

Tableau de variation de la fonction $B$ :

\begin{variations}
x&0&&\dfrac{610}{9}&&150\\
\hline
B(x)&-20&\c&\h{\approx 10316,11}&\d&-4895\\
\hline
\end{variations}

\item %Combien de meubles l'entreprise doit-elle vendre afin de réaliser un bénéfice maximal ? Quel est le montant de ce
%bénéfice ?
$\dfrac{910}{9}\approx 67,67$. L'entreprise doit fabriquer environ 67 ou 68 objets pour qu'elle réalise un bénéfice maximal.

$B(67)\approx 10314,75$ \euro{} et $B(68)= 10316$ \euro{}.

L'entreprise doit fabriquer \textbf{\textcolor{red}{68 objets}} pour avoir un bénéfice maximum.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
\label{annexe}
Un organisme de formation d'adultes a organisé un test de compréhension d'un texte en français.

\noindent Les scores vont de 0 à 10.

\noindent Pour un premier groupe de 60 stagiaires, les résultats sont les suivants :

\bigskip

\textbf{Groupe 1}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Score&4&6&7&8&9&10\\
\hline
Effectif&5&22&18&10&4&1\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

Pour un autre groupe de 20 stagiaires dont la langue maternelle n'est pas le français, on a obtenu les résultats suivants :

\bigskip

\textbf{Groupe 2}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Score&0&1&2&3&4&6\\
\hline
Effectif&1&2&5&9&1&2\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la médiane, le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ de ces deux séries.
\textbf{\textcolor{blue}{Groupe 1}} : l'effectif total est $N=60$, nombre pair ; \\
$60=2\times 30$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La médiane est la moyenne entre $x_{30}$ et $x_{31}$, donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=\dfrac{7+7}{2}=7}}$.

\item $\dfrac{N}{4}=\dfrac{60}{6}=15$ donc $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=x_{15}=6}}$

\item $\dfrac{3N}{4}=3\times 15=45$ donc $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=x_{45}=7}}$ 

\item \textbf{\textcolor{blue}{Résumé}} : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=5~;~\text{Me}=Q_3=7}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Groupe 2}} : l'effectif total est 20, nombre pair ; $20=2\times 10$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\text{Me}=\dfrac{x_{10}+x_{11}}{2}=\dfrac{3+3}{2}=3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=3}}$

\item $\dfrac{N}{4}=\dfrac{20}{4}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=x_5=2}}$

\item $\dfrac{3N}{4}=15$ donc $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=x_{15}=3}}$


\item \textbf{\textcolor{blue}{Résumé}} : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=2~;~\text{Me}=Q_2=3}}$
\end{enumerate}

\item %Construire sur le même axe gradué en annexe, les diagrammes en boîte de ces deux séries.


Diagrammes à la fin. (cliquer \hyperlink{diagrammes}{\textbf{\textcolor{blue}{ici}}})

\item \hypertarget{retour}{\textbf{\textcolor{white}{ici}}}
%À l'aide des diagrammes, comparer les deux groupes.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Plus de 75\:\% des valeurs de la série 2 sont inférieurs au minimum de la série 1.

\item 75\:\% des valeurs de la série 1 sont supérieurs au maximum de la série 2.

\item 75\:\% des valeurs de la série 1 sont entre 6 et 7 tandis que 75\:\% des valeurs de la série 2 sont entre 2 et 3.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la moyenne et l'écart-type de chaque série. Arrondir au dixième.
\columnbreak
\textbf{\textcolor{blue}{Groupe 1}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La moyenne est $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}=\dfrac{404}{60}\approx 6,7}}$

\item L'écart-type est $\boxed{\textcolor{red}{\sigma\approx 1,28}}$ (calculé à la calculatrice)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Groupe 2}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La moyenne est $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}=\dfrac{55}{20}=2,75}}$

\item L'écart-type est $\boxed{\textcolor{red}{\sigma\approx 1,41}}$ (calculé à la calculatrice)
\end{enumerate}

\item %À l'aide de ces nouveaux éléments, compléter la comparaison des deux groupes.
L'écart-type de la seconde série est plus élevé que celui de la première série : les valeurs sont donc plus dispersées autour de la moyenne dans la deuxième série que dans la première.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\textbf{\textcolor{blue}{Diagrammes en boîtes de l'exercice IV}} :
\hypertarget{diagrammes}{\textbf{\textcolor{white}{ici}}}

Pour revenir à la réponse suivante, cliquer \hyperlink{retour}{\textbf{\textcolor{blue}{ici}}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1.6cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.8)(18.1,3.4)
\def\xmin{0} \def\xmax{18} \def\ymin{0} \def\ymax{2.6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.8)(18.1,3.4)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=3.6cm}
\psgrid[griddots=25,gridlabels=0pt,gridwidth=.8pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.8pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(0,0)(18,2.6)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
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\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](6,0.8)(7,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(7,0.8)(7,1.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(5,1.2)(6,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(7,1.2)(10,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(5,1.05)(5,1.35)
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\psframe[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid](2,2)(3,2.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,2)(3,2.8)
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\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(3,2.4)(6,2.4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(0,2.25)(0,2.55)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid]{-}(6,2.25)(6,2.55)
\uput[d](6,1){$Q_1$}\uput[d](7.5,1){$\text{Me}=Q_3$}
\uput[u](2,3){$Q_1$}\uput[u](3.5,3){$\text{Me}=Q_3$}
\uput[r](10,1.2){Groupe 1}
\uput[r](10,2.55){Groupe 2}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Ox=\xmin,Oy=\ymin]{-}(\xmin,0)(\xmin,0)(\xmax,0.1)
\end{pspicture*}

\end{center}


\label{fin}
\end{document} 