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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : Exercices sur la loi binomiale}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{} 
Une chenille processionnaire descend le long d’un grillage. À chaque épissure, elle prend la maille de droite une fois sur trois, celle de gauche deux fois sur trois.

\noindent Elle descend ainsi quatre niveaux. 

\begin{enumerate}
\item Quelle  est  la  probabilité  que  la  chenille  ait  pris   trois  fois  la  maille  de  droite  sur  les  quatre  niveaux ? 


\item Quelle  est  la  probabilité  que  la  chenille  ait  pris  trois  fois  la  maille  de  gauche  sur  les  quatre  niveaux ? 

\end{enumerate}



\subsection{}

Une entreprise dispose d’un parc de 60 ordinateurs  neufs ; la probabilité que l’un d’entre eux tombe en  panne sur une période d’une année est de 0,1 (période  de garantie) ; la panne  de l’un des ordinateurs  n’affecte pas les autres machines du parc. 

\noindent Quelle est la probabilité que moins de 4 appareils tombent en panne durant l’année ? 


\subsection{}
Sous  l’hypothèse  que  2\:\%  des  êtres  humains  sont   gauchers,  calculer  la  probabilité  que  parmi  100   personnes, 3 au plus soient gauchères. 


\subsection{}
L'arracheur de dents arrache les dents de ses patients au hasard. Les clients ont une dent malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent avant l'intervention des tenailles du praticien. 

\begin{enumerate}
\item On considère les dix premiers clients : calculer la probabilité pour qu'aucun de ces dix patients n'y 
laisse la dent malade. 


\item On considère les dix premiers clients : calculer la probabilité pour qu’au moins un de ces clients y laisse la dent malade. 


\item Combien doit-il traiter de personnes pour extraire au moins une dent malade avec une probabilité supérieure à 0,6 ? 

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un certain vignoble, on admet que la probabilité pour qu'un pied de vigne soit atteint d'une maladie est 0,04. On observe 60 pieds de vigne choisis au hasard dans ce vignoble. Chaque pied est considéré comme indépendant ds autres par rapport à la maladie.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de pieds observés qui sont atteints par la maladie.

On arrondira les résultats à $10^{-4}$ près.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?

\item Calculer $p(X=2)$.

\item Calculer $P(X\leqslant 2)$.

\item Calculer la probabilité que dix pieds de vigne soient atteints par la maladie.

\item Calculer la probabilité pour qu'au moins 58 pieds soient atteints par la maladie.

\item Calculer $P(X\geqslant 3)$.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On lance trois fois un dé à jouer non pipé :  

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité d’obtenir trois 5 ? 

\item Quelle est la probabilité d’obtenir une somme de 15 ? 

\item Quelle est la probabilité d’obtenir le premier 5 au troisième lancer ? 

\end{enumerate}


\item On  lance  trois  fois  trois  dés  à  jouer  non  pipés  ;  
quelle  est  la  probabilité  d’obtenir  trois  fois  une   somme de 15 ? 

\end{enumerate}

\subsection{}
 Une compagnie bancaire propose des placements sous forme de produits financiers. La banque constate que le produit de type A a intéressé 10\:\% de sa clientèle, par le passé.\\
Un sondage est effectué auprès d'un échantillon de 10 clients.\\
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de clients dans l'échantillon ayant choisi le produit A. 

\begin{enumerate}[a)]
\item Préciser la loi de probabilité de X. Justifier. Donner les valeurs de ses paramètres. 

\item Calculer la probabilité, arrondie au centième, qu'au moins deux clients de l'échantillon aient choisi le produit A. 
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
D'après l'Insee, la proportion de femmes dans la population française est d'environ 51,6\:\%.

Un observateur se place à la sortie d'une gare et note le sexe des personnes qui passent.

On admettra que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique à la proportion
de femmes dans la population française.

On peut assimiler le passage des personnes à un schéma de Bernoulli.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que les quatre premières personnes qui sortent soient toutes des hommes.

\item Déterminer la probabilité que, sur les dix premières personnes qui sortent, il y ait exactement cinq
femmes.

\item 
\begin{enumerate}
\item Compléter, en utilisant la calculatrice , le tableau suivant correspondant à la loi de
probabilité du nombre N de femmes parmi les dix premières personnes qui sortent. (On donnera les
résultats à 10-4 près).

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n_i$&0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\
\hline
$p\left(N=n_i\right)$&&&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\item Montrer que $p\left(N\in [2~;~8]\right)\geqslant  95\:\%$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{France ES septembre 1998}}
\emph{Les deux questions} \textbf{1.} et \textbf{2.} \textit{peuvent être traitées
indépendamment  l'une de l'autre}.

\begin{enumerate} \item On envisage un jeu publicitaire sous la forme d'un QCM (questionnaire à choix multiples).\\
Il comporte quatre questions et, pour chaque question, trois réponses sont possibles dont une seule exacte.\\
Un joueur répond en choisissant au hasard une réponse pour chaque
question.
\begin{enumerate} \item De combien de façons différentes peut-il remplir le
questionnaire ?
\item On nomme $X$ la variable aléatoire égale au nombre de
réponses exactes obtenues par le joueur. Donner la loi de probabilité de
$X$.
\end{enumerate}
\item Pour accroître la difficulté,
on modifie le QCM : il comporte cette fois cinq questions et, pour chaque
question, quatre réponses sont possibles dont une seule exacte.\\
Un joueur remplit au hasard le QCM.\\
La deuxième ligne du tableau ci-dessous indique les probabilités
respectives pour que le joueur ait exactement 0, 1, 2, 3, 4, 5 réponses justes.\\

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de bonnes réponses &	0 &	1 &	2 &	3 &	4 &	5\\ \hline
Probabilité correspondante &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}	$\dfrac{243}{1024}$ & $\dfrac{405}{1024}$
&$\dfrac{270}{1024}$&$\dfrac{90}{1024}$&$\dfrac{15}{1024}$ &
$\dfrac{1}{1024}$\\  \hline
Nombre de points obtenus &  &  &  &  & 	$16 - x$& 	20\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
Il est prévu d'attribuer 4 points par réponse juste, on ne sait
comment pénaliser une réponse fausse : on note $x$ le nombre entier de points
retirés au joueur par réponse fausse.\\
\begin{enumerate} \item Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière
ligne, en indiquant dans chaque cas le nombre de points obtenus en fonction de
$x$. On définit ainsi une variable aléatoire $N$ égale au nombre de points
obtenus par le joueur.
\item Exprimer l'espérance de $N$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  