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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{}ES : contrôle (variations d'une fonction, probabilités)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{}
%%http://www.lyceehugobesancon.org/math/IMG/pdf/DS4_correction-3.pdf
%Une entreprise fabrique une quantité $q$ de produits avec un coût total en euros exprimé par : \[C(q)= 0,02q^3- 2,1q^2 + 74q + 80\text{ pour tout }q\in[0~;~80]\]
%Chaque article est vendu 38 \euro.
%    
%Quel est le bénéfice maximal et pour quelle quantité de produit est-il atteint ?
%    
%(Justifier mathématiquement les réponses !)

\subsection{}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)= x^3-2x^2+1.\]
On note $\mathscr{C}$  la courbe représentative de $f$ dans un repère.


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression de $f'(x)$, la dérivée de la fonction $f$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$.

\item En déduire le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 2.

\item On souhaite étudier la position de $C$ par rapport à T sur un intervalle. Pour cela, on considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)= f(x) - (4x-7)$.

\item Calculer g'(x)

\item Dresser le tableau de variation de $g$.

\item Quel est le signe de $g$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{2}{3}~;~+\infty\right[$ ?

\item En déduire la position de $\mathscr{C}$ par rapport à T sur l'intervalle $\left[-\dfrac{2}{3}~;~+\infty\right[$.

\item Calculer $g(-2)$.

\item Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $T$ sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{2}{3}\right]$ ; justifier.

\end{enumerate}

\item Tracer $\mathscr{C}$ et la tangente $T$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Une urne contient dix boules rouges, six boules bleues et une boule verte.

Un jeu consiste à tirer une boule dans l'urne ; si la boule tirée est verte, on gagne 10 \euro{}; si une boule bleue est tirée, on gagne 5 \euro; sinon, on ne gagne rien.

La participation au jeu est de 5 \euro.

On note $X$ le gain algébrique d'un joueur, en euros.
\begin{enumerate}
\item 
Déterminer la loi de probabilité de $X$.

\item Calculer $P(X\geqslant 0)$ ; interpéter.

\item Calculer l'espérance de $X$.

\item Comment interpréter la valeur de l'espérance ?
\end{enumerate}

\subsection{}
$X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale telle que $p(X=4)=\binom{13}{4}\times 0,3^4\times 0,7^{9}$.

Calculer $p(X=8)$.

\subsection{}
Dans le parc informatique du conseil régional de la région PACA (Provence-Alpes-Côtes d'Azur), la probabilité qu'un ordinateur soit défaillant est égale à 0,09. on considère que les pannes informatiques sont indépendantes les unes des autres.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que, dans le service comptabilité qui compte 24 ordinateurs, 3 tombent en panne.

\item Ce service peut assurer son travail si au moins trois quarts des ordinateurs fonctionnent. Quelle est la probabilité que ce service ne puisse plus assurer son travail ?
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  