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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : correction du sujet A }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes : 

\begin{enumerate}[a)]

\bigskip
\item $2x^2-x-6=0$

\noindent $\Delta=49>0$ ; il y a deux solutions :

\noindent $x_1=\dfrac{1-7}{4}=-\dfrac{3}{2}$ et $x_2=\dfrac{1+7}{4}=2$

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}~;~2\right\}}}$


\bigskip
\item $3x^2=2x\Leftrightarrow 3x^2-2x=0\Leftrightarrow x(3x-2)=0$.

\noindent un produit de facteurs est nul, si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\noindent Il est clair que l'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0~;~\dfrac{2}{3}\right\}}}$

%\bigski
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $2 x^{2}-7 x-15\geqslant 0$

\noindent $\Delta=169>0$ ; il y a deux racines.

\noindent $x_1=\dfrac{7-13}{4}=-\dfrac{6}{4}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}}$ et $x_2=\dfrac{7+13}{4}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

\noindent $2x^2-7x-15$ est positif (du signe du coefficient de $x^2$, 2) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\noindent  On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{2}&&5&&\pI\\
\hline
2x^2-7x-15&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

L'ensemble des solutions est donc 

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{3}{2}\right]\cup [5~;~+\infty[}}$
\bigskip

\item $\frac{x+3}{2 x^{2}-x-1}\leqslant 0$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On cherche les valeurs interdites : on résout $2 x^{2}-x-1=0$.

\noindent $\Delta=9>0$ : i y a deux racines :

\noindent $x_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{1+3}{4}=1$.

\noindent Les \textbf{\textcolor{red}{valeurs interdites}} sont donc $-\dfrac{1}{2}$ et 1.

\noindent Signe de $2 x^{2}-x-1$  : c'est du signe de 2, coefficient de $x^2$ donc positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\item signe de $x+3$ : $x+3\geqslant 0$ pour $x\geqslant -3$ et $x+3\leqslant 0$ pour $x\leqslant -3$.

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-\dfrac{3}{2}&&1&&\pI\\
\hline
x+3&&-&\z&+&\bb&+&\bb&+&\\
\hline
2 x^{2}-x-1&&+&\l&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\text{Quotient}&&-&\z&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-3\right]\cup\left]-\dfrac{3}{2}~;~1\right[}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par 

\noindent $f(x)=2x^2-7x-15$ et $g(x)=-3x+1$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont $-\dfrac{3}{2}$ et 5. (cf. II)

\item %Interpréter graphiquement ce résultat.
La courbe représentative de $f$ \textbf{\textcolor{red}{coupe l'axe des abscisses}} en $-\dfrac{3}{2}$ et en 5.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
$f(x)=g(x)\Leftrightarrow 2x^2-7x-15=-3x+1\\
\Leftrightarrow 2x^2-4x-16=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x^2-2x-8=0}}$ (en simplifiant par 2).

$\Delta=36>0$ ; il y a deux solutions qui sont :

\noindent $x_1=\dfrac{2-6}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{2+6}{2}=4$.

\item %Interpréter graphiquement ce résultat.
La parabole représentative de $f$ et la droite représentative de $g$ se coupent aux points d'abscisses -2 et 4.
\end{enumerate}



\subsection{}
% http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/recherche_exercices/listexos.php



Une entreprise fabrique un produit . La production mensuelle ne peut pas dépasser \numprint{15000} articles.

\noindent Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0~;~15]$ par :
\[C(x)=0,5x^2+0,6x+8,16.\]
%La représentation graphique $\mathscr{C}$ de la fonction coût total est donnée  ci-dessous et est à rendre avec la copie.

%\noindent On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 \euro.

   
\begin{enumerate}
\item  %Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise  : fabriquer et vendre \numprint{4000} articles ou fabriquer et vendre \numprint{12000} articles ?
Le coût de fabrication de \numprint{4000} articles est $C(4)=18,56$ milliers d'euros ; ces \numprint{4000} articles sont vendus 32 milliers d'euros car $R(4)=32$. Le bénéfice est donc de $R(4)-C(4)=13,44$ milliers d'euros, donc l'entreprise gagne \numprint{13440}  d'euros.

\bigskip
Le coût de fabrication de \numprint{12000} articles est $C(12)=87,36$ milliers d'euros ; ces \numprint{12000} articles sont vendus 96 milliers d'euros car $R(8)=96$. Le bénéfice est donc de $C(12)-R(12)=8,64$ milliers d'euros, donc l'entreprise a un bénéfice de \numprint{8640} \euro.

Elle gagne plus en vendant \numprint{4000} articles qu'avec \numprint{12000}.

\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles du produit.

\noindent On a donc $R(x)=8x$.


\begin{enumerate}
\item %Tracer dans le repère donné ci-dessous, la courbe $\mathscr{D}$ représentative de la fonction recette.
Pour $\mathscr{D}$, voir courbe ci-dessous.

\item %Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item     %l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
Pour que l'entreprise réalise un bénéfice, il faut que $1,2\leqslant x\leqslant 13,7$, donc qu'elle vende entre \numprint{1200} et \numprint{13700} articles (droite $\mathscr{D}$ au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$)

\item  %la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
Le bénéfice est maximal quand l'écart entre la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ est maximal vers $x=7,5$ donc pour environ \numprint{7500} articles vendus.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %On désigne par $B(x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles.

        
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par \[B (x)=-0,5x^2+7,4x-8,16,\text{ avec }x\in[0~;~15].\]
$B(x)=R(x)-C(x)=8x-\left(0,5x^2+0,6x+8,16\right)=-0,5x^2+7,4x-8,16$ donc 

$\boxed{\textcolor{red}{B(x)=-0,5x^2+7,4x-8,16}}$


\item %Étudier le signe de $B(x)$.
$\Delta=7,4^2-4\times (-0,5)\times (-8,16) =38,44>0$

\noindent Il y a deux racines :

\noindent $x_1=\dfrac{-7,4-\sqrt{38,44}}{-1}=7,4+\sqrt{38,44}=\boxed{\textcolor{red}{13,6}}$ et $x_2=7,4-\sqrt{38,44}=\boxed{\textcolor{red}{1,2}}$

\noindent Le bénéfice est positif, donc du signe opposé à -0,5, entre les racines, donc pour $1,2\leqslant x\leqslant 13,6$ et négatif pour $0<1,2$ ou pour $13,6\leqslant x\leqslant 15$

\noindent %En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
La production permettant de réaliser un bénéfice est l'intervalle $[1,2~;~13,6]$, donc il faut que l'entreprise fabrique et vende entre \numprint{1200} et \numprint{13600} objets.

\item %Étudier les variations de la fonction $B$ sur [0~;~15].
$B$ est une fonction carré ; le coefficient de $x^2$ est négatif, donc la fonction est d'abord croissante puis décroissante, le maximum étant atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=7,4$
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&7,4&&15\\
\hline
B(x)&-9,16&\c&\h{10,22}&\d&-9,66\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\noindent %En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
Pour avoir un bénéfice maximal, il faut donc vendre \numprint{7400} articles.

\noindent %Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
Ce bénéfice maximal est B(7,4)=19,22 milliers d'euros, soit \numprint{19220}\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.05cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-10.)(16.,140.)
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\multido{\n=-1+1}{17}{\psline[linewidth=1pt](\n,-10)(\n,140)}
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\uput[dl](0,0){0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{15}{0.5*x^(2.0)+0.6*x+8.16}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{0}{15}{8*x}

\uput[d](13,100){$\mathscr{C}$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1.2,0)(1.2,9.6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](13.6,0)(13.6,108.8)
\uput[d](1.2,0){1.2}
\uput[d](13.6,0){$\approx 13.7$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{1cm}
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : équations du second degré (sujet B) }}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes : 

\begin{enumerate}[a)]

\bigskip
\item $3 x^2+8 x-3=0$

$\Delta=100>0$ : il y a deux solutions :

\noindent $x_1=\dfrac{8-10}{6}=-\dfrac{1}{3}$ et $x_2=\dfrac{8+10}{6}=3$

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}{3}~;~3\right\}}}
$
\bigskip
\item $5x^2=3x\Leftrightarrow 5x^2-3x=0\Leftrightarrow x(5x-3)=0$

\noindent un produit de facteurs est nul, si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\noindent L'ensemble des solutions est alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0~;~\dfrac{3}{5}\right\}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $3x^2-10x-8\geqslant 0$

\noindent $\Delta=196>0$ : il y  a deux racines :

\noindent $x_1=\dfrac{10-14}{6}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}}}$ et $x_2=\dfrac{10+14}{6}=\boxed{\textcolor{red}{4}}$.

\noindent Le coefficient de $x^2$ est 3, positif.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{2}{3}&&4&&\pI\\
\hline
3x^2-10x-8&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\noindent On en déduit que l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{2}{3}\right]\cup[4~;~=\infty[}}$
\bigskip

\item $\frac{x+2}{2 x^{2}-x-1}\leqslant 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Valeurs interdites : on résout $2 x^{2}-x-1=0$

\noindent $\delta=9>0$ : il y a deux solutions :

\noindent $x_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{1+3}{4}=1$.

\noindent Les valeurs interdites sont $-\dfrac{1}{2}$ et 1.

\item Signe de $2 x^{2}-x-1$ : le coefficient de $x^2$ est 2, positif, donc $2 x^{2}-x-1$ est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines, donc sur $]-\infty~;~-\dfrac{1}{2}]$ et sur $[1~;~=\infty[$ et négatif sur $\left[-\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.

\item Signe de $x+2$ : $x+2<0\Leftrightarrow x<-2$ et $x+2=0\\
\Leftrightarrow x=-2$

\item \textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes }}:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&-\dfrac{1}{2}&&1&&\pI\\
\hline
x+2&&-&\z&+&\bb&+&\bb&+&\\
\hline
2 x^{2}-x-1&&+&\l&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\frac{x+2}{2 x^{2}-x-1}&&-&\z&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-2\right]\cup\left]-\dfrac{1}{2}~;~1\right]}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par $f(x)=2x^2-7x-15$ et $g(x)=7x+1$.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
$f(x)=0\Leftrightarrow 2x^2-7x-15=0$

\noindent $\Delta=169>0$ ; il y a deux racines.

\noindent $x_1=\dfrac{7-13}{4}=-\dfrac{6}{4}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}}$ et $x_2=\dfrac{7+13}{4}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.


\item %Interpréter graphiquement ce résultat.
La courbe $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}}$ et en $\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.
$f(x)=g(x)\Leftrightarrow 2x^2-7x-15=7x+1\\
\Leftrightarrow 2x^2-14x-16=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x^2-7x-8=0}}$ en simplifiant par 2

\noindent $\Delta=(-7)^2-4\times 1\times (-8)=81>0$.

\noindent Il y a deux solutions :

\noindent $x_1=\dfrac{7-9}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$ et $x_2=\dfrac{7+9}{2}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$.

\item %Interpréter graphiquement ce résultat.
La parabole représentative de $f$ et la droite représentative de $g$ se coupent aux points d'abscisses -1 et 8.
\end{enumerate}



\subsection{}
% http://yallouz.arie.free.fr/premiere_controles/recherche_exercices/listexos.php



Une entreprise fabrique un produit . La production mensuelle ne peut pas dépasser \numprint{15000} articles.

\noindent Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de $x$ milliers d'articles est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0~;~15]$ par :
\[C(x)=0,5x^2+0,6x+8,16.\]
%La représentation graphique $\mathscr{C}$ de la fonction coût total est donnée  ci-dessous et est à rendre avec la copie.

%\noindent On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 \euro.

   
\begin{enumerate}
\item  %Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise  : fabriquer et vendre \numprint{4000} articles ou fabriquer et vendre \numprint{12000} articles ?
Le coût de fabrication de \numprint{4000} articles est $C(4)=18,56$ milliers d'euros ; ces \numprint{4000} articles sont vendus 32 milliers d'euros car $R(4)=32$. Le bénéfice est donc de $R(4)-C(4)=13,44$ milliers d'euros, donc l'entreprise gagne \numprint{13440}  d'euros.

\bigskip
Le coût de fabrication de \numprint{12000} articles est $C(12)=87,36$ milliers d'euros ; ces \numprint{12000} articles sont vendus 96 milliers d'euros car $R(8)=96$. Le bénéfice est donc de $C(12)-R(12)=8,64$ milliers d'euros, donc l'entreprise a un bénéfice de \numprint{8640} \euro.

Elle gagne plus en vendant \numprint{4000} articles qu'avec \numprint{12000}.

\item On désigne par $R(x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de $x$ milliers d'articles du produit.

\noindent On a donc $R(x)=8x$.


\begin{enumerate}
\item %Tracer dans le repère donné ci-dessous, la courbe $\mathscr{D}$ représentative de la fonction recette.
Pour $\mathscr{D}$, voir courbe ci-dessous.

\item %Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item     %l'intervalle dans lequel doit se situer la production $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
Pour que l'entreprise réalise un bénéfice, il faut que $1,2\leqslant x\leqslant 13,7$, donc qu'elle vende entre \numprint{1200} et \numprint{13700} articles (droite $\mathscr{D}$ au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$)

\item  %la production $x_0$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
Le bénéfice est maximal quand l'écart entre la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}$ est maximal vers $x=7,5$ donc pour environ \numprint{7500} articles vendus.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %On désigne par $B(x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend $x$ milliers d'articles.

        
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par \[B (x)=-0,5x^2+7,4x-8,16,\text{ avec }x\in[0~;~15].\]
$B(x)=R(x)-C(x)=8x-\left(0,5x^2+0,6x+8,16\right)=-0,5x^2+7,4x-8,16$ donc 

$\boxed{\textcolor{red}{B(x)=-0,5x^2+7,4x-8,16}}$


\item %Étudier le signe de $B(x)$.
$\Delta=7,4^2-4\times (-0,5)\times (-8,16) =38,44>0$

\noindent Il y a deux racines :

\noindent $x_1=\dfrac{-7,4-\sqrt{38,44}}{-1}=7,4+\sqrt{38,44}=\boxed{\textcolor{red}{13,6}}$ et $x_2=7,4-\sqrt{38,44}=\boxed{\textcolor{red}{1,2}}$

\noindent Le bénéfice est positif, donc du signe opposé à -0,5, entre les racines, donc pour $1,2\leqslant x\leqslant 13,6$ et négatif pour $0<1,2$ ou pour $13,6\leqslant x\leqslant 15$

\noindent %En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
La production permettant de réaliser un bénéfice est l'intervalle $[1,2~;~13,6]$, donc il faut que l'entreprise fabrique et vende entre \numprint{1200} et \numprint{13600} objets.

\item %Étudier les variations de la fonction $B$ sur [0~;~15].
$B$ est une fonction carré ; le coefficient de $x^2$ est négatif, donc la fonction est d'abord croissante puis décroissante, le maximum étant atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=7,4$
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&7,4&&15\\
\hline
B(x)&-9,16&\c&\h{10,22}&\d&-9,66\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\noindent %En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal.
Pour avoir un bénéfice maximal, il faut donc vendre \numprint{7400} articles.

\noindent %Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
Ce bénéfice maximal est B(7,4)=19,22 milliers d'euros, soit \numprint{19220}\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
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\uput[d](13,100){$\mathscr{C}$}
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\end{center}
\label{fin}
\end{document}  