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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : contrôle sur les fonctions de référence}\\\textcolor{red}{(2 h)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
\noindent Quels sont les ensembles de définition des fonctions suivantes .
\begin{enumerate}[a)]
\item $f:x\mapsto \dfrac{1}{x^2-3x-10}$

\bigskip

\item $g:x\mapsto \sqrt{x+5}$.

\bigskip

\item $h:x\mapsto \dfrac{1}{(x+2)(x-3)(x-7)}$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(3 points)}}
En utilisant les variations de la fonction carré, donner un encadrement de $x^2$ dans les cas suivants :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $3\leqslant x<7$

\item $-4\leqslant x\leqslant -2$

\item $-3\leqslant x\leqslant 5$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(2 points)}}
Résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{x}<\dfrac{3}{4}$.\\
\emph{On pourra s'aider des variations de la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(2,5 points)}}

Soit $f$ la fonction définie sur $[2~;~+\infty[$ par \[f(x)=3\sqrt{x-2}\].
\begin{enumerate}
\item Justifier le domaine de définition de la fonction $f$.
\item On veut montrer que $f$ est croissante sur $[2~;~+\infty[$.

Pour cela, recopier et compléter les phrases suivantes :

Soient deux nombres $x_1$ et $x_2$ quelconques tels que $2\leqslant x_1\leqslant x_2$.

Alors : $\hspace{1.5cm}\leqslant x_1-2\leqslant \hspace{1.5cm}$

donc $0=\sqrt{\hspace{1.5cm}}\leqslant \hspace{1.5cm}\leqslant \hspace{1.5cm}$ car la fonction racine carrée est \dotfill \\
sur l'intervalle \hspace{1.5cm}.

\item En déduire un encadrement de $f(x)$ pour $x$ compris entre $3$ et $6$.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(2 points)}}

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les variations de la fonction cube $f:x\mapsto x^3$ ?

\item Comparer, sans calculatrice, les nombres $1,02^3$ et $1,03^3$ (expliquer)

\item Comparer de même $(-3,12)^3$ et $(-3,11)^3$.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=1-2x^3$.\par
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

\item Expliquer rapidement pourquoi l'équation $g(x)=0$ n'a qu'une solution $\alpha$.

\item A l'aide de la calculatrice, donner une valeur arrondie au dixième de $\alpha$, solution de l'équation $g(x)=0$.
\end{enumerate}

%:
\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On a représenté ci-dessous la fonction \[f=x\mapsto 3\sqrt{x}\].
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(10.,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.)(10.,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-1.,-1.)(10.,10)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{9.999999990997005E-8}{10.0}{3.0*sqrt(x)}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-1.0}{10.0}{2.0*x+1.0}
\uput[d](9,9){$\mathscr{C}_f$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessus, tracer la représentation graphique de la fonction affine \[g:x\mapsto 2x+1\]

\item Conjecture le nombre de points d'intersection des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ?

\item Résoudre l'équation $3\sqrt{x}=2x+1$ en posant \\
$X=\sqrt{x}$.

\item En déduire les coordonnées du ou des points d'intersection des deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{\hfill\textcolor{blue}{(3 points)}}
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-6)(3,10)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-6)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-6)(3,10)%grille
%repre
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{3.0}{3*x^2-5*x-2}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-5.0}{3.0}{-2*x^2+3*x+1}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{-5.0}{3.0}{-x^2-3*x+5}
\uput[l](2.5,4){$\mathscr{C}_{3}$}
\rput[bl](-1.5,-4.28){$\mathscr{C}_{1}$}
\rput[bl](-4.72,-4.28){$\mathscr{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Ci-dessus sont représentées trois fonctions : \\
$f:x\mapsto-2x^2+3x+1$, $g:x\mapsto 3x^2-5x-2$ et $h:x\mapsto -x^2-3x+5$.\\

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les courbes associées à chacune de ces fonctions ?

\item Quelles sont les abscisses exactes des points d'intersection de $\mathscr{C}_{1}$ et de $\mathscr{C}_3$ ?

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document} 