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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : contrôle sur la dérivation (2)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2 points}}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+6x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.

\item En déduire le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{4 points}}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée, étudier son signe et en déduire le tableau de variation.

\begin{enumerate}

\item $f:x\longmapsto x^3-27x+10$ sur $\mathbb{R}$

%\bigskip
%
%\item $g:x\longmapsto \dfrac{x+3}{x-4}$ sur $]4~;~+\infty[$

\medskip

\item $g:x\longmapsto (2x-3)\sqrt{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{5 points}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-4x^2+16x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$ au point d'abscisse 0 dans un repère $(O~;~I~;~J)$.

\item Étudier le signe de l'expression $f(x)-16x$.

\item En déduire la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\hfill \textcolor{blue}{4 points}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\infty~;~-1\right]\cup\left]-1~;~+\infty\right[$ par : \[f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$.

\item Déterminer le sens de variation de $f$.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{5 points}}
%Hyperbole 1\iere{ES} \no 73 page 102
Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre \numprint{6000} et \numprint{32000} pièces identiques.

\noindent Le coût de fabrication en euros de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$ et est donné par : \[C(x)=2x^3-108x^2+\numprint{5060}x-\numprint{4640}.\]
\noindent Toutes les pièces produites sont vendues au prix unitaire de 3,50 \euro{}.

\noindent On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[6~;~32]$ : \[B(x)=-2x^3+108x^2-\numprint{1560}x+\numprint{4640}.\]

\item Déterminer $B'(x)$.

\item Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[6~;~32]$.

\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$.

\item Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise ? Donner le nombre de pièces à produire qui réalise ce maximum.
\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  