\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage{paralist}
\usepackage{tabto}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : contrôle sur le second degré}}\end{center}


\subsection{}
Résoudre l' équation :  $5x^2+2x+3=0$


%\subsection{}
%Résoudre l'équation $x^4-x^2-2=0$

\subsection{}
Résoudre l' inéquation (on n'oubliera pas de donner l'ensemble des solutions !) : $-3x^2+4x-7<0$

%\subsection{}
%Un capital de \numprint{10000} euros est placé à un taux de t\:\% puis l’année suivante au taux de ( t + 2)\:\%.
%
%Au bout de deux ans, le capital obtenu est de \numprint{11235} euros.
%\begin{enumerate}
%\item Expliquer pourquoi $t$ est solution de l’équation : $t^2 + 202 t - 1035 = 0$.
%
%\item Calculer le taux $t$.
%\end{enumerate}
%


%\subsection{}
%On considère la fonction $f$ , définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f ( x ) =- x^2 + x + 2.\] 
%
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer les racines de $f$ sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire  les solutions de l'équation $f(x)=0$).
%
%\item En déduire l’expression factorisée de $f$ si cela est possible.
%
%\item Dresser le tableau de signe de $f(x)$.
%
%\item Résoudre l’inéquation $f(x)>0.5$.
%
%\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en faisant apparaitre les racines éventuelles dans le tableau.
%
%\item Construire $\mathscr{C}_f$ , la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère ci-dessous (on fera apparaitre clairement le sommet et les racines).
%
%\item On considère la fonction $g$ , définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x)=x^2+3x-10\]
%
%Étudier la fonction $g$ (variations, racines et tableau de variations) puis construire sur le même graphique de l’annexe, $\mathscr{C}_g$ , la courbe représentative de la fonction $g$ (on fera apparaitre clairement le sommet et les racines).
%
%\item Résoudre graphiquement, puis par le calcul l’inéquation : \[f(x)\geqslant g(x).\]
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=3x^2-8x+4$ et $g(x)=2x+12$.

On note $\mathscr{P}$ la parabole représentative de $f$ et $\Delta$ la droite représentative de $g$.

$\mathscr{P}$ est représentée sur le graphique ci-dessous.

\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8,-6)(6,22)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-8,-6)(6,22)
\psgrid[subgriddiv=1](-8,-6)(6,22)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=2pt]{-6}{6}{3.0*x^(2.0)-8.0*x+4.0}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-6}{6}{2.0*x+12.0}
\uput[ul](0,0){0}
\uput[r](3,7){$\mathscr{P}$}
\end{pspicture*}

\begin{enumerate}
\item Déterminer,par un calcul, les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{P}$ avec l'axe des abscisses.

\item Tracer la droite $\Delta$.

\item Trouver les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{P}$ et de $\Delta$.
\end{enumerate}

\subsection{}%http://maths-lfkl.e-monsite.com/medias/files/dsn-3.pdf
Un artisan potier fabrique des vases qu’il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus. 

L’artisan veut faire une étude sur la production d’un nombre de vases compris entre 0 et 60. Il estime que le coût de production de $x$ vases fabriqués est modélisé par la fonction $C$ dont l’expression est $C(x) = x^2 -10x + 500$ où $x$ appartient à l’intervalle [0~;~60].

Chaque vase est vendu 50 euros. Sur le graphique donné ci-dessous, $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $C$.

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer :

\begin{enumerate}
\item le coût de production de 40 vases fabriqués.


\item la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de \numprint{1300} euros.

\end{enumerate}


\item On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant à la vente de $x$ vases fabriqués.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.


\item Construire la courbe représentative de la fonction $R$ dans le repère ci-dessous.


\item Déterminer graphiquement le nombre de vases que l’artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice positif.


\item Déterminer graphiquement le nombre de vases que l’artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal.

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}

\item Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de x vases, est donné par la fonction $B$ dont l’expression est $B(x) = -x^2 +60x -500$, où x appartient à l’intervalle [0~;~60].


\item Dresser le tableau de signes de B(x).


\item Déterminer le nombre de vases que l’artisan doit fabriquer pour réaliser un bénéfice positif.

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~60].

\item En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0025cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-500)(65,4000)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=500.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-100)(65,4000)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{60}{x^2-10*x+500}
\multido{\n=0+2}{33}{\psline(\n,0)(\n,4000)}
\multido{\n=0+100}{45}{\psline(0,\n)(65,\n)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,0)(\n,4000)}
\multido{\n=0+500}{9}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(65,\n)}

\uput[r](60,3500){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\label{fin}
\end{document}  