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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{ES} : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x^2+3}$.

\noindent On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.


\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ où $f$ désigne la dérivée de la fonction $f$.

\item Étudier les variations de la fonction $f$.

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 1.

\item Représenter la tangente $T$ sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-2.)(7.,4.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1pt](0,0)(-7.,-2.)(7.,4.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7.0}{7.0}{(x^(2.00000000000)-4.00000000000*x+7.00000000000)/(x^(2.00000000000)+3.00000000000)}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-6.88,1.34){$f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+9x.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens d variation de $f$.

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la  courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.

\item En étudiant le signe de la différence de $f(x)$ et de l'expression de la tangente $T$, étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Dans un restaurant, le coût total en euros pour la fabrication de $x$ repas est donné par la relation \\
$C(x)=2x^2-230x+\numprint{7200}$ pour $x$ compris entre 30 et 120.

\noindent Lorsque $x$ repas sont fabriqués, on appelle coût moyen d'un repas le quotient $\dfrac{C(x)}{x}$ qu'on note $C_M$(x).

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression de $C_M(x)$ en fonction de $x$.

\item Calculer la dérivée de $C_M$.

\item Montrer que cette dérivée a le même signe  que $x-60$ sur l'intervalle $[30~;~120]$.

\item Étudier le sens de variation de $C_M$ sur $[30~;~120]$.

\item Combien de repas faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ?
\end{enumerate}



\subsection{}
Un camion doit parcourir un trajet de 200 km, on suppose que sa
vitesse (en km/h) est constante et on la note $x$.

\noindent La consommation de carburant du camion est de 

$6 +\dfrac{x^2}{800}$ litres de gasoil par heure avec un prix
du gasoil au litre de 1 \euro{} et le chauffeur est payé 10 \euro{} de l’heure.

\begin{enumerate}
\item Exprimer le temps de trajet $t$ en fonction de $x$.

\item En déduire le coût en carburant sur l’ensemble du trajet
en fonction de $x$ puis le coût du chauffeur sur l’ensemble du trajet en fonction de $x$.  
\item Montrer que le coût total du trajet en fonction de $x$ est $C( x) = \dfrac{x}{4} + \dfrac{\numprint{3200}}{x}$.

\item Étudier les variations de la fonction $C$ sur $[0~;~+\infty[$.

\item En déduire quelle doit être la vitesse du camion pour que le coût total du trajet soit minimal 

 \end{enumerate}  


\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie $[-4;4]$ par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item Donner l'équation de la droite $(T)$, tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 0.
\item Tracer dans le repère ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ ainsi que ses tangentes.
\end{enumerate}
 
 \subsection{}

\begin{enumerate}

\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-60x^2+450x$.

\item On veut construire le patron d'une boîte de lait dans une feuille cartonnée de 30 cm de côté.

\noindent Le patron est donné par la figure 1 ci-dessous et la figure 2 est celle de la boîte qui est un parallélépipède rectangle
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(-1,-2)(9,8)
\psframe(0,0)(8,5)
\psline(3,0)(3,5)
\psline(4,0)(4,5)
\psline(7,0)(7,5)
\psframe(0,0)(3,-1)
\psframe(0,5)(3,6)
\psline{<->}(3.5,-1)(3.5,0)
\uput[r](3.5,-0.5){$x$}
\psline{<->}(0,6.5)(8,6.5)
\uput[u](4,6.5){30}
\psline{<->}(-0.5,-1)(-0.5,6)
\psline{<->}(7,-0.5)(8,-0.5)
\uput[d](7.5,-0.5){$x$}
\uput[l](-0.5,3){30}
\uput[d](4,-1.5){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,5)
\psline(0,0.)(2,0)
\psline(2.,0.)(2.2,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.2,0.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(0.,0.)
\psline(0,3)(2,3)
\psline(2.,3)(2.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(2.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,3.5)(0.,3)
\psline(0,0)(0,3)
\psline(2,0)(2,3)
\psline(2.2,0.5)(2.2,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(.2,3.5)
\psline{<->}(3,0)(3.2,0.5)
\uput[r](3.1,0.25){$x$}
\uput[d](1,-0.5){Figure 2}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'objectif est de trouver la valeur de $x$ qui rend le volume de la boîte maximal.


\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi les valeurs de $x$ appartiennent à $]0~;~15[$.

\item Exprimer en fonction de $x$ le volume de cette boîte.

\item Pour quelle valeurs de $x$ le volume de cette boîte est-il maximal ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}

   \label{fin}
    \end{document}  