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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES : correction du devoir sur feuille}}\end{center}




\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/DM2-1ES2-1L-as-2015-20161.pdf
Après une hausse suivie d'une baisse d'un taux trois fois plus important que celui de la hausse, un article de sport coûte au final 92 \euro.

%Déterminer le prix initial de cet article, le taux de hausse et celui de baisse, sachant que globalement, le prix a baissé de 30\:\%.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient multiplicateur global est $C=1-30\:\%=0,7$ ; le prix initial est donc $\dfrac{92}{C}=\dfrac{92}{0,7}\approx \boxed{\textcolor{red}{131,43\text{ \euro}}}$.



\item Soit $t$ le taux de hausse ; le taux de baisse est alors $-3t$.

Le coefficient multiplicateur global est $C=(1+t)(1-3t)=0,7$ donc $1-2t-3t^2=0,7\Leftrightarrow 3t^2+2t-0,3=0$.

$\Delta=7,6>0$ ; il a deux solutions : 

$t_1=\dfrac{-2-\sqrt{7,6}}{6}\approx -0,792801625069674$, impossible car $t>0$

$\boxed{\textcolor{red}{t_2=\dfrac{-2+\sqrt{7,6}}{6}\approx 0,1261}}$, soit environ 12,61\:\%

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre :

\begin{enumerate}
\item $x^2-x-3(x-1)=0\Leftrightarrow x(x-1)-3(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0$ ; l'ensemble des solutions est alors $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{1~;~3\right\}}}$

\item $(2-3x)^2\leqslant (1-x)^2\Leftrightarrow (2-3x)^2-(1-x)^2\leqslant 0\Leftrightarrow [(2-3x)+(1-x)][(2-3x)-(1-x)]\leqslant 0\Leftrightarrow (3-4x)(1-2x)\leqslant 0$.

Les racines sont $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{4}$ ; c'est une inéquation du second degré ; le coefficient de $x^2$ est 8, positif. L'expression est négative donc du signe posé à 8 entre les racines.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{4}\right]}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Une entreprise développe des jeux vidéo.

Pour une quantité $x$, exprimée en milliers de jeux, le coût total en milliers d'euros est de : \[C(x)=50x-0,1x^2+10\text{ avec }x\in[0~;~100].\]
La recette est alors $R(x)=48x$.

Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer le bénéfice en fonction de $x$.
Le bénéfice est $B(x)=R(x)-C(x)=48x-[50x-0,1x^2+10]=0,1x^2-2x-10$ ; $\boxed{\textcolor{red}{B(x)=0,1x^2-2x-10}}$

\item %À partir de combien de jeux vidéo l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
L'entreprise est bénéficiaire si le bénéfice est positif.

Le discriminant vaut $\Delta=(-2)^2-4\times 0,1\times (-10)=8>0$.

Les racines sont $x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{0,2}=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{0,2}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{0,1}=10\left(1-\sqrt{2}\right)<0$ et $x_2=10\left(1+\sqrt{2}\right)\approx \numprint{24,1421}>0$

Le coefficient de $x^2$ est positif, donc le bénéfice est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines, donc sur $\left[x_2~;~100\right]$, donc pour une fabrication comprise entre \numprint{24143} objets et \numprint{100000} objets.

\item %Montrer que $B(x)=0,1(x-10)^2-20$.
$B(x)=ax^2+bx+c=a(x+\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=B(\alpha)$

Ici : $a=0,1$~;~$b=-2$ et $x=-10$ donc $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{0,2}=10$ ; $\beta=B(10)=-20$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{B(x)=0,1(x-10)^2-20}}$.

\item %En déduire le déficit maximal de l'entreprise et le nombre de jeux vidéo à produire pour y parvenir.
Le déficit maximal est donc de 20 milliers d'euros, atteint pour $x=10$, donc une fabrication de \numprint{10000} objets.

\item %En déduire le bénéfice maximal de l'entreprise.
Le bénéfice est croissant sur $[10~;~100]$ donc maximum pour une fabrication de \numprint{100000} objets et vaut 790 milliers d'euros.
\end{enumerate}



\newpage



\subsection{}%http://cm.maths-lfb.fr/index.php?page=spe1l-ds-11-12
On considère la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par \[f(x)=\dfrac{2x^{2}-x-8}{x+2}\]

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f'(x)=\dfrac{2(x^{2}+4x+3)}{(x+2)^{2}}$
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x^2-x-8$ et $v(x)=x+2$.

$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=4x-1$ et $v'(x)=1$.

Alors $f'(x)=\dfrac{(4x-1)(x+2)-\left(2x^2-x-8\right)}{(x+2)^2}=\dfrac{4x^2+8x-x-2-2x^2+x+8}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2+8x+6}{(x+2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\left(x^2+4x+3\right)}{(x+2)^2}}}$.

\item %Justifier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.\par (les limites ne sont pas exigées)
2 et $(x+2)^2>0$ sur l'ensemble de définition donc $f'(x)$ est du signe de $x^2+4x+3$.

$\Delta=4>0$ ; il y a deux racines : $x_1=\dfrac{-4-2}{2}=-3$ et $x_2=\dfrac{-4+2}{2}=-1$.

$x^2+4x+3$ est un trinôme du second degré ; il est positif (du signe du coefficient de $x^2$) pour $x$ à l'extérieur des racines, donc sur $[-1~;~+\infty[$.

Tableau de variation : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-1&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\d&-5&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %La fonction $f$ admet-elle un extremum ? Si oui, lequel ?
La fonction $f$ admet un minimum, -5, atteint en $x=-1$.
\end{enumerate}

\item %Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$.
L'équation réduite de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Ici, $a=0$, donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{3}{2}x-4}}$.

\item %Déterminer l'équation de la tangente $T'$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $-\dfrac{3}{2}$.
Ici, $a=-\dfrac{3}{2}$ ; on trouve $y=-6x-13$

\item %Tracer $C_{f}$, $T$ et $T'$ dans un repère orthonormal d'unité $1\:cm$.
Courbe et tangentes :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-7.)(4.,5.)
\multips(0,-7)(0,1.0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(4.,0)}
\multips(-3,0)(1.0,0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-7.)(0,5.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-7.)(4.,5.)
\psgrid[subgriddiv=1](-3.,-7.)(4.,5.)
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{-3.0}{4.0}{(2.0*x^(2.0)-x-8.0)/(x+2.0)}
\psplot[linewidth=1.pt,linecolor=red]{-3.}{4.}{(-4.--1.5*x)/1.}
\psplot[linewidth=1.pt,linecolor=blue]{-3.}{4.}{(-13.-6.*x)/1.}
\uput[ul](3,1.5){$C_f$}
\uput[d](4,2){$T$}
\uput[u](2,-1){$T'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition (élasticité)}}
On note $p$ le prix d’un produit en euros et $f(p)$ la demande liée à ce produit pour le prix $p$. L’élasticité $E(p)$ de la demande par rapport au prix $p$ est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1\:\% du prix $p$.
\end{bclogo}

\bigskip
La demande $f(p)$ d’un produit proposé à un prix $p\in [ 11~;~+\infty[$ (en euros) est donnée par \[f(p)=\dfrac{\numprint{100000}p}{ p^2- 100}.\]
\textbf{\textcolor{red}{Etude de la demande}}
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la demande pour $p = 11$, $p = 15$ et $p = 90$ en arrondissant si nécessaire à l’unité près. 
$f(11)=\dfrac{\numprint{1100000}}{21}$ ; $f(15)=\numprint{12000}$ et $f(90)=\numprint{1125}$.

\item %Vérifier que $f ( p ) > 0$ pour tout $p > 11$.
$p^2-100=(p-10)(p+10)$ donc $p^2-100>0$ pour $p>11$ et $\numprint{100000}p>0$ pour $p>11$, donc $f(p)>0$ pour $p>11$.

\noindent %Montrer que $f$ est décroissante sur $[11~;~+\infty[$.
$f=\numprint{100000}\dfrac{u}{v}$ avec $u(p)=p$ et $v(p)=p^2-100$.

$f'=\numprint{100000}\times \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(p)=1$ et $v'(p)=2p$.

Alors : $f'(p)=100000\times \dfrac{p^2-100-2p^2}{\left(p^2-1\right)^2}=\numprint{100000}\times \dfrac{-p^2-100}{\left(p^2-1\right)^2}<0$ pour $p>11$ donc $f$ est décroissante sur $[11~;~+\infty[$.

\item On suppose que le prix $p$ , initialement à 15\euro{}, subit une augmentation de 1\:\%.
\begin{enumerate}
\item % Calculer le nouveau prix $p_1$ , ainsi que la demande correspondante à ce prix, arrondie à l’unité près. 
Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 1\:\% est 1,01 donc le nouveau prix est $p_1=15\times 1,01=15,15$.

$f(15)=\numprint{12000}$ ; $f(15,15)\approx 11696,81$.

\item %En déduire $E(15)$ , l’élasticité de la demande par rapport au prix de 15 \euro.
L'élasticité $E(15)$ est donc $\dfrac{11696,81-12000}{12000}\approx -0,0252$ donc -2,52\:\%.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}


 
 \subsection{}%http://cm.maths-lfb.fr/index.php?page=spe1l-ds-12-13
La pesée automatique d'un lot de 20 barquettes d'un produit alimentaire a donné les résultats suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Masse en g & 300 & 303 & 307 & 308 & 309 & 310 & 311 & 312 & 313 & 314 & 315 & 317 & 318 & 319 \\
\hline
Effectif & 1 & 1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Un lot est accepté si les trois conditions sont remplies :
\begin{itemize}
\item le poids moyen $m$ d'une barquette est de 310 g à 1 g près ;
\item l'écart type $s$ des poids est inférieur à 5 g ;
\item 80 \% au moins des poids sont dans l'intervalle $[m-s;m+s]$.
\end{itemize}
%Qu'en est-il de ce lot ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La moyenne vaut : $m=\dfrac{\numprint{6213}}{20}=\boxed{\textcolor{red}{310,65\in[309~;~311]}}$

\item L'écart-type est $s\approx \boxed{\textcolor{red}{4,55<5}}$ (calculé à la calculatrice) 

\item $[m-s~;~m+s]=]306,90~;~315,21]$ ; 15 valeurs sont dans cet intervalle.

$\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}=\boxed{\textcolor{red}{75\:\%\leqslant 80\:\%}}$
\end{enumerate}
On en déduit que ce lot est n'est pas accepté.

\subsection{}
Cet exercice propose de comprendre sur un exemple, pourquoi certains objets usuels ont tous la même forme.

Pour réduire les coûts de fabrication, une entreprise doit fabriquer des casseroles cylindriques de volume $v$ donné en utilisant le moins de métal possible. (on ne tient pas compte du manche)

On. note $h$ la hauteur d'une casserole, $x$ le rayon du disque du fond et $S$ l'aire totale (aire latérale + aire du fond).

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.
Le volume du cylindre est $v=\pi x^2h$ donc $h=\dfrac{v}{\pi x^2}$.

L'aire latérale du cylindre est celle d'un rectangle, de longueur le périmètre de la base du cylindre et de hauteur celle du cylindre, donc vaut $2\pi xh=\dfrac{2\pi xv}{\pi x^2}=\dfrac{2v}{x}$.

On en déduit que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.
Soit $f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.

$f'(x)=2\pi x+2v\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=2\pi x-\dfrac{2v}{x^2}=\dfrac{2\left(\pi x^3-v\right)}{x^2}$.

$f'(x)=0\Leftrightarrow x^3=\dfrac{v}{\pi}$ donc $x=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$ et, comme la fonction cube est croissante, $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant \sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$.

Tableau de variation :

\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\d&f\left(\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}\right)&\c&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\item %En déduire, pour un volume $v$ fixé, la valeur de $x$ pour laquelle le coût de fabrication d' une casserole est le plus bas.
Pour $v$ fixé, la valeur de $x$ pour laquelle le coût de fabrication d' une casserole est le plus bas est $\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : posons $\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$.

La hauteur de la casserole est alors $h=\dfrac{v}{\pi \alpha^2}=\dfrac{v\alpha}{\pi\alpha^3}=\dfrac{v\alpha}{\pi\times \dfrac{v}{\pi}}=\alpha$.

La casserole a alors une hauteur égale au rayon de la base. Ainsi les casseroles ont-elles toutes la même forme (hauteur égale au rayon de base) car ainsi la quantité de métal utilisé pour la fabrication est minimum.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document} 