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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\ieme{} ES : correctioncontrôle (équations du second degré)\\Sujet A}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $3x^2-2x-8=0$

$3x^2-2x-8=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-2\\c=-8\end{cases}$.

$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 3\times (-8)=4+96=100>0$.

L'équation deux solutions :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{100}}{6}=-\dfrac{8}{6}=-\dfrac{4}{3}$ et

$x_2=\dfrac{2+10}{6}=\dfrac{12}{6}=2$.

L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{4}{3}~;~2\right\}}}$
\bigskip


\item $9x^2+30x+32=0$

$\Delta=30^2-4\times 9\times 32=900-1152<0$ donc l'équation 'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\bigskip


\item $7x^2=36x$

L'équation s'écrit : $7x^2-36x=0$ ; on factorise d'où $x\left(7x-36\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. On en déduit qu'il y a deux solutions :

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0~;~\dfrac{36}{7}\right\}}}$

(Ne pas calculer $\Delta$ !)
\bigskip


\item $(3x-8)^2=-2$

Il est clair qu'il n'y a pas de solution, puisque 

$(3x-8)^2\geqslant 0$ et $-8<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\bigskip


\item $\left(3x+7\right)(2x-5)=0$
En appliquant le théorème du produit nul, on trouve : 

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{7}{3}~;~\dfrac{5}{2}\right\}}}$
\bigskip



\item $3x^2-5x-7=0$
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times (-7)=25+84=109>0$.

L'équation a deux solutions : 

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}\left\{\dfrac{5-\sqrt{109}}{6}~;~\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}\right\}}}$
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $3x^2+5x-1=9x+3$

L'équation équivaut à $3x^2+5x-9x-1-3=0$ donc $3x^2-4x-4=0$.

$\Delta=(-4)^2-4\times 3\times (-4)=64>0$.

Il y a deux solutions : $x_1=\dfrac{4-\sqrt{64}}{6}=-\dfrac{2}{3}$ et $x_2=\dfrac{4+\sqrt{64}}{6}\dfrac{12}{6}=2$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}~;~2\right\}}}$.

\item On appelle $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+5x-1$ et $g(x)=9x+3$ et on note $\mathscr{C}_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives.

%Quelle sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{C}_g$
Les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{C}_g$ sont les solutions de $f(x)=g(x)$donc $-\dfrac{2}{3}$ et 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\mapsto 3x^2-2x+2$ et $g:x\mapsto -5x^2+x+3$.

On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives ; elles sont représentées ci-dessous.


\begin{enumerate}
\item %Indiquer (en expliquant) sur le graphique quelle courbe est $\mathscr{C}_f$ et quelle courbe est $\mathscr{C}_g$.
Dans l'expression $f(x)$, le coefficient de $x^2$ est positif donc la parabole $\mathscr{C}_f$ est tournée vers le haut et $\mathscr{C}_g$ est tournée vers le bas.

\item %Lire les valeurs approchées des abscisses des points d'intersection de ces deux courbes.
Les abscisses des points d'intersection de ces deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont approximativement -1,4 et 1,2.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
L'équation $f(x)=g(x)$ s'écrit : $3x^2-2x+2=-5x^2+x+3$, donc $8x^2-3x-1=0$.

$\Delta=41>0$ ; l'équation a deux solutions :

$x_1=\dfrac{3-\sqrt{41}}{16}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{41}}{16}$.

\item %Vérifier que les valeurs approchées des deux solutions trouvées correspondent aux valeurs trouvées à la question 2.
$x_1\approx -0.2$ et $x_2\approx 0.6$
\end{enumerate}

%\end{multicols}

Remarque ; la courbe $\mathscr{C_f}$ était fausse sur l'énoncé !

\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-2.5,-4.)(3.5,4.)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.,-4.)(3.,4.)
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\uput[ur](0,0){0}
\uput[u](1,3){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](1,-1){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}



%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\ieme{} ES : contrôle (équations du second degré)\\Sujet B}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $3x^2-2x-10=0$

$3x^2-2x-10=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-2\\c=-10\end{cases}$.

$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 3\times (-8)=4+96=124>0$.

L'équation deux solutions :

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{124}}{6}=\dfrac{2-2\sqrt{31}}{6}=\dfrac{1-\sqrt{31}}{3}$ et

$x_2=\dfrac{2+\sqrt{124}}{6}=\dfrac{1+\sqrt{31}}{3}$.

L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1-\sqrt{31}}{3}~;~\dfrac{1+\sqrt{31}}{3}\right\}}}$
\bigskip


\item $9x^2+30x+32=0$

$\Delta=30^2-4\times 9\times 32=900-1152<0$ donc l'équation 'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\bigskip


\item $7x^2=20x$

L'équation s'écrit : $7x^2-20x=0$ ; on factorise d'où $x\left(7x-20\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. On en déduit qu'il y a deux solutions :

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0~;~\dfrac{20}{7}\right\}}}$

(Ne pas calculer $\Delta$ !)
\bigskip


\item $(2x-7)^2=-3$

Il est clair qu'il n'y a pas de solution, puisque 

$(2x-7)^2\geqslant 0$ et $-3<0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\bigskip


\item $\left(5x+7\right)(2x-3)=0$
En appliquant le théorème du produit nul, on trouve : 

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{7}{5}~;~\dfrac{3}{2}\right\}}}$
\bigskip



\item $3x^2-6x-7=0$
$\Delta=(-6)^2-4\times 3\times (-7)=36+84=120>0$.

L'équation a deux solutions : 

$x_1=\dfrac{6-\sqrt{120}}{6}=\dfrac{6-2\sqrt{30}}{6}=\dfrac{3-\sqrt{0}}{3}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{30}}{3}$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}\left\{\dfrac{6-\sqrt{120}}{6}~;~\dfrac{6+\sqrt{120}}{6}\right\}}}$
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $3x^2+5x-1=5x+11$

L'équation équivaut à $3x^2+5x-5x-1-11=0$ donc $3x^2-12=0$ donc $x^2-4=0$ qui a pour solutions -2 et 2


$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-2~;~2\right\}}}$.

\item On appelle $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+5x-1$ et $g(x)=5x+11$ et on note $\mathscr{C}_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives.

%Quelle sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{C}_g$
Les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{C}_g$ sont les solutions de $f(x)=g(x)$donc -2 et2.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\mapsto 3x^2-2x+2$ et $g:x\mapsto -5x^2+x+3$.

On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ les courbes représentatives ; elles sont représentées ci-dessous.


\begin{enumerate}
\item %Indiquer (en expliquant) sur le graphique quelle courbe est $\mathscr{C}_f$ et quelle courbe est $\mathscr{C}_g$.
Dans l'expression $f(x)$, le coefficient de $x^2$ est positif donc la parabole $\mathscr{C}_f$ est tournée vers le haut et $\mathscr{C}_g$ est tournée vers le bas.

\item %Lire les valeurs approchées des abscisses des points d'intersection de ces deux courbes.
Les abscisses des points d'intersection de ces deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont approximativement -1,4 et 1,2.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
L'équation $f(x)=g(x)$ s'écrit : $3x^2-2x+2=-5x^2+x+3$, donc $8x^2-3x-1=0$.

$\Delta=41>0$ ; l'équation a deux solutions :

$x_1=\dfrac{3-\sqrt{41}}{16}$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{41}}{16}$.

\item %Vérifier que les valeurs approchées des deux solutions trouvées correspondent aux valeurs trouvées à la question 2.
$x_1\approx -0.2$ et $x_2\approx 0.6$
\end{enumerate}

%\end{multicols}

Remarque ; la courbe $\mathscr{C_f}$ était fausse sur l'énoncé !

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-4.)(3.5,4.)
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\uput[ur](0,0){0}
\uput[u](1,3){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](1,-1){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  