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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}
\title{\textcolor{red}{Taux d'évolution}}
\date{}

\begin{document}


\maketitle

\tableofcontents

\section*{\textcolor{red}{Activités préparatoires pages 10 et 12}}

\section{\textcolor{red}{Coefficient multiplicateur et taux d'évolution}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Appliquer un taux d'évolution $t$ à un nombre revient à le multiplier par $C=1+t$, appelé coefficient multiplicateur.
\end{bclogo}

\bigskip

Justification : soir $x$ un nombre.  Le montant de l'évolution est $xt$, donc ce nombre  devient $x+xt=\boxed{\textcolor{red}{x(1+t)}}$.\\

\noindent Exemples :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un objet coûte 30 \euro{} ; son prix augmente de 3\:\%. Le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{3}{100}=1,03$. Le prix devient $30\times 1,03=\boxed{\textcolor{red}{30,90~\text{\euro}}}$.

\item La population d'une ville diminue de 1\:\%. Elle est donc multipliée par $C=1-\dfrac{1}{100}=0,99$.

\item Un prix passe de 12 \euro{} à 12,36 \euro{}. Quel est le taux d'augmentation ?\\
Si $C$ est le coefficient multiplicateur, on a $12\times C=12,36$, donc $C=\dfrac{12,36}{12}=1,03$.\\
Si $t$ est le taux d'évolution, $C=1+t$ donc $t=0,03=\dfrac{3}{100}$.

Remarque : on peut aussi calculer $t$ en calculant $t=\dfrac{12,36-12}{12}=\dfrac{0,36}{12}=0,03=\dfrac{3}{100}=3\:\%$, mais on remarque que $\dfrac{12,36-12}{12}=\dfrac{12,36}{12}-\dfrac{12}{12}=C-1$ donc, en fait, c'est le même calcul !

\item Une année, la population d'une ville est de \numprint{22000} habitants. L'année suivante, elle n'est plus que de \numprint{20900} habitants.\\
Le coefficient multiplicateur est $C=\dfrac{\numprint{20900}}{\numprint{22000}}=0,95$.\\
Si $t$ est le taux, $C=1+t$ d'où $t=C-1=-0,05=-\dfrac{5}{100}=$. Le taux est de $\boxed{\textcolor{red}{-5\:\%}}$.

\end{enumerate}




\section{\textcolor{red}{Taux d'évolutions successives}}

\subsection{\textcolor{blue}{Taux d'évolution global}}

\textbf{Exemple : } En 2005, un objet avait un prix de 120 \euro. Son prix a augmenté en un an de 3~\%. L'année suivante, son prix augmenté de 2~\%.\\
Quel est son prix ?\\
Le premier coefficient multiplicateur est $C_1=1+3\:\%=1+\dfrac{3}{100}=1,03$.

En 2006, son prix vaut  : $120\times C_1=\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=120\times 1,03=123,6$~\euro.

Le deuxième coefficient directeur est $C_2=1+2\:\%=1+\dfrac{2}{100}=1,02$.

En 2007, son prix vaut : $123,60\times C_2=120\times 1,03\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=120\times 1,03\times 1,02=126,072\approx \boxed{\textcolor{red}{126,7~\text{\euro}}}$.
Cela revient à calculer $120\times C$ en posant $\boxed{\textcolor{red}{C=C_1\times C_2}}$

\noindent On voit que cela revient à multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Cas général}}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $y_{0}$, $y_{1}$, \dots $y_{n}$ des nombres réels strictement positifs.\\
$t_{1}$, $t_{2}$, \dots $t_{n}$ sont les taux d'évolution successifs permettant de passer de $y_{1}$ à $y_{2}$, de $y_{2}$ à $y_{3}$, \dots, de $y_{n-1}$ à $y_{n}$.\\\\
Le coefficient multiplicateur global $T$ permettant de passer de $y_{0}$ à $y_{n}$ est le produit des $n$ coefficients.\\
$1+T=(1+t_{1})(1+t_{2})\cdots(1+t_{n})$ donc $\boxed{\textcolor{red}{T=(1+t_{1})(1+t_{2})\cdots(1+t_{n})-1}}$.
\end{bclogo}

\bigskip


\subsection{\textcolor{blue}{Taux d'évolution réciproque}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}\\
Un objet coûte 20 \euro. Son prix subit une hausse de 2 ~ \%.

\begin{enumerate}
\item Quel est son nouveau prix ?

\item Quel est le montant de la baisse qu'il doit subir pour retrouver sa valeur initiale ?
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Réponses :}}\\

\begin{enumerate}
\item Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 2~\% est $1+2~\%=1,02$.\\
Le nouveau prix est : $20\times 1,02=20,4$.

\item Soit $t$ le taux de baisse ; le coefficient multiplicateur est alors : $1+t$.\\
On doit donc avoir : $(20\times 1,02)\times (1+t)=20$, d'où, après simplification par 20 :\\
$1,02\times (1+t)=1$, et, par conséquent : $1+t=\dfrac{1}{1,02}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{1}{1,02}-1}}$.\\
Alors : $t\approx -0,01960$, soit environ $-1,96~\%$.\\
On dit que le taux d'évolution réciproque de $2~\%$ est de $-1,96~\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $t$ le taux d'évolution subi par un nombre. On appelle taux d'évolution réciproque le taux $t'$ qu'il faut alors appliquer pour retrouver le nombre de départ.
\[\text{On a }: t'=\dfrac{1}{1+t}-1\]
\end{bclogo} 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
Soit $x$ un nombre, qui subit un taux dévolution égal à $t$.\\
Le coefficient multiplicateur est $1+t$, donc la nouvelle valeur est $x(1+t)$.\\
On cherche alors le montant du taux d'évolution $t'$ qui permet de retrouver la valeur $x$ initiale.\\
Le coefficient multiplicateur associé est $1+t'$.\\
On doit donc avoir : $[x(1+t)]\times (1+t')=x$.\\
En simplifiant par $x$, on obtient : $(1+t)(1+t')=1$.\\
On en déduit : $1+t'=\dfrac{1}{1+t}$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{t'=\dfrac{1}{1+t}-1}}$.\\
$t'$ est le \textbf{\textcolor{red}{taux d'évolution réciproque}} du taux $t$\\


\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}

\begin{enumerate}
\item Pour un taux $t=3~†\%$, on obtient $t'=\dfrac{1}{1+0,03}-1\approx -0,029\approx -2,9~†\%$.\\
Le taux dévolution réciproque de 2~\% est de -2,9~†\%.

\item Pour un taux $t=-10~†\%$, on obtient $t'=\dfrac{1}{1-0,1}-1\approx 0,111\approx 11,1~†\%$.\\
Le taux dévolution réciproque d'une baisse de 10~\% est d'environ 11,1~†\%.
\end{enumerate}




\end{document}  