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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\longmapsto (x+1)\sqrt{x}$ et 
$g:x\longmapsto x^3+\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.


\begin{enumerate}

\item Montrer que le point $C(1~;~2)$ appartient aux deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives de $f$ et de $g$.

\item Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont-elles la même tangente au point $C(1~;~2)$ ?
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-12 x+1.\]
%
%\noindent Étudier les variations de $f$ et donner son tableau de variation.

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par \[f(x)=3x^4-4x^3+6x^2-12x+12.\]
On note $f'$ la déérivée de $f$ et $f''$  (se lit \og{}f seconde\fg{}) la dérivée de $f'$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.

\item Étudier le signe de $f''(x)$.

\item En déduire le sens de variation de $f'$.

\item Calculer $f'(1)$ ;

\item À l'aide du tableau de variation de $f'$, en déduire le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}

\item Dresser alors le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}


\subsection{}
%http://abc.math.free.fr/1es/devoirs/11.pdf
Le coût total de production d'un bien est donné par :\[C(q)=q^3-12q^2+72q\text{ pour tout }q\text{ de }[0~;~8].\]
Pour toute quantité $q$ produite, on assimile le coût marginal à la dérivée du coût total $C_m(q)=C'(q)$.


\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Étude du coût marginal}}
\begin{enumerate}
\item Exprimer le coût marginal en fonction de $q$ et montrer que $C'(q) = 3(q –4)^2 + 24$

\item En déduire les variations du coût marginal puis le signe de $C'(q)$ pour tout $q$ de [0~;~8].

\item Montrer que la fonction de coût total est strictement croissante sur  [0~;~8].
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Étude du coût moyen}}

On note $CM(q)$ le coût moyen d'une quantité $q$ produite

\begin{enumerate}
\item Exprimer le coût moyen en fonction de $q$

\item Étudier les variations du coût moyen sur ]0~;~8].
\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Lien entre coût marginal et coût moyen}}

\begin{enumerate}
\item Dresser les tableaux de variations de $CM$ et de $C'$ sur ]0~;~8]

\item Résoudre l'équation \[3q^2 –24 q + 72 = q^2 –12 q + 72.\]

\item Dans le même repère orthogonal bien choisi, tracer la courbe $\mathscr{C}'$ représentant le coût marginal et la courbe $\mathscr{C}$ représentant le coût moyen.

(On fera apparaître les solutions de l'équation précédente ainsi que les tangentes horizontales à $\mathscr{C}'$ ou à $\mathscr{C}$.

\item D'après le graphique, pour quelles quantités le coût marginal est-il supérieur au coût moyen ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On souhaite construire un bâtiment dont la surfece au sol a la forme d'un rectangle d'aire 100 cm$^2$., entouré d'une bande de terrain ayant une largeur de 5 m sur les plus petits côtés et de 10 m sur les plus grands côtés.

\noindent On se propose de déterminer la largeur $x$ t la longueur $y$ du bâtiment de telle sorte que l'aire totale du terrain soit minimale.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $y=\dfrac{100}{x}$ et $x\in]0~;~10]$.

\item Montrer que l'aire totale du terrain est donnée par la fonction $f$ telle que \[f(x)=(x+10)\left(\dfrac{100}{x}+20\right).\]

\item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~10]$.

\item Déduire de la question précédente les dimensions du bâtiment permettant d'obtenir un terrain d'aire minimale.
\end{enumerate}

\subsection{}
Une machine produit des pièces dont le diamètre doit être de 5 cm. On observe malgré tout de petites différences sur les diamètres.

\noindent Pour savoir sir la machine est in réglée et fonctionne correctement, on prélève un échantillon de 40 pièces et on obtient les résultats suivants :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{10}{c|}}
\hline
4,9&5&5,2&4,7&4,8&5,1&4,5&5,2&4,9&4,8\\
\hline
4,9&4,9&4,9&5,3&5&4,8&4,8&4,9&5,1&5,3\\
\hline
4,5&4,9&4,9&5&4,8&4,8&5,3&4,8&5,4&5\\
\hline
5,4&4,8&4,7&5&5&4,8&4,6&4,7&4,9&4,7\\
\hline
\end{array}
$
\end{center}
La machine est correctement réglée si :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item environ 95\:\% des données de l'échantillon appartiennent à l'intervalle $\left[\overline{x}-2\sigma~;~\overline{x}+2\sigma\right]$, où $\overline{x}=5$ est la moyenne théorique et $\sigma$ l'écart-type de l'échantillon.

\item environ 68\:\% des données de l'échantillon appartiennent à l'intervalle $\left[\overline{x}-\sigma~;~\overline{x}+\sigma\right]$.
\end{enumerate}
La machine est-elle correctement réglée ?

\subsection{}%corrigé \href{http://www.georgesmarty.fr/Classes/TES/Cours/02.%20Regularite%20d%27une%20fonction/TD4%20Elasticite/TDC.pdf}{ici}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition (élasticité)}}
On note $p$ le prix d’un produit en euros et $f(p)$ la demande liée à ce produit pour le prix $p$. L’élasticité $E(p)$ de la demande par rapport au prix $p$ est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1\:\% du prix $p$.
\end{bclogo}

\bigskip
La demande $f(p)$ d’un produit proposé à un prix $p\in [ 11~;~+\infty[$ (en euros) est donnée par \[f(p)=\dfrac{\numprint{100000}p}{ p^2- 100}.\]
\textbf{\textcolor{red}{Étude de la demande}}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la demande pour $p = 11$, $p = 15$ et 

$p = 90$ en arrondissant si nécessaire à l’unité près. 

\item Verifier que $f ( p ) > 0$ pour tout $p > 11$.

\noindent Montrer que $f$ est décroissante sur $[11~;~+\infty[$.

\item On suppose que le prix $p$ , initialement à 15\euro{}, subit une augmentation de 1\:\%.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le nouveau prix $p_1$ , ainsi que la demande correspondante à ce prix, arrondie à l’unité près. 

\item En déduire $E(15)$ , l’élasticité de la demande par rapport au prix de 15 \euro.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \noindent \textbf{\textcolor{red}{Etude de l’élasticité de la demande}}
 
\bigskip

 Supposons qu’une augmentation $\Delta p$ du prix induise une augmentation $\Delta f$ de la demande. $\dfrac{\Delta f}{f}$ est le taux d’augmentation de la demande et $\dfrac{\Delta p}{p}$ le taux d’augmentation du prix.

 \noindent On peut écrire : $E ( p ) = \dfrac{\Delta f / f}{ \Delta p / p }=\dfrac{ \Delta f}{ \Delta p }\times  \dfrac{p}{ f ( p )} \approx p \times  \dfrac{f’( p ) }{f ( p)}$ (en supposant que les variations sont petites).

 
 Cette dernière expression est celle utilisée par les économistes.
 
  Dans toute la suite, c’est cette formule qui sera utilisée, donc $\boxed{\textcolor{red}{E(p)=p \times  \dfrac{f ‘( p ) }{f ( p )}}}$
  
\begin{enumerate}
\item Établir l’égalité $E( p ) = 1 - \dfrac{2 p^2}{ p^ 2 - 100}$.

\item Calculer $E ( 15 )$ à l’aide de cette dernière expression et comparer avec le résultat obtenu à la première partie.

\item Quel est le signe de $E ( p )$ pour $p > 11$ ? Justifier la réponse et interpréter ce résultat. 

\item Calculer $E'( p )$ et en déduire le tableau de variation de E . 

\item Calculer la valeur de $p_0$ pour laquelle l’élasticité est de -1.25.

\item Comment évolue la demande quand le prix passe de 30 \euro{} à 30.30 \euro ? 
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{\og{}Optional\fg{}}}
\textbf{\textcolor{red}{Finding a minimum}}


Among all possible rectangles with area equal to 10 square feet, what are the dimensions of the one with the minimal perimeter.

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  