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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : correction du contrôle sur la dérivation (2)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+6x$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
$f'(x)=2x+6=2(x+3)$.

\noindent $f'(x)=0\Leftrightarrow x=-3$ et comme $f'$ est une fonction affine de coefficient directeur positif, 

\noindent $f'(x)>0\Leftrightarrow x>-3$ et donc, $f'(x)<0\Leftrightarrow x<-3$

\item %En déduire le tableau de variations de $f$.
Sens de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&-9&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsection{}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée, étudier son signe et en déduire le tableau de variation.

\begin{enumerate}

\item $f:x\longmapsto x^3-27x+10$ sur $\mathbb{R}$

\noindent $f'(x)=3x^2-27=3\left(x^2-9\right)=3\left(x^2-3^2\right)\\
=3(x+3)(x-3)$.

\noindent $f'(x)$ s'annule en -3 et 3 et est du signe du coefficient de $x^2$, 3, donc positif, à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\noindent On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&3&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{64}&\d&-44&\c&\\
\hline
\end{variations}

%\bigskip
%
%\item $g:x\longmapsto \dfrac{x+3}{x-4}$ sur $]4~;~+\infty[$

\medskip

\item $g:x\longmapsto (2x-3)\sqrt{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.

\noindent $g=uv$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=2x-3\\v(x)=\sqrt{x}\end{array}\right.$.

\noindent $g':(uv)':u'v+uv'$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=2\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}\right.$.

Alors : $f'(x)=2\sqrt{x}+(2x-3)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2\sqrt{x}=\dfrac{2x-3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{4x+2x-3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x-3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3(2x-1)}{2\sqrt{x}}$.

\noindent $g'(x)$ est du signe de $2x-1$, positif pour $x>\dfrac{1}{2}$.

\noindent On en déduit le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
g'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&\bb&&\d&-\sqrt{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-4x^2+16x.\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\noindent $f'(x)=x^2-8x+16=(x-4)^2$.

\noindent $f'(x)\geqslant 0$ et $f'(x)=0$ pour $x=4$.

\noindent On en déduit que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$ au point d'abscisse 0 dans un repère $(O~;~I~;~J)$.
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

\noindent Pour $a=0$, on obtient :

\noindent $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ donc $T$ a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y=16x}}$.

\item %Étudier le signe de l'expression $f(x)-9x$.
$f(x)-16x=\dfrac{1}{3}x^3-4x^2=\dfrac{x^3-12x^2}{3}=\dfrac{x^2(x-12)}{3}$ qui s'annue en 0 et en 12 et est du signe de $x-12$, donc positif pour $x\geqslant 12$.

\item %En déduire la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.
On en déduit que $\mathscr{C}$ et $T$ ont des points communs en 0 et en 12 et que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $T$ pour $x>12$.


\textbf{\textcolor{blue}{Courbe (non demandée) }:}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.035cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-30.)(17.,200.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=10.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-30.)(17,200.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2.0}{17.0}{x^3/3-4*x^2+16*x}
\psplot[linecolor=blue]{-2}{17}{16*x}
\psline[linestyle=dashed](12,0)(12,190)
\uput[d](12,0){12}
\uput[d](3,21){$\mathscr{C}$}
\uput[u](3,27){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\infty~;~-1\right]\cup\left]-1~;~+\infty\right[$ par : \[f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer la dérivée de $f$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=x^2\\v(x)=x+1\end{array}\right.$

\noindent $f'=\left(\dfrac{u}v{}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=2x\\v'(x)=1\end{array}\right.$.

\noindent Alors : $f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.

\item %Déterminer le sens de variation de $f$.
$f'(x)$ est du signe du numérateur, car \\
$(x+1)^2>0$. $x(x+2)$ s'annule pour $x=-2$ ou $x=0$ et $x(x+2)>0$ en dehors de l'intervalle formé par les racines.


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :} }
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&&-1&&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{-4}&\d&&\bb&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
%Hyperbole 1\iere{ES} \no 73 page 102
Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre \numprint{6000} et \numprint{32000} pièces identiques.

\noindent Le coût de fabrication en euros de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$ et est donné par : \[C(x)=2x^3-108x^2+\numprint{5060}x-\numprint{4640}.\]
\noindent Toutes les pièces produites sont vendues au prix unitaire de 3,50 \euro{}.

\noindent On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[6~;~32]$ : \[B(x)=-2x^3+108x^2-\numprint{1560}x+\numprint{4640}.\]
$B(x)=\numprint{3500}x-C(x)\\
=\numprint{3500}x-\left(2x^3-108x^2+\numprint{5060}x-\numprint{4640}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{-2x^3+108x^2-\numprint{1560}x+\numprint{4640}}}$

\item %Déterminer $B'(x)$.
$B'(x)=-6x^2+216x-\numprint{1560}=\boxed{\textcolor{red}{-6\left(x^2-36x+260\right)}}$.

\item %Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[6~;~32]$.
$B'(x)$ est du signe opposé à celui de \\
$x^2+36x+260$.

\noindent Le discriminant est $\Delta=36^2-4\times 1\times 260\\
=1296-1040=256>0$.

\noindent Il y a deux racines : $\dfrac{36-\sqrt{256}}{2}=10$ et $\dfrac{36+\sqrt{256}}{2}=26$.

\noindent $x^2-36x+260$ est donc négatif entre les racines, donc $B'(x)$ est négatif sur $[6~;~10]$ et sur $[26~;~32]$ et positif sur $[10~;~26]$.

\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $B$.
\textcolor{blue}{Tableau de variation de $B$ : }

\begin{center}
\begin{variations}
x&6&&10&&26&&32\\
\hline
B'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
B(x)&&\d&-\numprint{2160}&\c&\h{\numprint{1936}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise ? Donner le nombre de pièces à produire qui réalise ce maximum.
Le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise est de \numprint{1936} euros, obtenus par la fabrication de \numprint{26000} objets.
\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  