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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
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\newtheorem{exercice}{\textcolor{blue}{Exercice}
}
\newtheorem{solution}{Solution}

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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : devoir à la maison \no 2}}\end{center}

%Source de certains exercices : http://cm.maths-lfb.fr/index.php?page=spe1l-ds-11-12


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}

On considère les fonctions suivantes : \[f(x)=x^2+2x-3  \text{ et } \medskip g(x)=\dfrac{2x-7}{3x+5}\]

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble de définition de chacune des deux fonctions.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$.

\item L'ensemble de définition de $g$ est 

\noindent $\mathscr{D}_g=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{5}{3}\right\}$.

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
   \item %Calculer les images par $f$ de 3 et de -4.
   $f(x)=x^2+2x-3$ donc 
   
   \noindent $f(3)=3^2+2\times 3-3=12$ ; 
   
   \noindent $f(-4)=(-4)^2+2\times (-4)-3=5$ donc 
   
   $\boxed{\textcolor{red}{f(3)=12}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)=5}}$.
   
   \item %Déterminer les antécédents de -4 par $f$, puis les antécédents de -3 par $f$.
   $x$ est un antécédent de -4 par $f$ si, et seulement si, $f(x)=-4$.
   
   \noindent $f(x)=-4\Leftrightarrow x^2+2x-3=-4\\
   \Leftrightarrow x^2+2x+1=0\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$.
   
   \noindent \fbox{\textbf{\textcolor{red}{L'antécédent de -4 par $f$ est -1}}}
   
   Pour les antécédents de -3 par $f$, on résout l'équation $f(x)=-3$.
   
   \noindent $f(x)=-3\Leftrightarrow x^2+2x-3=-3\\
   \Leftrightarrow x^2+2x=0\Leftrightarrow x(x+2)=0$ d'où $x=0$ ou $x=-2$.
   
   \noindent \fbox{\textbf{\textcolor{red}{Les antécédents de -3 par $f$ sont -2 et 0}}} .
      \end{enumerate}
      
\item 
\begin{enumerate}
   \item %Calculer les images par $g$ de 2 et de -4.
   $g(x)=\dfrac{2x-7}{3x+5}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g(2)=-\dfrac{3}{11}}}$ et 
   
   \noindent $\boxed{\textcolor{red}{g(-4)=\dfrac{15}{7}}}$
   
   \item %Déterminer les antécédents de 1 par $g$, puis les antécédents de -2 par $g$.
   $g(x)=1\Leftrightarrow \dfrac{2x-7}{3x+5}=1\Leftrightarrow 2x-7=3x+5\\
   \Leftrightarrow -x=12\Leftrightarrow x=-12$.
   
   \noindent \fbox{\textbf{\textcolor{red}{L'antécédent de 1 par $g$ est -12}}}.
   
   \noindent $g(x)=-2\Leftrightarrow \dfrac{2x-7}{3x+5}=-2\\
   \Leftrightarrow 2x-7=-2(3x+5)\Leftrightarrow 2x-7=-6x-10\\
   \Leftrightarrow 8x=-3\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{8}$.

   \noindent    \fbox{\textbf{\textcolor{red}{L'antécédent de 2 par $g$ est $-\dfrac{3}{8}$}}}.
      \end{enumerate}

\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}

Soit  $f$ la fonction carré.
\begin{enumerate}
\item %Sans calculs donner un encadrement de $f(x)$ pour $x$ compris entre $3$ et $5$.
Sur $[0~;~+\infty[$, $f$ est croissante donc, comme $0\leqslant 3\leqslant x\leqslant 5$, $3^2\leqslant f(x)\leqslant 5^2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{9\leqslant f(x)\leqslant 25}}$.

\item %Sans calculs donner un encadrement de $f(x)$ pour $x$ compris entre $-3$ et $-2$.
De même, $-3\leqslant x\leqslant -2\leqslant 0$ et $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ donc $f(-2)\leqslant f(x)\leqslant f(-3)$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{4\leqslant f(x)\leqslant 9}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

Soit  $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^3+1$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques avec $a<b$.

\noindent On sait que la fonction cube $x\mapsto x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$ donc :

\noindent $a<b\Rightarrow a^3<b^3\Rightarrow3a^3<3b^3\\
\Rightarrow3a^3+1<3b^3+1\Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{f(a)<f(b)}}$.

Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque} :} on peut aussi comparer $f(a)$ et $f(b)$ en étudiant le signe de leur différence :

\noindent $f(b)-f(a)=\left(3b^3+1\right)-\left(3a^3+1\right)=3\left(b^3-a^3\right)\\>0$  car, comme la fonction cube est croissante, $b^3-a^3>0$.

\item %Résoudre, à 0,1 près avec la calculatrice, l'équation $f(x)=2$.
$f$ est croissante ; $f(0)=1$ et $f(1)=5$ donc la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=2$ appartient à [0~;~1].

\noindent À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 0.7}}$ (plus précisément : $\alpha\approx \numprint{0.693361274351}$)
\end{enumerate}

\subsection{}

%Soit  $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x)=4-\dfrac{1}{x}$.\par
%
%Montrer que $g$ est croissante et dresser son tableau de variations.
$g$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\noindent $g(x)=4-\dfrac{1}{x}$.

Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels quelconques de $]0~;~+\infty[$ avec $0<x_1<x_2$.
\noindent Alors $g\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\\
=\left[4-\dfrac{1}{x_2}\right]-\left[4-\dfrac{1}{x_1}\right]=\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}$.

\noindent $x_1<x_2$ donc $x_2-x_1>0$ et $x_1x_2>0$ donc 

\noindent $g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)>0$ d'où $g\left(x_1\right)<<g\left(x_2\right)$.

\noindent $g$ conserve l'ordre donc $g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $]0~;~+\infty[$.

\end{multicols}

\newpage
\subsection{}
Soient  les fonctions $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=\dfrac{3}{2}x-1$ définies sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}
\item %La courbe $\mathscr{C}_f$ est déjà tracée ; tracer $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans le même repère.
\textbf{\textcolor{red}{Voir graphique ci-dessous}}

\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-2.5)(10.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1.,-2.)(10.,5.)
\psgrid[subgriddiv=5,gridwidth=1pt,gridlabels=0](-1.,-2.)(10.,5.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{10.0}{sqrt(x)}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-1.0}{10.0}{3.0*x/2-1.0}
\uput[u](9,3){$\mathscr{C}_f$}
\uput[l](2,2){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\item %Déterminer graphiquement la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$,\par
%et en déduire la comparaison de $\sqrt{x}$ et $\dfrac{3}{2}x-1$ sur $[0~;~+\infty[$.
\textbf{\textcolor{blue}{Graphiquement}}, on trouve que $\mathscr{C}_g$ est en dessous de $\mathscr{C}_f$ pour $0\leqslant x\leqslant 1,5$ et au-dessus pour $x\geqslant 1,5$ (valeurs approchées).

\noindent \textbf{Remarque} : graphiquement, on ne peut pas trouver des valeurs précises au centième près !


\item \textbf{\textcolor{blue}{Vérification algébrique}} : on souhaite connaître la position relative des deux courbes.

%\noindent Montrer que cela revient à étudier le signe de $D(x)=\dfrac{3}{2}x-\sqrt{x}-1$.
Un point d'abscisse $x$ de $\mathscr{C}_g$ est au-dessus du point de même abscisse $x$ de $\mathscr{C}_f$ si, et seulement, si 

\noindent $g(x)\geqslant f(x)$, c'est-à-dire $g(x)-f(x)\geqslant 0$, donc $\dfrac{3}{2}x-1-\sqrt{x}\geqslant 0$ d'où $\dfrac{3}{2}x-\sqrt{x}-1\geqslant 0$.

\noindent Cela revient donc ) étudier le signe de $D(x)=\dfrac{3}{2}x-\sqrt{x}-1$.

\item On veut résoudre l'inéquation $D(x)\geqslant 0$.

\noindent On pose $X=\sqrt{x}$ (donc $X\geqslant 0$).

\noindent %Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation $\dfrac{3}{2}X^2-X-1\geqslant 0$, avec $X\geqslant 0$.
$\dfrac{3}{2}x-\sqrt{x}-1\geqslant 0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}X^2-X-1\geqslant 0}}$

\item %Résoudre cette inéquation d'inconnue $X$ puis en déduire la ou les solution(s) de l'équation $D(x)\geqslant 0$.
L'inéquation équivaut à $ \boxed{\textcolor{red}{3X^2-2X-2\geqslant 0}}$ (en multipliant par 2 puis en simplifiant).

\noindent $\Delta=28>0$ ; l'équation a deux solutions.

\noindent $X_1=\dfrac{2-\sqrt{28}}{6}=\dfrac{2-2\sqrt{7}}{6}=\dfrac{1-\sqrt{7}}{3}<0$ et $X_2=\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}$.

\noindent Or, $X$ dit être positif. On en déduit que l'on doit avoir $X\geqslant X_2$, c'est-à-dire $\boxed{\textcolor{red}{X=\sqrt{x}\geqslant \dfrac{1+\sqrt{7}}{3}}}$.

\noindent \danger : l'inconnue est $X$, donc les solutions se notent en utilisant la lettre $X$ et non $x$ !

\noindent Comme la fonction carré est croissante sur $[0~;~+\infty]$, $\sqrt{x}\geqslant \dfrac{1\sqrt{7}}{3}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{x}\right)^2\geqslant \left(\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt{7}+7}{9}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8+2\sqrt{7}}{9}}}$.

\noindent %Conclure et comparer avec la résolution graphique faite  précédemment.
$\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ pour $0\leqslant x\leqslant \dfrac{8+2\sqrt{7}}{9}$ et en dessous pour $x\geqslant \dfrac{8+2\sqrt{7}}{9}$.

\noindent Comme $\dfrac{8+2\sqrt{7}}{9}\approx 1,477$, cela correspond à ce que nous avons trouvé graphiquement.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  