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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Un artiste souhaite réaliser une sphère en alliage métallique. Pour cela, il a acheté $5 \text{m}^3$ d'alliage, qu'il fera fondre puis couler par un métallurgiste.

On cherche à déterminer le rayon maximal $r$ de cette sphère qu'il est possible de fabriquer.

On rappelle que le volume d'une sphère est \[V=\dfrac{4}{3}\pi r^3.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que le problème revient à résoudre l'équation  $r^3-\dfrac{15}{4\pi}=0$.

\item À l'aide de la calculatrice, trouver un encadrement de $r$ avec une amplitude de 0,01.
\end{enumerate}

\subsection{}
Voici le montant de la dette des administrations publiques françaises au 31 décembre de chaque année, de 2005 à 2012, exprimé en milliards d'euros.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année&2005&2006&2007&2008\\
\hline
Dette&\numprint{1147,6}&\numprint{1152,2}&\numprint{1211,6}&\numprint{1318,6}
\\
\hline\hline
Année&2009&2010&2011&2012\\
\hline
Dette&\numprint{1493,4}&\numprint{1595,0}&\numprint{1717,3}&\numprint{1838,8}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
On e propose de convertir ces valeurs en indices, en prenant comme base 100 l'année 2005.

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau et ajouter une ligne pour faire apparaître les indices, arrondis au dixième.

\item En déduire le taux d'évolution, en pourcentage arrondi au dixième, de la dette entre 2005 et 2009, puis entre 2005 et 2012.

\item Calculer le taux d'évolution, en pourcentage arrondi au dixième, de la dette entre 2009 et 2012.
\end{enumerate}

\subsection{}
Un gérant de société a dépensé en 2014, pour l'achat de papier de son secrétariat, la somme de \numprint{5200}~\euro.

\begin{enumerate}
\item Sachant que le papier coûte 8 \euro{} les \numprint{1000} feuilles, combien le gérant a-t-il utilisé de milliers de feuilles en 2014 ?

\item On suppose qu'au premier janvier 2015, le prix du papier a augmenté de 5\:\%.

On ne prévoit pas d'autre augmentation du prix du papier au cours de l'année 2015.

\begin{enumerate}
\item Si le gérant maintient sa dépense, quel nombre de milliers de feuilles de papier pourra-t-il acheter ? Arrondir au dixième.

\item Quel pourcentage de diminution de la consommation de papier cela représentera-t-il ?
\end{enumerate}

\item On suppose maintenant que le prix du papier a augmenté de $p\:\%$ le 1\ier{} janvier 2015.

On ne prévoit pas d'autre augmentation du prix du papier au cours de l'année 2015.

On suppose que le gérant maintient sa dépense de papier.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre de milliers de feuilles qu'il pourra acquérir en 2015 est : \[N=\dfrac{\numprint{65000}}{100+p}.\]

\item Exprimer en fonction de $p$ le pourcentage de diminution de la consommation de papier qu'il doit envisager en 2015 ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 kg à 30 kg du produit par semaine.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Étude du prix de revient unitaire moyen}}

\begin{enumerate}
\item Le prix de revient d'un produit dépend de la quantité produite.

Pour $x$ kg de produit fabriqué, le prix de revient moyen d'un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $U$ dont l'expression est : \[U(x)=\dfrac{1}{3}x^2-11x+100+\dfrac{72}{x}.\]
où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$.

Quel est le prix de revient moyen d'un kg de produit lorsqu'on produit 5 kg par semaine ? (arrondir le résultat à 0,1 près).

\item Recopier et compléter , à l'aide de la calculatrice, le tableau de valeurs ci-dessous. (arrondir à 0,1 près).
\scriptsize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&5&10&15&16,5&17&18,5&20&25&30\\
\hline
U(x)&&&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\normalsize

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : Étude graphique du bénéfice}}

Le laboratoire s'intéresse maintenant au coût total de production exprimé en euros et modélisé par la fonction $C$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $C(x)=\dfrac{1}{3}x^3-11x^2+100x+72$, où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;30]$.

La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=0.22cm,yunit=0.007cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-100.)(40.,2400.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=200.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-200.)(30.,2400.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{5}{30}{x^3/3-11*x^2+100*x+72}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{5}{30}{60*x}
\multido{\n=0+1}{30}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,2400)}
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,2400)}
\multido{\n=0+100}{27}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(30,\n)}
\uput[u](5,50){Coût}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Par lecture graphique, estimer  la quantité dont le coût total de production est de 600 euros le kg.

\item 
\begin{enumerate}
\item Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60 euros le kg. Donner, en fonction de $x$, l'expression $R(x)$ de la fonction $R$ modélisant la recette.

\item Représenter graphiquement la fonction $R$ sur l'intervalle $[5~;~30]$ (sur le même graphique que la fonction coût).

\item Le laboratoire souhaite connaître l'intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C : graphique du bénéfice}}

Le bénéfice réalisé par l'entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est exprimé en euros et modélisé par la fonction $B$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $B(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+11x^2-40x-72$ où $x$ appartient à $[5~;~30]$.

\item À l'aide de la calculatrice :
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $B$ admet un maximum en \\
$x=20$.

\item Conjecturer les variations de $B$.

\item En déduire les variations de $B$ sur $[5~;~30]$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité  produire pour réaliser un bénéfice maximum.

\item Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15 kg et 24 kg pour la semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  