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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x^2+3}$.

\noindent On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.


\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ où $f$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=x^2-4x+7\\v(x)=x^2+3\end{array}\right.$.

\noindent $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=2x-4=2(x-2)\\v'(x)=2x\end{array}\right.$

\noindent Alors : $f'(x)=\dfrac{2(x-2)\left(x^2+3\right)-2x\left(x^2-4x+7\right)}{\left(x^2+3\right)^2}=2\times \dfrac{(x-2)\left(x^2+3\right)-x\left(x^2-4x+7\right)}{\left(x^2+3\right)^2}\\
=2\times \dfrac{x^3+3x-2x^2-6-x^3+4x^2-7x}{\left(x^2+3\right)^2}=2\times \dfrac{2x^2-4x-6}{\left(^2+3\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2+3\right)^2}}}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $f$.
Il est clair que $f'(x)$ est du signe de $x^2-2x-3$.

Le discriminant est $\Delta=16>0$ ; il y a deux racines : $x_1=\dfrac{2-\sqrt{16}}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{2+\sqrt{16}}{2}=3$.

\noindent $x^2-2x-3$ est du signe du coefficient de $x^2$, 1, donc positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\noindent $f$ est donc croissante sur $]-\infty~;~-1]$ et sur $[3~;~+\infty[$, et décroissante sur $[-1~;~3]$.

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&3&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&	\h{3}&\d&\dfrac{1}{3}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1.
Une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, donc avec $a=1$, on a :

\noindent $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ ; or $f'(1)=-1$ et $f(1)=1$.

\noindent La tangente en 1 a donc pour équation $y=-(x-1)+1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-x+2}}$

\item Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-2.)(7.,4.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1pt](0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7.0}{7.0}{(x^(2.00000000000)-4.00000000000*x+7.00000000000)/(x^(2.00000000000)+3.00000000000)}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{2-x}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-6.88,1.34){$f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}



\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+9x.\]
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le sens de variation de $f$.
$f'(x)=x^2-6x+9=\boxed{\textcolor{red}{(x-3)^2\geqslant 0}}$.

\noindent On en déduit que $f$ est \textbf{\textcolor{blue}{croissante}} sur $\mathbb{R}$.

\item %Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la  courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.
On a $f'(0)=9$ et $f(0)=0$ donc l'équation de la tangente $T$ en 0 est $\boxed{\textcolor{red}{y=9x}}$.

\item %En étudiant le signe de la différence de $f(x)$ et de l'expression de la tangente $T$, étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.
$f(x)-9x=\dfrac{x^3}{3}-3x^2=\dfrac{x^3-9x^2}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2(x-9)}{3}}}$.

\noindent Cette expression s'annule en 0 et en 9 et est du signe de $x-9$, donc positif pour $x\geqslant 9$.

\noindent On en déduit que $\mathscr{C}$ et $T$ ont deux points d'intersection, en 0 et en 9 et que $\mathscr{C}$ est au-dessus de $T$ pour $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant 9}}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Dans un restaurant, le coût total en euros pour la fabrication de $x$ repas est donné par la relation \\
$C(x)=2x^2-230x+\numprint{7200}$ pour $x$ compris entre 30 et 120.

\noindent Lorsque $x$ repas sont fabriqués, on appelle coût moyen d'un repas le quotient $\dfrac{C(x)}{x}$ qu'on note $C_M$(x).

\begin{enumerate}
\item %Donner l'expression de $C_M(x)$ en fonction de $x$.
Le coût moyen est $\boxed{\textcolor{red}{C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}=2x-230+\dfrac{\numprint{7200}}{x}}}$.

\item %Calculer la dérivée de $C_M$.
$C_M'(x)=2-\dfrac{\numprint{7200}}{x^2}=\dfrac{2x^2-7200}{x^2}=\dfrac{2\left(x^2-3600\right)}{x^2}=\dfrac{2\left(x^2-60^2\right)}{x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2(x-60)(x+60)}{x^2}}}$.

\item %Montrer que cette dérivée a le même signe  que $x-60$ sur l'intervalle $[30~;~120]$.
Sur l'intervalle $[30~;~120]$, $x+60$ et $x^2$ sont positifs, donc $C_M'(x)$ est du signe de $x-60$, donc négatif pour $x\leqslant 60$ et positif pour $x\geqslant 60$.

\item %Étudier le sens de variation de $C_M$ sur $[30~;~120]$.
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation de $C_M$ }}: 
\begin{center}
\begin{variations}
x&30&&60&&120\\
\hline
C_M'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{C_M(x)}&\h{70}&\d&10&\c&\h{70}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Combien de repas faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ?
On en déduit qu'il faut fabriquer $\boxed{\textcolor{red}{60}}$ repas pour que le coût moyen soit minimal.
\end{enumerate}



\subsection{}
Un camion doit parcourir un trajet de 200 km, on suppose que sa
vitesse (en km/h) est constante et on la note $x$.

\noindent La consommation de carburant du camion est de 

$6 +\dfrac{x^2}{800}$ litres de gasoil par heure avec un prix
du gasoil au litre de 1 \euro{} et le chauffeur est payé 10 \euro{} de l’heure.

\begin{enumerate}
\item %Exprimer le temps de trajet $t$ en fonction de $x$.
Le temps de trajet est $\boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{200}{x}}}$ heures.

\item %En déduire le coût en carburant sur l’ensemble du trajet
%en fonction de $x$ puis le coût du chauffeur sur l’ensemble du trajet en fonction de $x$.  
Le coût en carburant est $\left(6 +\dfrac{x^2}{800}\right)\times \dfrac{200}{x}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1200}{x}+\dfrac{x}{4}}}$.

\noindent Le coût du chauffeur est $\dfrac{200}{x}\times 10=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2000}{x}}}$\euro.


\item %Montrer que le coût total du trajet en fonction de $x$ est $C( x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{\numprint{3200}}{x}$.
Le coût total du trajet est $C(x)=\dfrac{1200}{x}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{2000}{x}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{x}{4} + \dfrac{\numprint{3200}}{x}}}$.

\item %Étudier les variations de la fonction $C$ sur $[0~;~+\infty[$.
$C'(x)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{3200}{x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^2-12800}{x^2}}}$.

$C'(x)=0$ pour $x=\sqrt{12800}=-\sqrt{6400\times 2}=-80\sqrt{2}$ ou $x=80\sqrt{2}$.

$C'(x)\geqslant 0$ pour $x$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines (sachant que $x>0$)
Remarque : on peut se limiter à $x\leqslant 130$ puisque la vitesse maximum en France est 130 km/h (et de toute façon, d'après la théorie de la relativité d'Einstein, aucun objet ne peut avoir une vitesse supérieure à celle de la lumière et encore, à condition d'avoir une masse nulle !)

\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&0&&80\sqrt{2}&&130\\
\hline
C'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{C(x )}&\bb&&\d&40\sqrt{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire quelle doit être la vitesse du camion pour que le coût total du trajet soit minimal 
Le coût du trajet est minimal si la vitesse est égale à $\boxed{\textcolor{red}{80\sqrt{2}}}$, soit environ 113 km/h;
 \end{enumerate}  


\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie $[-4;4]$ par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x)=\dfrac{1\left(x^2+1\right)-2x\times x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(1-x)(1+x)}{\left(x^2+1\right)^2}}}$.

\item %Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
$f'(x)$ est du signe du numérateur car le dénominateur est positif.

\noindent Le numérateur s'annule en -1 et en 1 et est positif  (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formée par les racines.

\noindent On en déduit le tableau de variation :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-1&&1&&4\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&-\dfrac{4}{17}&\d&-\dfrac{1}{2}&\c&\h{\dfrac{1}{2}}&\d&\dfrac{4}{17}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Donner l'équation de la droite $(T)$, tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.
$(T)$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{y=x}}$.

\item %Tracer dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que ses tangentes.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-1)(5.,1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-1)(5.,1)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{x/(x^(2.0)+1.0)}
\psplotTangent[arrows=<->,linecolor=red]{0}{1}{x/(x^2+1)}
\psplotTangent[arrows=<->,linecolor=blue]{-1}{1}{x/(x^2+1)}
\psplotTangent[arrows=<->,linecolor=blue]{1}{1}{x/(x^2+1)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

 \subsection{}

\begin{enumerate}

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-60x^2+450x$.
soit $f$ définie par $f(x)=2x^3-60x^2+450x$.

\noindent $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{6x^2-120x+450}}$

Le discriminant est $\Delta=(-120)^2-4\times 6\times 450=3600=60^2>0$.

\noindent Il y a deux racines : $\dfrac{120-60}{12}=5$ et $\dfrac{120+60}{12}=\dfrac{180}{12}=15$.

\noindent (remarque : on aurait pu factoriser par 6 : $f'(x)=6\left(x^2-20x+75\right)$)

\noindent $f'(x)$ est un trinôme du second degré, positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\noindent On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&5&&15&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&	\h{\numprint{1000}}&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %On veut construire le patron d'une boîte de lait dans une feuille cartonnée de 30 cm de côté.
%
%\noindent Le patron est donné par la figure 1 ci-dessous et la figure 2 est celle de la boîte qui est un parallélépipède rectangle
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6}
%\begin{pspicture}(-1,-2)(9,8)
%\psframe(0,0)(8,5)
%\psline(3,0)(3,5)
%\psline(4,0)(4,5)
%\psline(7,0)(7,5)
%\psframe(0,0)(3,-1)
%\psframe(0,5)(3,6)
%\psline{<->}(3.5,-1)(3.5,0)
%\uput[r](3.5,-0.5){$x$}
%\psline{<->}(0,6.5)(8,6.5)
%\uput[u](4,6.5){30}
%\psline{<->}(-0.5,-1)(-0.5,6)
%\psline{<->}(7,-0.5)(8,-0.5)
%\uput[d](7.5,-0.5){$x$}
%\uput[l](-0.5,3){30}
%\uput[d](4,-1.5){Figure 1}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,5)
%\psline(0,0.)(2,0)
%\psline(2.,0.)(2.2,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.2,0.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(0.,0.)
%\psline(0,3)(2,3)
%\psline(2.,3)(2.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(2.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(0.,3)
%\psline(0,0)(0,3)
%\psline(2,0)(2,3)
%\psline(2.2,0.5)(2.2,3.5)
%\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(.2,3.5)
%\psline{<->}(3,0)(3.2,0.5)
%\uput[r](3.1,0.25){$x$}
%\uput[d](1,-0.5){Figure 2}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

%L'objectif est de trouver la valeur de $x$ qui rend le volume de la boîte maximal.


\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi les valeurs de $x$ appartiennent à $]0~;~15[$.
$x>0$ car $x$ est une longueur et strictement positive, car pour $x=0$, la boîte n'aurait pas de largeur.

$2x\leqslant 30$ donc $x\leqslant 15$.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{x\in]0~;~15]}}$.

\item %Exprimer en fonction de $x$ le volume de cette boîte.
Le volume de la boîte est $\text{(aire de base)}\times \text{hauteur}$ donc $V(x)=x(15-x)\times (30-2x)=\boxed{\textcolor{red}{2x(15-x)^2}}$.

\item %Pour quelle valeurs de $x$ le volume de cette boîte est-il maximal ?
On obtient, en développant : 

$V(x)=2x\left(15^2-30x+x^2\right)=2x\left(225-30x+x^2\right)=\boxed{\textcolor{red}{2x^3-60x^2+450x=f(x)}}$ où $f$ est la fonction étudiée à la question 1.

On en déduit que le volume est maximal pour $x=5$ cm ; il vaut alors \numprint{1000} cm$^3$, donc 1 L.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}


   \label{fin}
    \end{document}  